Análise matemática 2, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

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Faculdade de Engenharia

Análise Matemática 2

MIEEC 2015/

Faculdade de Engenharia

Funcionamento

• Teórico-práticas
  • exposição e discussão da matéria
  • resolução de exercícios
• Trabalho extra-aula
  • resolução dos exercícios propostos (ficha da aula + caderno de

problemas)

Faculdade de Engenharia

• Obtenção de frequência
  • não exceder limite de faltas (25% das aulas previstas)

Avaliação

• Classificação final
  • CF= ( 4 *T1+ 7 *T2+ 9 *T3)/20 (T3 com toda a matéria)
  • CF= R (classificação obtida no recurso)
• Alunos com dispensa de frequência
• Estudantes ao abrigo de estatutos especiais que lhes facultam esta

dispensa.

• Estudantes que já tenham inscrição anterior na UC no passado.
• Melhoria
• CF= R (classificação obtida no recurso)

Faculdade de Engenharia

Avaliação – datas dos testes 1 e 2

• Classificação final
  • CF= (4T1+7T2+9*T3)/20 (T3 com toda a matéria)
  • CF= R (classificação obtida no recurso)
• Testes 1 e 2
• T1 – 14/março
• T2 – 9/maio

Faculdade de Engenharia

AMAT

AMAT1 – estudo de funções reais de variável real (FRVR): f : 

AMAT2 – estudo de funções

1. funções vetoriais de variável real (FVVR)
2. funções reais de variável vetorial (FRVV)
3. funções vetoriais de variável vetorial (FVVV)

m n

F : 

n

F :

m

f :

m n

F : 

Faculdade de Engenharia

Programa

1. Funções de R em R

n

(FVVR)

• Continuidade e derivadas, curvas, tangente, velocidade, comprimento 2. Funções de R

n

em R (FRVV)

• Limites, continuidade e derivadas, recta normal e plano tangente,

função implícita, regra da cadeia e fórmula de Taylor

3. Máximo e mínimos de FRVV - Pontos críticos, máximos e mínimos condicionados 4. Funções de R

n

em R

m

(FVVV)

• Limites, continuidade e derivadas, matriz jacobiana, função inversa 5. Integrais múltiplos
• Integrais duplos e triplos, mudança de variável 6. Integrais de linha

Faculdade de Engenharia

FVVR – motivação

A caraterização do movimento da partícula no intervalo é feita parametrizando

a trajetória através de uma FVVR definida em :

r  t 



 

1 2

I  t , t

I

t  x  t  y  t 

F I

2

onde:

t

 parâmetro

importante : com  

1 2

I  t , t

1 2

t  t

Faculdade de Engenharia

FVVR – definição

Uma FVVR pode ser vista como uma generalização de um vetor cujas

componentes não são constantes, mas sim funções reais de

variável real

Assim, muitas das propriedades das FVVR podem ser deduzidas a partir

das propriedades das suas funções componentes e também das

operações efetuadas sobre vetores

t  f  t  f  t  f  t 

F I

n

n

1 2

onde

t f  t 

f I

i

i

Em geral, uma função vetorial de variável real (FVVR) satisfaz

Faculdade de Engenharia

FVVR – problemas típicos

Exemplos:

1. Determine a curva descrita pela FVVR
2. Obtenha uma parametrização para as curvas

a) desde até

b) desde até

c) inicio em , percorrida 1 vez no

sentido negativo

t  t t 

F

2

y  2 x x  0

x  1

2 2

x  y 

 2 , 0   0 , 2 

2 2

x  y   

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FVVR – exercícios

1 – b) d) e) h) j) k)

2 – a) b) c) d)

Faculdade de Engenharia

FVVR – definição

Uma FVVR pode ser vista como uma generalização de um vetor cujas

componentes não são constantes, mas sim funções reais de variável real

Assim, muitas das propriedades das FVVR podem ser deduzidas a

partir das propriedades das suas funções componentes e também

das operações efetuadas sobre vetores

t  f  t  f  t  f  t 

F I

n

n

1 2

onde

t f  t 

f I

i

i

Em geral, uma função vetorial de variável real (FVVR) satisfaz

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OPERAÇÕES COM FVVR

t  f  t  f  t 

F I

n

n

1

soma

t u  t 

u I

Seja

t  g  t  g  t 

G I

n

n

1

t  f  t  g  t  f  t  g  t 

F G I

n n

n

1 1

 F  G  t   F  t   G  t 

multiplicação

por FRVR

t  u  t  f  t  u  t  f  t 

uF I

n

n

1

 uF  t   u  t  F  t 

produto

interno

t  f  t  g  t  f  t  g  t 

F G I

n n

1 1

 F  G  t   F  t   G  t 

produto

externo

(se n=3)

     

g  t  g  t  g  t 

f t f t f t

i j k

t

F G I

1 2 3

1 2 3

3

 F  G  t   F  t   G  t 

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Limite e continuidade de FVVR

t  f  t  f  t 

F I

n

n

1

limite

Seja

F  t   f  t  f  t 

t t t t t t n 0 0 0

lim lim , ,lim

  1 

só existe o limite de uma FVVR se existirem os limites de todas as suas funções

componente

continuidade

uma FVVR será contínua se forem contínuas todas as suas funções

componente

F contínua em t  I

0

   

0 0

lim F t F t

t t



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Derivada de FVVR

t  f  t  f  t 

F I

n

n

1

Seja

derivada

se existir este limite  

   

0

0

0 0

' lim

t t

F t F t

F t

t t



contínua

se

n

F : I 

for derivável em todos os pontos de I ,

t  f  t  f  t 

F I

n

n

1

também é FVVR

F

se

n

F ': I 

for derivável em todos os pontos de I ,

t  f  t  f  t 

F I

n

n

1

também é FVVR

NOTA: F

é de classe se existirem e forem

contínuas todas as derivadas de até à

ordem

n

C

F

n