Teorema 6.12
Sejam X
F 0
C C R e as funções f,g : X F0
A E R funções contínuas, então são contínuas (f + g)(x) e (f
- g)(x).
Vamos mostrar que f(x) e g(x) são contínuas em a, então f(x) + g(x) é contínua em a.
Demonstração: Suponhamos que f(x) é continua em a e g(x) é contínua em a, então dado
F 0
6 5 F0
3 E 0 e F 0
6 5 F0
3 E 0 existem F 0
6 4 F0
3 E 0 e F 0
6 4 F0
3 E 0 tais que F0
B Df(x) – f(a) F0
B D F0
3 C F0
6 5 sempre que F0
B D x – aF 0
B D
F 0
3 C
F 0
6 4 e que F 0
B Dg(x) – g(b)F0
B D F0
3 C F0
6 5 sempre que F0
B D x – a F0
B D F0
3 C F0
6 4.
Tomemos F0
6 4 F0
3 D min {
F 0
6 4 ,F0
6 4 } então :
Podemos escrever
F 0
B Df(x) – f(a) F0
B D F0
3 C F0
6 5 sempre que F0
B D x – a F 0
B D
F 0
3 C F0
6 4.
e
F 0
B D g(x) – g(b) F0
B D F0
3 C F0
6 5 sempre que F0
B D x – a F 0
B D F0
3 C F0
6 4 .
Agora :
F 0
B D(f(x) + g(x)) – (f(a) + g(b)) F0
B D =
=
F 0
B D f(x) – f(a) F 0
B D + F0
B D g(x) – g(b) F0
B D F0
3 C F0
6 5 + F 0
6 5 .
Seja:
