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3.1 Limite e Continuidade
3.1 Mostre que a funÁ„o valor absoluto f (x) = jxj È contÌnua em qualquer ponto x 2 R:
3.2 Mostre que a funÁ„o de Dirichlet ' : R! R dada por:
' (t) = 1 ;^ se^ t^2 Q 0 ; se t 2 RnQ
È descontÌnua em qualquer ponto t 2 R:
3.3 Em cada caso, encontre tal que jf (x) Lj < ", para todo x satisfazendo 0 < jx aj < : (a) f (x) =^1 x ; a = 1; L = 1 (b) f (x) = (^) x x+ 1 ; a = 2; L = 2= 3 (c) f (x) = (^) 1 + senx (^2) x ; a = 0 ; L = 0:
3.4 Sejam f; g : R! R duas funÁıes. Prove ou apresente um contra-exemplo. (a) Se f tem limite em x = a e g n„o tem, ent„o f g n„o tem limite em x = a; (b) Se f tem limite em x = a e g n„o tem, ent„o f + g n„o tem limite em x = a; (c) Se f e f + g tÍm limite em x = a, ent„o g tem limite em x = a; (d) limx!a f (x) = L () limx!a (f (x) L) = 0; (e) limx!a f (x) = L () limx!a jf (x)j = jLj ; (f) Se limx!a f (x) = L, ent„o limx!a f x^3 ^ = L; (g) Se limx!a f x^2 ^ = L, ent„o limx!a f (x) = L;
3.5 Uma funÁ„o f : R! R tem a seguinte propriedade: "se g : R! R n„o tem limite em x = a, ent„o f + g n„o tem limite em x = a". Prove que isso ocorre se, e somente se, limx!a f (x) existe:
3.6 Seja f (x) = a^0 +^ a^1 x^ +^ a^2 x
(^2) + + anxn b 0 + b 1 x + b 2 x^2 + + bmxm^ , com^ an; bm^6 = 0. Mostre que existe^ limx!1^ f^ (x) se, e somente se, m n. (sug. use o fato xk^! 0 , com x! 1 e k > 0)
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3.7 Mostre que limx!a+ f (x) = L se, e somente se, lim f (xn) = L, seja qual for a seq¸Íncia decrescente (xn) em D (f ) convergindo para a: Formule um resultado an·logo para o limite ‡ esquerda.
3.8 Em cada caso, encontre um inteiro n e uma raiz do polinÙmio entre n e n + 1: (a) x^3 x + 3 (b) x^5 + x + 1 (c) 4 x^2 4 x + 1 3.9 Mostre que toda funÁ„o contÌnua f : [0; 1]! [0; 1] tem ao menos um ponto Öxo, isto È, existe algum x 2 [0; 1] tal que f (x) = x. Generalize o resultado para uma funÁ„o contÌnua f : [a; b]! [a; b] :
3.10 Sejam a < b < c e considere duas funÁıes contÌnuas f : [a; b]! R e g : [b; c]! R tais que f (b) = g (b) : Mostre que a funÁ„o h : [a; c]! R deÖnida por h (x) = f (x), se x 2 [a; b] e h (x) = g (x), se x 2 [b; c] È contÌnua no intervalo [a; c] :
3.11 De acordo com o ExercÌcio 1.36(d), um subconjunto S R È fechado se, e somente se, cumpre a seguinte condiÁ„o: se fxng È uma seq¸Íncia em S com limite x, ent„o x 2 S: Usando esse fato demonstre que o conjunto dos pontos onde uma funÁ„o contÌnua se anula È fechado.
3.12 Dado x 2 R deÖna [x] como sendo o maior inteiro n 2 Z tal que n x. Calcule [8:3], [], [0:1] ; [ ]. A funÁ„o x 7! [x] È conhecida na literatura como funÁ„o m·ximo inteiro. Determine os pontos de continuidade das seguintes funÁıes: (a) f (x) = [x] (b) g (x) = x [x] (c) h (x) = [sen x] (d) k (x) = [1=x] : 3.13 Considere f : Rn f 2 g! R deÖnida por f (x) = x^2 + x 6 ^ = (x 2). Esta funÁ„o È contÌnua? … possÌvel deÖni-la no ponto x = 2 de modo a torn·-la contÌnua em R?
3.14 Seja f : R! R uma funÁ„o contÌnua. Se c 2 R e f (c) > 0 ; mostre que existe uma "-vizinhanÁa de c na qual a funÁ„o f È positiva. Conclua que o conjunto F = fx; f (x) 0 g È fechado. Usando esse fato, prove que se f e g s„o duas funÁıes contÌnuas de R em R e f (c) < g (c) ; ent„o existe um n˙mero real > 0 tal que f (x) < g (x) para qualquer x no intervalo (c ; c + ):
3.15 Seja f : D! R uma funÁ„o real e considere g a restriÁ„o de f a um subconjunto D 0 D: Mostre que se f for contÌnua em um ponto x 0 de D 0 , ent„o a funÁ„o g tambÈm ser·. Mostre com um exemplo que a funÁ„o g pode ser contÌnua em um ponto sem que f o seja.
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Mostre que (^) xlim! 0 f (x) = lim y! 0 g (y) = 0, mas g (f (x)) n„o tem limite em x = 0:
3.25 Sejam f; g : R! R, sendo g contÌnua em x = b e (^) xlim!c f (x) = b. Mostre que
x^ lim!c (g^ ^ f^ ) (x) =^ g^ (b)^ :
3.26 Seja D um subconjunto denso em R. Se f; g : R! R s„o duas funÁıes contÌnuas que coincidem em D, mostre que elas s„o iguais. Usando este resultado mostre que qualquer funÁ„o contÌnua ' : R! R que satisfaz ‡ condiÁ„o ' (m= 2 n) = 0; 8 m 2 Z; 8 n 2 N; È identicamente nula.
3.27 Seja f : R! R uma funÁ„o contÌnua tal que f (x) = 1; 8 x 2 Q. Mostre que f È constante. E se f (x) = x; 8 x 2 Q, o que se pode aÖrmar sobre a funÁ„o f?
3.28 Seja f : [a; b]! R uma funÁ„o contÌnua tal que f ([a; b]) Q. O que se pode aÖrmar sobre f?
3.29 Seja f : R! R uma funÁ„o aditiva, isto È, f (x + y) = f (x) + f (y) ; 8 x; y. Mostre que f È contÌnua se, e somente se, f È contÌnua em x = 0: Se f È uma funÁ„o contÌnua e aditiva, mostre que f È do tipo f (x) = cx, para algum c 2 R. (primeiro mostre que a relaÁ„o È v·lida em Q e depois use densidade).
3.30 Seja f : R+^! R uma funÁ„o tal que f (x + y) = f (x) + f (y), 8 x; y 2 R+. Mostre que f È contÌnua em R+^ se, e somente se, o for em algum c 2 R+:
3.31 Seja g : R! R uma funÁ„o com a seguinte propriedade: g (x + y) = g (x) g (y) ; 8 x; y. Se g (c) = 0, para algum c, mostre que g 0. Mostre que g È contÌnua se, e somente se, g È contÌnua em x = 0:
3.32 DeÖna : [a; b]! R por (t) = sup f' (x) ; a x tg, onde ' : [a; b]! R È contÌnua. Mostre que a funÁ„o È contÌnua em [a; b] :
3.33 Seja ' : [a; b]! R uma funÁ„o contÌnua tal que ' (x) > 0 ; 8 x 2 [a; b] : Mostre que existe uma constante positiva tal que ' (x) ; 8 x 2 [a; b] :
3.34 Seja f : [a; b]! R uma funÁ„o contÌnua com a seguinte propriedade: para cada x do intervalo [a; b] existe um y em [a; b] tal que jf (y)j 12 jf (x)j. Mostre que a funÁ„o f possui ao menos um zero.
CONTINUIDADE PONTUAL E UNIFORME VER√O 2009 31
3.35 Mostre que n„o existe uma funÁ„o f : R! R contÌnua tal que para cada c 2 R a equaÁ„o f (x) = c tem exatamente duas soluÁıes.
3.36 Usando o Teorema do Valor Intermedi·rio de Bolzano deduza que todo polinÙmio de grau Ìmpar, com coeÖcientes reais, tem ao menos uma raiz real.
3.37 Mostre que o polonÙmio p (x) = x^4 + 7x^3 9 tem ao menos duas raÌzes reais. 3.38 Mostre que a equaÁ„o x = cos x tem uma soluÁ„o no intervalo [0; =2] : 3.39 Seja f : [a; b]! R uma funÁ„o contÌnua com a seguinte propriedade: f (a) < 0 e f (b) > 0. Se w = sup fx 2 [a; b] ; f (x) < 0 g ; mostre que f (w) = 0. Isto d· uma demonstraÁ„o alternativa do Teorema do Valor Intermedi·rio de Bolzano.
3.40 Seja f a funÁ„o deÖnida no intervalo [0; =2] por f (x) = max x^2 ; cos x. Sendo f uma funÁ„o contÌnua em [0; =2] ela possui um ponto de mÌnimo x 0 neste intervalo. Mostre que x^20 = cos x 0 :
3.41 Seja f : R! R uma funÁ„o contÌnua tal que (^) x!1lim f (x) = 0. Mostre que f È uma funÁ„o limitada e que o seu m·ximo ou seu mÌnimo È atingido. Por meio de um exemplo, mostre que o m·ximo e o mÌnimo n„o s„o atingidos necessariamente.
3.42 Uma descontinuidade a de f È dita de 1 a^ espÈcie quando os limites laterais de f em a existirem. (a) DÍ exemplo de uma funÁ„o com descontinuidade que n„o seja de 1a^ espÈcie; (b) DÍ exemplo de uma funÁ„o com uma quantidade n„o enumer·vel de descontinuidades; (c) Se uma funÁ„o monÛtona sÛ admite descontinuidades de 1a^ espÈcie, mostre que estas descontinuidades constituem um conjunto no m·ximo enumer·vel.
3.43 Seja f (x) = [1 + exp (1=x)] ^1 ; x 6 = 0. Calcule os limites laterais de f em x = 0. 3.44 Mostre por induÁ„o em n que (^) xlim!1 (ln^ x x)n = 1 : 3.45 Qual a imagem do intervalo aberto ( 1 ; 1) pela funÁ„o contÌnua f (x) = x^2? Conclua que a imagem de um intervalo por uma funÁ„o contÌnua n„o È necessariamente um intervalo do mesmo tipo.
CONTINUIDADE PONTUAL E UNIFORME VER√O 2009 33
3.51 Se f e g s„o uniformemente contÌnuas em D e È uma constante real, mostre que as funÁıes f + g; jf j ; f _ g e f ^ g s„o uniformemente contÌnuas em D. Se alÈm de uniformemente contÌnuas elas forem limitadas em D; mostre que a funÁ„o produto f g È uniformemente contÌnua em D: Observe que as funÁıes f (x) = x e g (x) = sen x s„o uniformemente contÌnuas em R, mas o produto f g = x sen x n„o È.
3.52 Mostre que a composiÁ„o de funÁıes uniformemente cont˙nuas È uma funÁ„o uniforme- mente contÌnua. Se f È uniformemente contÌnua em D e jf (x)j k > 0 , para qualquer x em D; mostre que a funÁ„o 1 =f È uniformemente contÌnua em D:
3.53 Se D R È limitado e f : D! R È uniformemente contÌnua, mostre que f È limitada em D:
3.54 Prove que a funÁ„o f (x) = px; 0 x 1 ; È uniformemente contÌnua, mas n„o È lipschitziana.
3.55 Seja f : [0; + 1 [! R uma funÁ„o contÌnua e suponha que f e uniformemente contÌnua em [a; + 1 ) para alguma constante positiva a. Mostre que f È uniformemente contÌnua em [0; + 1 ):
3.56 Uma funÁ„o f : D! R tem a seguinte propriedade: para cada " > 0 , existe uma funÁ„o uniformemente contÌnua '" : D! R tal que jf (x) '" (x)j < "; 8 x 2 D. Mostre que f È uniformemente contÌnua.
3.57 Mostre que toda funÁ„o f : R! R contÌnua e p-periÛdica È uniformemente contÌnua, limitada e atinge seus extremos.
3.58 Se f : [0; 2]! R È contÌnua e f (0) = f (2), prove que f (c) = f (c + 1), para algum c 2 [0; 2] :
3.59 Suponha que uma funÁ„o contÌnua f : R! R tem limites Önitos quando x! 1. Mostre que f È uniformemente contÌnua (mesma conclus„o vale se existem os limites (^) x!1lim ff (x) xg): Usando este resultado, conclua que a funÁ„o f (x) = x sen (1=x) ; x 6 = 0; e f (0) = 0 È uni- formemente contÌnua em R:
34 AN¡LISE NA RETA MARIVALDO P MATOS
3.3 FunÁ„o de VariaÁ„o Limitada
3.60 FunÁ„o de VariaÁ„o Limitada. Dada uma funÁ„o f : [a; b]! R, a variaÁ„o total de f em [a; b] È, por deÖniÁ„o:
V (^) ab (f ) = sup X^ n i=
jf (xi) f (xi 1 )j ;
onde o supremo È extendido sobre todas as partiÁıes a = x 0 < x 1 < < xn = b do intervalo [a; b] : Quando V (^) ab (f ) < 1 a funÁ„o f È dita de variaÁ„o limitada em [a; b]. A classe das funÁıes de variaÁ„o limitada È representada por BV ([a; b]) (BV do inglÍs Bounded Variation). (a) Mostre que toda funÁ„o da classe BV ([a; b]) È limitada; (b) Mostre que toda funÁ„o f monÛtona em [a; b] È de variaÁ„o limitada e V (^) ab (f ) = jf (b) f (a)j ; (c) Mostre que toda funÁ„o lipschitziana em [a; b] È de variaÁ„o limitada; (d) Mostre que a funÁ„o f : [0; 2]! R deÖnida por
f (x) =
x sen (=x) ; se x 6 = 0 0 ; se x = 0
embora uniformemente contÌnua (e portanto limitada) n„o È de variaÁ„o limitada. (e) Se f; g 2 BV ([a; b]) e 2 R; mostre que f + g; f g; jf j ; f _ g e f ^ g s„o de variaÁ„o limitada.
