xlim→a+^ f^ (x) =^ f^ (a)^ e/ou^ xlim→b−^ f^ (x) =^ f^ (b), pois, neste caso, n˜ao faz sentido fazer x → a ou x → b, visto que s´o podemos nos aproximar destes pontos por um dos lados. Quando a fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em todos os pontos do seu dom´ınio dizemos somente que f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua. No que se segue, apresentamos alguns exemplos de fun¸c˜oes cont´ınuas.

Exemplo 1. Para qualquer c ∈ R temos que

xlim→a c^ =^ c,

e portanto a fun¸c˜ao constante f (x) = c ´e cont´ınua.

Exemplo 2. Se p(x) = b 0 + b 1 x + · · · + bnxn^ ´e um polinˆomio, ent˜ao

xlim→a p(x) = lim x→a(b^0 +^ b^1 x^ +^ · · ·^ +^ bnxn) =^ b^0 +^ b^1 a^ +^ · · ·^ +^ bnan^ =^ p(a),

o que mostra que todo polinˆomio ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua.

Exemplo 3. Uma fun¸c˜ao racional ´e uma fun¸c˜ao definida como o quociente de dois po- linˆomios. Se p(x) e q(x) s˜ao polinˆomios e q(a) 6 = 0, ent˜ao podemos aplicar a regra do quociente para obter

lim x→a^ p q((xx)) = p q((aa)).

Uma vez que dom(p/q) = {x ∈ R : q(a) 6 = 0}, conclu´ımos que toda fun¸c˜ao racional ´e cont´ınua.

O resultado a seguir ´e uma consequˆencia das propriedades de limite. Ele nos permite construir v´arios outros exemplos de fun¸c˜oes cont´ınuas a partir dos 3 acima.

Teorema 1. Se f e g s˜ao cont´ınuas no ponto x = a, ent˜ao s˜ao tamb´em cont´ınuas neste ponto as fun¸c˜oes

(f + g)(x) = f (x) + g(x);
(f − g)(x) = f (x) − g(x);
(f · g)(x) = f (x) · g(x);
(f /g)(x) = f g^ ((xx)) , desde que g(a) 6 = 0.

Em resumo, as opera¸c˜oes b´asicas entre fun¸c˜oes cont´ınuas resultam em fun¸c˜oes cont´ınuas. Uma vez que a prova do teorema ´e bem simples, vamos considerar somente o item 1, deixando os demais para o leitor. Como f e g s˜ao cont´ınua em x = a temos que

xlim→a f^ (x) =^ f^ (a),^ xlim→a g(x) =^ g(a).

Assim

xlim→a[f^ (x) +^ g(x)] = lim x→a f^ (x) + lim x→a g(x) =^ f^ (a) +^ g(a) = (f^ +^ g)(a), o que mostra que f + g ´e cont´ınua em x = a. A prova dos outros itens pode ser feita de maneira an´aloga. Destacamos somente que, no item 4, estamos supondo g(a) 6 = 0 para que possamos aplicar a regra do quociente para limites. De fato, se g(a) = 0, a fun¸c˜ao f /g n˜ao est´a definida no ponto x = a.

Exemplo 4. Lembremos que

lim θ→ 0 sen(θ) = 0 = sen(0), lim θ→ 0 cos(θ) = 1 = cos(0),

o que mostra que o seno e o coseno s˜ao cont´ınuos no ponto θ = 0. Considerando agora um ponto qualquer a ∈ R, podemos usar o f´ormula do seno de uma soma e a mudan¸ca de vari´aveis θ = x − a, para obter

xlim→a sen(x)^ =^ θlim→ 0 sen(θ^ +^ a) = (^) θlim→ 0 [sen(θ) cos(a) + sen(a) cos(θ)]

= sen(0) · cos(a) + sen(a) cos(0) = sen(a),

e portanto o seno ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua. Vocˆe vai verificar na sua tarefa que as demais fun¸c˜oes trigonom´etricas s˜ao tamb´em cont´ınuas.

Tarefa

Vimos no texto que a fun¸c˜ao seno ´e cont´ınua. Nesta tarefa vamos provar a continuidade das demais fun¸c˜oes trigonom´etricas.

Utilize a f´ormula cos(θ + a) = cos(θ) cos(a) − sen(θ) sen(a) e a mesma mudan¸ca de vari´aveis do Exemplo 4 do texto para verificar que

xlim→a cos(x) = cos(a), e concluir que a fun¸c˜ao coseno ´e cont´ınua em todo ponto a ∈ R.

Use agora o Teorema 1 do texto para mostra que s˜ao cont´ınua as demais fun¸c˜oes trigonom´etricas, a saber

tan(x) = sen( cos(xx)) , sec(x) = (^) cos(^1 x), csc(x) = (^) sen(^1 x), cot(x) = (^) tan(^1 x).