Teorema da Funções Contínuas: Operações Com Funções Definidas em um Conjunto Irregular, Notas de estudo de Matemática

DEFINIÇÃO: Seja X F 0 C C IR, dadas as funções f, g : X F 0 A E IR, podemos definir novas funções :

(f + g): X F 0 A E IR, (f - g): X F 0 A E IR, (f.g): X F 0 A E IR, (f / g): X F0 A E IR para g(x) F 0 B 9 0 por

(f + g)(x) = f(x) + g(x); (f - g)(x) = f(x) - g(x); (f.g)(x) = f(x).g(x) e f / g)(x) = f(x) / g(x).

TEOREMA: Seja X F 0 C C IR, dadas as funções f, g : X F 0 A E IR funções contínuas, então são contínuas

(f + g)(x), (f - g)(x), (f.g)(x), (f / g)(x) para g(x) F 0 B 9 0.

DEMONSTRAÇÃO:

Vamos mostrar que se f(x) e g(x) são contínuas em a então f(x).g(x) é contínua em a.

Suponhamos que f(x) e g(x) são contínuas em a, então dado F 0 6 5

1

F 0 3 E 0, existem F 0 6 4

1 e

F 0 6 4

2

F 0 3 E 0, tais

1, F 0 6 4

F 0 B Df(x) – f(a)F 0 B DF 0 3 C F0 6 5

1 e F 0 B Dg(x) – g(a)F 0 B DF 0 3 C F 0 6 5

Agora:

F 0 B Df(x) . g(x) – f(a) . g(a)F 0 B D = F 0 B Df(x).g(x) + 0 – f(a).g(a)F 0 B D

= F 0 B Df(x).g(x) – g(x).f(a) + g(x).f(a) – f(a).g(a)F 0 B D

= F 0 B D[f(x) – f(a)] . [g(x)] + [f(a)] . [g(x) – g(a)]F 0 B D

F 0 A 3 F 0 B D[f(x) – f(a)] . [g(x)]F 0 B D + F 0 B D[f(a)] . [g(x) – g(a)]F 0 B D

F 0 A 3 F 0 B DF 0 6 5

F 0 B D

- F 0 6 5

1

+F 0 B D

g(a)F 0 B D F 0 3 C g(x) F 0 3 C F 0 6 5

1

+ F 0 B Dg(a)F 0 B D, consideremos F 0 6 5

- K F 0 3 C g(x) F0 3 C K

Logo g(x) F 0 3 C K se F0 B Dx - aF 0 B DF0 3 C F0 6 4

Portanto

F 0 B Df(x) . g(x) – f(a) . g(a)F 0 B D F 0 3 C F 0 6 5

1 (k + F 0 B Df(a)F 0 B D) ou

F 0 B Df(x) . g(x) – f(a) . g(a)F 0 B D F 0 3 C F 0 6 5