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Introduc¸ ˜ao `a an´alise
Aula 10 — segunda, 21 de fevereiro 2011
10.1. Espac¸os m´etricos precompactos. O teorema de Heine-Borel tenha uma generalisac¸ ˜ao importante valida para todos os espac¸os m´etricos, mas a noc¸˜ao duma “parte limitada” deve ser rafinada.
Definic˜ao 10.1.1. Seja A um sub-conjunto dum espac¸o m´etrico X qualquer. O diˆametro de A e dado pela formula´
diam (A) = inf{r ∈ [0, +∞] : ∀a, b ∈ A, d(a, b) ≤ r}.
Exerc´ıcio 10.1.2. Mostrar que para cada sub-conjunto A n˜ao vazio temos
diam (A) = sup a,b∈A
d(a, b).
Exerc´ıcio 10.1.3. Seja A um sub-conjunto dum espac¸o m´etrico X qualquer. Mostrar que as condic¸ ˜oes seguintes s˜ao equivalentes:
(1) existem x ∈ X e r > 0 tais que A ⊆ Br (x), (2) para cada x ∈ X existe r > 0 tal que A ⊆ Br(x), (3) o diˆametro de A ´e finito, isso ´e,
∃R > 0 : ∀x, y ∈ X, d(x, y) ≤ R.
Definic˜ao 10.1.4. Um sub-conjunto A dum espac¸o m´etrico X e dito´ limitado se A satisfaz uma das condic¸ ˜oes equivalentes de exerc´ıcio 10.1.3.
Exerc´ıcio 10.1.5. Verifica-se facilmente que cada espac¸o m´etrico compacto ´e limitado.
Ao mesmo tempo, um sub-espac¸o fechado e limitado dum espac¸o m´etrico n˜ao ´e sempre compacto.
Exemplo 10.1.6. Um exemplo a mais simples ´e dado para um conjunto infinito X munido da m´etrica zero-um. Esto espac¸o ´e completo, logo “absolutamente fechado”, e limitado, por que X e contido na cada bola aberta do raio dizemos´ R = 2. Agora, escolhamos uma seq¨uˆencia (xn) dos pontos de X dois a dois distintos (´e possivel como X e infinito). Evidentemente,´ nenhuma sub-seq¨uˆencia de (xn) n˜ao ´e uma seq¨uˆencia de Cauchy, logo n˜ao converge.
Eis uma verc¸ ˜ao geral correta dum conjunto “limitado” no senso do teorema de Heine- Borel. 1
Definic˜ao 10.1.7. Um sub-conjunto A dum espac¸o m´etrico X e dito´ precompacto, ou to- talmente limitado, se para cada valore r > 0 existe uma cobertura finita de A pelas bolas abertas do raio r:
∃n, ∃x 1 , x 2 ,... , xn ∈ X, tais que A ⊆ ∪ni=1Br(xi).
Em outras palavras, para cada r > 0 existe uma colec¸ ˜ao finita x 1 , x 2 ,... , xn dos pontos de X tal que cada a ∈ A ´e `a distˆancia < r de algum deles:
∀a ∈ A, ∃i = 1, 2 , 3 ,... , n tal que d(a, xi) < r.
Exemplo 10.1.8. O intervalo aberto (0, 1) da reta R ´e precompacto (em R dizemos). Dado um n´umero r > 0 , cada ponto x ∈ [0, 1] encontra-se `a distˆancia < r de algum dos pontos seguintes: 0 , r, 2 r,... , nr,
onde n = ⌊ 1 /r⌋ (a parte inteira). N
Exemplo 10.1.9. O espac¸o m´etrico Z munido da distˆancia usual n˜ao ´e precompacto no ele mesmo. Cada fam´ılia das bolas abertas cont´em somente um n´umero finito dos elementos de Z.
Definic˜ao 10.1.10. Um espac¸o m´etrico X ´e dito precompacto se X e um sub-conjunto pre-´ compacto de ele-mesmo.
Com efeito, a noc¸˜ao da precompacidade dum sub-espac¸o m´etrico A ´e “absoluta”, isso ´e, n˜ao depende do espac¸o ambiental, X.
Proposic¸ ˜ao 10.1.11. Seja A um sub-conjunto precompacto n˜ao vazio dum espac¸o m´etrico X , isso ´e, para cada r > 0 existe uma cobertura finita de A pelas bolas abertas do raio r centradas em X_. Ent˜ao,_ A ´e precompacto em ele-mesmo, isso ´e, para cada r > 0 existe uma cobertura finita de A pelas bolas abertas do raio r centradas em A_._
Demonstrac¸ ˜ao. Seja r > 0. Podemos escolhar uma collec¸ ˜ao finita dos pontos x 1 , x 2 ,... , xn ∈ X tal que para cada a ∈ A existe i com a propriedade
d(xi, a) < r/ 2.
Sem perda da generalidade, podemos suponhar que cada bola aberta Br/ 2 (xi) encontra A; se n˜ao, podem retirar esta bola, porque ela n˜ao tem nenhuma papel. Para cada i, escolhamos um ponto ai ∈ Br/ 2 (xi) ∩ A.
Seja a ∈ A um ponto qualquer. Existe i tal que d(a, xi) < r/ 2. Temos finalmente, grac¸a `a desigualdade triangular:
d(a, ai) ≤ d(a, xi) + d(xi, ai) <
r 2
r 2
= r.
Portanto, A ´e contido na uni˜ao das bolas abertas Br(ai), i = 1, 2 ,... , n, onde as bolas podem ser consideradas em A em vez de em X.
de tal modo que cada elemento xnk , k = 1, 2 , 3 ,... pertence `a bola B 1 /k(ak). Esta sub- seq¨uˆencia ´e uma seq¨uˆencia de Cauchy: cada vez que i, j > k, temos
d(xni , xnj ) < 2 /k.
Como o espac¸o m´etrico X e completo, a seq¨´ uˆencia extrata (xnk )∞ k=1 converge em X. Con- clu´ımos: X e compacto.´
Observac¸ ˜ao 10.2.4_._ Com efeito, temos mostrado que se X e um espac´ ¸o precompacto, ent˜ao cada seq¨uˆencia (xn) dos pontos de X cont´em uma subseq¨uˆencia de Cauchy. Prova-se facil- mente que esta propriedade caracterisa os espac¸os precompactos (exerc´ıcio).
Observac¸ ˜ao 10.2.5_._ O crit´erio da compacidade acima (teorema 10.2.3) ´e muito comodo por- que, geralmente, ´e mais f´acil de verificar a precompacidade dum espac¸o m´etrico que a com- pacidade dele.
Teorema 10.2.6. Seja X um sub-espac¸o denso dum espac¸o m´etrico Y_. Se_ X ´e precompacto, ent˜ao Y e precompacto.´
Demonstrac¸ ˜ao. Seja r > 0 um n´umero real qualquer. Escolhamos uma colec¸ ˜ao finita x 1 , x 2 ,... , xn ∈ X da tal maneira que
X ⊆ ∪ni=1Br/ 2 (xi).
(Aqu´ı Br/ 2 (xi) pode denotar as bolas abertas seja em X, seja em Y , isso n˜ao importe). Vamos verificar agora que Y ⊆ ∪ni=1Br(xi).
Seja y ∈ Y. Como X e denso em´ Y , existe x ∈ X ∩ Br/ 2 (y). O ponto x e contido na bola´ Br/ 2 (xi) por um i. Conclu´ımos, utilisando a desigualdade de triˆangulo:
d(y, xi) ≤ d(y, x) + d(x, xi) <
r 2
r 2
= r.
(Aqu´ı Br(xi) denota uma bola aberta em Y .)
Observac¸ ˜ao 10.2.7_._ Se X e denso em´ Y , a condic¸˜ao X ⊆ ∪ni=1Br(xi) n˜ao implica, em geral, que Y ⊆ ∪ni=1Br(xi). Queiram olhar o exemplo seguinte:Y = (0, 1), X = (0, 1) \ { 1 / 2 }, x = 1/ 4 , y = 3/ 4 , r = 1/ 4.
Corol´ario 10.2.8. Um espac¸o m´etrico X e precompacto se e somente se o seu completa-´ mento Xˆ e compacto.´
10.3. Aplicac¸ ˜oes uniformemente cont´ınuas.
Observac¸ ˜ao 10.3.1_._ Lembramos que a imagem dum espac¸o compact por uma func¸ ˜ao cont´ınua e compacto (teorema 9.3.2). ´´ E falso para os espac¸os precompactos. Por exemplo, a func¸ ˜ao cont´ınua ( −
π 2
π 2
∋ x 7 → tan x ∈ R
e uma sobrejec ´ ¸ ˜ao dum intervalo limitado, que ´e precompacto sobre a reta, que n˜ao ´e precom- pacta. Um resultado an´alogo ao teorema 9.3.2 os espac¸os precompactos ´e verdade em relac¸ ˜ao `a classe das func¸ ˜oes mais estreita, esta das func¸ ˜oes uniformemente cont´ınuas.
Definic˜ao 10.3.2. Uma func¸˜ao f : X → Y entre dois espac¸os m´etricos ´e dita uniformemente cont´ınua se
∀ǫ > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ X (dX (x, y) < δ) ⇒ (dY (f (x), f (y)) < ǫ).
O valor de δ = δ(ǫ) pode ser escolhado “uniformemente” em relac¸ ˜ao a x, enquanto na definic¸ ˜ao duma func¸˜ao cont´ınua δ = δ(ǫ, x) geralmente depende de x ∈ X bem como de ǫ. Certamente, cada func¸ ˜ao uniformemente cont´ınua ´e cont´ınua. A rec´ıproca n˜ao ´e sempre verdadeira.
Exemplo 10.3.3. A func¸ ˜ao f (x) = x^2
de R para R e cont´´ ınua mas n˜ao uniformemente cont´ınua, porque, dados ǫ > 0 e x ∈ R, o valor de δ > 0 correspondente ´e da ordem da grandeza
δ ∼
ǫ 2 |x|
Por conseguinte, δ depende de x de maneira essencial e n˜ao se pode escolhar um valor δ > 0 v´alido para todos os x ∈ R a mesmo tempo. N
Mesmo assim, tem-se o resultado seguinte de grande importanc¸a.
Teorema 10.3.4. Cada func¸ ˜ao cont´ınua sobre um espac¸o m´etrico compacto ´e uniformemente cont´ınua.
Demonstrac¸ ˜ao. Vamos mostrar a contraposic¸˜ao: seja f : X → Y uma func¸˜ao cont´ınua entre dois espac¸os m´etricos. Suponhamos que f n˜ao ´e uniformemente cont´ınua. Ent˜ao f n˜ao ´e cont´ınua. Como f n˜ao ´e uniformemente cont´ınua, existe ǫ 0 > 0 tal que para cada n = 1, 2 , 3 ,... pode-se encontrar os pontos xn, yn ∈ X que satisfazem
(1) dX (xn, yn) <
n et
(2) dY (f (xn), f (yn)) ≥ ǫ 0.
A seq¨uˆencia (xn) cont´em uma subseq¨uˆencia convergente de modo que
xni → x quando i → ∞.
Grac¸a `a hip´otese (1), temos
dX (x, yni ) ≤ dX (x, xni ) + dX (xni , yni ) → 0 quando i → ∞.
