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§ II.4 An´eis e Corpos
An´eis e suban´eis
As mais importantes estruturas alg´ebricas com duas composi¸c˜oes internas, s˜ao os chamados an´eis:
II.4.1 Defini¸c˜ao.
Uma estrutura alg´ebrica com duas composi¸c˜oes internas
( A ; + , ·
) ´e denominada um anel, se
i)
( A ; +
) ´e um grupo comutativo.
ii)
( A ; ·
) ´e um semigrupo. iii) Valem as leis distributivas
a(b + c) = ab + ac e (b + c)a = ba + ca ∀ a, b, c ∈ A.
II.4.2 Exemplos.
a)
( ZZ ; + , ·
) ´e um anel, o anel dos n´umeros inteiros.
b)
( IR ; + , ·
) ´e o anel dos n´umeros reais.
c) Seja
( A ; +
) um grupo comutativo aditivo. Definindo-se uma multiplica¸c˜ao trivial em A por ab = 0 ∀ a, b ∈ A, temos que
( A ; + , ·
) ´e um anel. Particularmente, se
( { 0 } ; +
) ´e um grupo com um s´o elemento, ( { 0 } ; + , ·
) ´e o anel unit´ario com um s´o elemento.
d) Seja A = M 2 (IR) =
a^11 a^12 a 21 a 22
∣∣ ∣∣ ∣∣ a 11 , a 12 , a 21 , a 22 ∈^ IR
, o conjunto das (2 × 2)-matrizes com entradas reais. Definindo-se para todas as a^11 a^12 a 21 a 22
(^) ,
b^11 b^12 b 21 b 22
(^) ∈ A
a soma e o produto por a^11 a^12 a 21 a 22
(^) +
b^11 b^12 b 21 b 22
(^) =
a^11 +^ b^11 a^12 +^ b^12 a 21 + b 21 a 22 + b 22
(^) ,
a^11 a^12 a 21 a 22
(^) ·
b^11 b^12 b 21 b 22
(^) =
a^11 b^11 +^ a^12 b^21 a^11 b^12 +^ a^12 b^22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22
(^) ,
temos que
( M 2 (IR) ; + , ·
) ´e um anel, o anel das (2 × 2)-matrizes reais. e) Seja E um conjunto e considere A = 2 E^ , o conjunto de todas as partes de E. Definindo-se para todas as X, Y ∈ A :
X + Y = (X ∪ Y )(X ∩ Y ) e X · Y = X ∩ Y ,
temos que
( A ; + , ·
) ´e um anel, chamado o anel de Boole sobre o con- junto E.
(Provar estas asser¸c˜oes !)
Uma conseq¨uˆencia das leis distributivas em an´eis ´e:
II.4.3 Observa¸c˜ao.
Seja
( A ; + , ·
) um anel. Ent˜ao
0 · x = x · 0 = 0 para qualquer elemento x ∈ A.
Demonstra¸c˜ao: Temos 0 + 0 = 0. Segue x(0 + 0) = x · 0 e da´ı pela lei distributiva: x · 0 + x · 0 = x · 0. Somando-se −(x · 0) a ambos os lados, obtemos (x · 0 + x · 0) +
( − (x · 0)
) = x · 0 +
( − (x · 0)
)
. Portanto tamb´em x · 0 +
( x · 0 +
( − (x · 0)
)) = x · 0 +
( − (x · 0)
)
. Mas x · 0 +
( − (x · 0)
) = 0, o que mostra x · 0 = x · 0 + 0 = 0.
0 · x = 0 ´e mostrado da mesma forma, empregando-se a outra lei distributiva.
II.4.4 Defini¸c˜ao.
Um subconjunto S de um anel
( A ; + , ·
) ´e dito um subanel de A, se i) S ´e um subgrupo de
( A ; +
) .
ii) S ´e um subsemigrupo de
( A ; ·
) .
x(y + z) = ϕ(a)
( ϕ(b) + ϕ(c)
) = ϕ(a)ϕ(b + c) = ϕ
( a(b + c)
)
= ϕ(ab + ac) = ϕ(ab) + ϕ(ac) = ϕ(a)ϕ(b) + ϕ(a)ϕ(c) = xy + xz.
A lei (y + z)x = yx + zx ´e an´aloga. Logo a subestrutura ϕ(A) de L ´e de fato um anel.
Uma rela¸c˜ao de congruˆencia do anel A, i.e. uma κ ∈ Cg
( A ; + , ·
) , ´e um elemento κ ∈ Eq(A) ⊆ 2 A×A^ ,
tal que ∀ a, a′, b, b′^ ∈ A :
a κ a′ b κ b′^ =⇒ a + b κ a′^ + b′^ e a · b κ a′^ · b′^.
Se κ ´e uma rela¸c˜ao de congruˆencia do anel
( A ; + , ·
) e γ ´e o epimorfismo can´onico de A sobre A/κ, vemos por II.4.6 que a estrutura quociente
( A/κ ; + , ·
)
´e de fato um anel. ( A/κ ; + , ·
) chama-se o anel quociente de A mod κ.
Para classificar (a menos de isomorfismos) os an´eis que s˜ao as imagens homom´orficas de um anel
( A ; + , ·
) , ´e preciso determinar ou descrever o conjunto Cg
( A ; + , ·
)
de suas rela¸c˜oes de congruˆencia (ver II.2.24/25).
Se
( A ; + , ·
) ´e um anel e S ´e um subanel de A, podemos claramente con- siderar a rela¸c˜ao de equivalˆencia κS definida por a κS b ⇐⇒ a − b ∈ S. Esta rela¸( c˜ao ´e compat´ıvel com a adi¸c˜ao, pois todo subgrupo S do grupo comutativo A ; +
) ´e normal nele (ver II.3.18). Logo
κS ∈ Cg
( A ; +
) .
Al´em disso, sabemos que toda rela¸c˜ao de congruˆencia de
( A ; +
) ´e assim obtida. Problemas vamos ter em geral quanto `a compatibilidade de κS com a multiplica¸c˜ao:
Considerando-se em
( IR ; + , ·
) o subanel ZZ dos n´umeros inteiros e a rela¸c˜ao
a κZZ b ⇐⇒ a − b ∈ ZZ (a, b ∈ IR) ,
temos
1 2 κZZ
3 2 1 4 κZZ
5 4
, mas 18 = 12 · 14 6 κZZ^32 · 54 = 158.
Qual a propriedade adicional que um subanel S deve ter para que a rela¸c˜ao κS seja tamb´em multiplicativamente compat´ıvel?
II.4.7 Defini¸c˜ao.
Um subconjunto I de um anel A ´e denominado um ideal de A, indicado por I A (i.e. usamos a mesma nota¸c˜ao usada para indicar subgrupos normais em grupos), se
- I ´e um subgrupo do grupo aditivo
( A ; +
) , i.e. I 6 = 6 O e x − y ∈ I para todos os x, y ∈ I.
- ax ∈ I e xa ∈ I ∀ x ∈ I; ∀ a ∈ A , i.e. I n˜ao ´e apenas multiplicativamente fechado: I cont´em um produto ax ou xa sempre se (pelo menos) um fator est´a em I.
Por I(A) indicamos o conjunto de todos os ideais de A.
Escrever I ∈ I(A) significa o mesmo quanto I A.
Os ideais de um anel s˜ao portanto uma categoria especial de suban´eis - da mesma forma que os subgupos normais de um grupo s˜ao uma categoria especial de sub- grupos.
II.4.8 Exemplos.
a) Para qualquer anel A temos { 0 } , A ∈ I(A), i. e. os subgrupos aditivos triviais { 0 } e A s˜ao ideais de A, os chamados ideais triviais.
b) Seja
( A ; + , ·
)
( ZZ ; + , ·
) e n ∈ IN 0. Para os suban´eis Un =
{ nk
∣∣ ∣ (^) k ∈ ZZ
} de
( ZZ ; + , ·
) temos de fato
Un ∈ I(ZZ).
a) Iκ =
{ x ∈ A
∣∣ ∣ (^) x κ 0
} ´e um ideal de A. b) Para todos os a, b ∈ A temos
a κ b ⇐⇒ a − b ∈ Iκ.
Demonstra¸c˜ao: a) Sabemos que Iκ ´e um subgrupo do grupo aditivo
( A ; +
) .
Se x ∈ Iκ e a ∈ A, temos
x κ 0 a κ a e segue xa κ 0 · a = 0 = a · 0 κ ax. Logo,
xa, ax ∈ Iκ. Isto significa Iκ A.
Al´em disso, ∀ a, b ∈ A :
a κ b ⇐⇒ a−b κ 0 ⇐⇒ a − b ∈ Iκ.
Portanto temos a
II.4.11 Conseq¨uˆencia.
Seja A um anel. Entre o conjunto I(A) dos ideais de A e o conjunto Cg
( A ; + , ·
)
das suas rela¸c˜oes de congruˆencia, existe uma correspondˆencia biun´ıvoca, esta- belecida por I −→ κI ∀ I ∈ I (A) ,
cuja inversa ´e κ −→ Iκ ∀ κ ∈ Cg
( A ; + , ·
) .
Particularmente, I (A) e Cg
( A ; + , ·
) s˜ao conjuntos equipotentes.
Al´em disso,
{ 0 } −→ κ{ 0 } = δA e A −→ κA = A×A ,
i.e. nesta correspondˆencia, o ideal I = { 0 } corresponde a rela¸c˜ao da igualdade, o ideal I = A correspondea rela¸c˜ao universal em A.
II.4.12 Conseq¨uˆencia.
Um anel
( A ; + , ·
) ´e simples, se e somente se
A 6 = { 0 } e I (A) =
{ { 0 } , A
} .
An´eis quocientes e ideais
II.4.13 Observa¸c˜ao.
Seja
( A ; + , ·
) um anel, I A e κI ´e a congruˆencia associada ao I. a) A classe de equivalˆencia ¯a do elemento a ∈ A mod κI ´e
¯a = a + I =
{ a + x
∣∣ ∣ (^) x ∈ I
} .
b) O anel quociente A/κI ´e
A/κI =
{ a+I
∣∣ ∣ (^) a ∈ A
} .
Escreve-se tamb´em A/I = A/κI.
Demonstra¸c˜ao: a) x ∈ ¯a ⇐⇒ x κI a ⇐⇒ x − a ∈ I ⇐⇒ x ∈ a + I.
b) tamb´em ´e claro.
II.4.14 Observa¸c˜ao.
Seja
( A ; + , ·
) um anel, I A e
A/I =
{ a+I
∣∣ ∣ (^) a ∈ A
}
o anel quociente de A mod I. Ent˜ao
a) A adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao induzidas em A/I s˜ao dadas por
(a+I) + (b+I) = (a+b) + I (a+I) · (b+I) = ab + I
∀ a+I, b+I ∈ A/I.
I, a classe de 0 , ´e o elemento nulo de A/I. Para todo a+I ∈ A/I seu negativo ´e −(a+I) = (−a)+I.
b) O epimorfismo can´onico γ ∈ (A/I)A^ ´e a aplica¸c˜ao dada por
γ(a) = a+I ∀ a ∈ A.
Demonstra¸c˜ao: Abreviamos a¯ = a+I,
a) Se a, b ∈ A, a adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao indicadas s˜ao
¯a + ¯b = (a+I) + (b+I) = (a+b) + I = a + b ,
a) ϕ(A) ´e um subanel de
( L ; + , ·
) .
b) Nuc ϕ A.
c) κϕ = κNuc ϕ
Demonstra¸c˜ao: a) Ver II.4.6.
b) e c) seguem de II.4.15.
O teorema geral do homomorfismo (ver II.2.24), reformulado para an´eis ´e agora assim:
II.4.17 Teorema. (teorema do homomorfismo para an´eis)
Sejam
( A ; + , ·
) e
( L ; + , ·
) (^ dois an´eis. Seja^ ϕ^ ∈^ LA^ um homomorfismo de A ; + , ·
) em
( L ; + , ·
)
. Ent˜ao valem:
a) A imagem ϕ(A) =
{ ϕ(x)
∣∣ ∣ (^) x ∈ A
} ´e um subanel de
( L ; + , ·
) .
b) O n´ucleo Nuc ϕ =
{ x ∈ A
∣∣ ∣ (^) ϕ(x) = 0L
} ´e um ideal de A.
c) Existe um ´unico isomorfismo ψ do anel quociente
( A/Nuc ϕ ; + , ·
) so- bre o subanel imagem
( ϕ(A) ; + , ·
) , de tal maneira que ϕ = ψ ◦ γ. Particularmente, ( A/Nuc ϕ ; + , ·
( ϕ(A) ; + , ·
) .
O teorema do homomorfismo para an´eis diz ent˜ao:
O anel quociente de um anel mod um qualquer ideal, ´e uma imagem homom´orfica do anel original. Reciprocamente vale: A imagem homom´orfica de um anel por um homomorfismo ϕ ´e um anel, o qual pode ser reencontrado isom´orficamente em forma de um anel quociente, olhando o anel original mod o ideal Nuc ϕ associado ao homomorfismo ϕ.
Propriedades especiais de an´eis
II.4.18 Defini¸c˜ao.
Um anel
( A ; + , ·
) chama-se a) um anel com identidade se existe um elemento 1 ∈ A tal que 1 · a = a · 1 = a para todo a ∈ A. Isto significa portanto que o semigrupo
( A ; ·
) ´e um mon´oide.
b) anel comutativo, se ab = ba para todos os a, b ∈ A. Isto significa que o semigrupo
( A ; ·
) ´e comutativo.
c) anel comutativo com identidade se A tem as propriedades de a) e b) si- multˆaneamente. Isto significa portanto que
( A ; ·
) ´e um mon´oide comuta- tivo. d) um dom´ınio de integridade, se A ´e um anel comutativo com identidade, tal que R(A; · ) = A \ { 0 }. Isto significa que, se 0 6 = a ∈ A e x, x′^ ∈ A ent˜ao temos a lei do cancelamento ax = ax′^ =⇒ x = x′. e) um corpo, se A ´e um anel comutativo com identidade 1 6 = 0, tal que U(A; · ) = A{ 0 }. Isto significa portanto que se 0 6 = a ∈ A, ent˜ao existe x ∈ A com ax = 1.
II.4.19 Exemplos.
a)
( ZZ ; + , ·
) , o anel dos n´umeros inteiros ´e um dom´ınio de integridade por´em n˜ao ´e um corpo.
b)
( IR ; + , ·
) , o anel dos n´umeros reais, ´e um corpo.
c) O anel
( 2 ZZ ; + , ·
) dos n´umeros inteiros pares ´e um anel comutativo sem elemento identidade.
d) Seja
( A ; +
) um grupo comutativo aditivo. O anel
( A ; + , ·
) com a mutiplica¸c˜ao trivial (ab = 0 ∀ a, b ∈ A), ´e um anel comutativo. Ele n˜ao possui uma identidade se |A| ≥ 2. O anel trivial A = { 0 } , cujo ´unico elemento ´e tanto o elemento nulo quanto a sua identidade, no nosso entendimento ´e um dom´ınio de integridade.
Um produto de dois elementos num anel ´e 0 , sempre se um dos fatores ´e 0 (ver II.4.3). Vemos que esta conclus˜ao, por´em, nem sempre ´e revers´ıvel, i.e.
um produto ab num anel pode ser 0 com ambos os fatores a, b 6 = 0.
Isto justifica a
II.4.21 Defini¸c˜ao.
Um elemento a de um anel comutativo A 6 = { 0 } chama-se um divisor de zero, se existe um 0 6 = b ∈ A tal que ab = 0.
Observamos que a = 0 sempre ´e um divisor de zero (trivial) (por II.4.3).
Por II.4.20 c), os dom´ınios de integridade A 6 = { 0 } portanto, n˜ao possuem divisores de zero n˜ao-triviais.
II.4.22 Exemplos.
a) No anel quociente A = ZZ/(6) =
( {¯ 0 , ¯ 1 , ¯ 2 , ¯ 3 , ¯ 4 , ¯ 5 } ; + , ·
) temos ¯ 2 · ¯3 = ¯ 0 e ¯ 2 6 = ¯ 0 6 = ¯ 3.
Portanto, ¯ 2 e ¯ 3 s˜ao dois divisores de zero n˜ao-triviais.
b) Seja E um conjunto com |E| ≥ 2 e A= 2 E^. Seja A ⊆ E com 6 O 6 = A 6 = E e B = CptE (A). Temos
6 O 6 = A, B ∈ A com AB = A ∩ B = 6 O.
Portanto,( A e B s˜ao dois divisores de zero n˜ao-triviais do anel de Boole A ; + , ∩
) (observe que 6 O ´e o elemento nulo de A !).
Ideais principais em an´eis comutativos com identidade
II.4.23 Observa¸c˜ao.
Seja
( A ; + , ·
) um anel comutativo com elemento identidade 1 e seja a ∈ A um qualquer elemento. Ent˜ao
aA =
{ ax
∣∣ ∣ (^) x ∈ A
}
i.e. o conjunto de todos os m´ultiplos de a, forma um ideal de A. Vale a ∈ aA e aA ´e o menor ideal de A que cont´em a.
Este ideal aA, `as vezes tamb´em denotado por Ia ou (a), ´e denominado
o ideal principal de A gerado por a.
Demonstra¸c˜ao: Certamente, a = a · 1 ∈ aA 6 = 6 O. Se x, y ∈ aA s˜ao dois quais- quer elementos, existem x 1 , y 1 ∈ A com x = ax 1 e y = ay 1. Segue x − y = ax 1 − ay 1 = a(x 1 − y 1 ) ∈ aA, mostrando que aA ´e um subgrupo aditivo de A.
Se ainda c ∈ A, segue xc = cx = (ax 1 )c = a(x 1 c) ∈ aA. Portanto, aA de fato ´e um ideal de A.
Como qualquer ideal de A que cont´em a tamb´em deve conter todos os m´ultiplos ax, vemos que aA ´e de fato o menor ideal de A contendo a.
II.4.24 Exemplos.
a) Seja
( A ; + , ·
)
( ZZ ; + , ·
)
(6) = I 6 = 6ZZ =
{ 6 x
∣∣ ∣ x ∈ ZZ
}
´e o ideal principal de ZZ gerado por 6. Observamos (6) = (−6).
b) Seja E um conjunto, A= 2 E^ e seja
( A ; + , ·
) o anel de Boole sobre E, as composi¸c˜oes de A sendo X + Y = (X ∪ Y )(X ∩ Y ) , X · Y = X ∩ Y ∀ X, Y ∈ A. O ideal principal de A gerado por A ∈ A, ´e AA = (A) =
{ AX
∣∣ ∣ (^) X ∈ A
}
{ A ∩ X
∣∣ ∣ (^) X ∈ A
}
=
{ Y
∣∣ ∣ (^) Y ⊆ A
} = 2 A^ 2 E^.
Em qualquer anel (comutativo com elemento identidade) temos { (a)
∣∣ ∣ a ∈ A
} ⊆ I(A) ,
isto significa que os ideais principais formam uma subfam´ılia do conjunto de todos os ideais de A. Observamos que, al´em dos ideais principais podem existir outros ideais num anel A :
Portanto, J = (n) ´e um ideal principal e vemos
{ (a)
∣∣ ∣ (^) a ∈ ZZ
} = I(ZZ).
An´eis simples e Corpos
A propriedade da simplicidade (i.e. A 6 = { 0 } e I(A) =
{ { 0 } , A
} ) tem uma caracteriza¸c˜ao transparente, se A ´e um anel comutativo com elemento identidade. Esta queremos mencionar:
II.4.28 Proposi¸c˜ao.
Seja
( A ; + , ·
) um anel comutativo com elemento identidade 1. Equivalentes s˜ao :
a)
( A ; + , ·
) ´e simples
b)
( A ; + , ·
) ´e um corpo
Demonstra¸c˜ao: ”a) ⇒ b)”: Seja
( A ; + , ·
) {^ simples.^ Isto significa^ I(A) = { 0 } , A
} com A 6 = { 0 }. Seja dado 0 6 = a ∈ A e considere o ideal principal
(a) = aA =
{ ax
∣∣ ∣ x ∈ A
} .
Temos { 0 } 6 = aA ∈ I(A). Portanto, aA = A, devido `a simplicidade de A. Par- ticularmente, 1 ∈ aA, i.e. existe x 0 ∈ A com ax 0 = 1. Mas isto significa que a ∈ U(A; · ). Logo U(A; · ) = A{ 0 } e vemos que A ´e um corpo.
”b) ⇒ a)”: Seja
( A ; + , ·
) um corpo e seja dado um ideal { 0 } 6 = I ∈ I(A).
E preciso mostrar que^ ´ I = A. Para isto peguemos um 0 6 = a ∈ I. Como A ´e um corpo, temos a ∈ U(A; · ). Logo, existe x 0 ∈ A com 1 = ax 0 ∈ I. Para todo y ∈ A concluimos agora y = y · 1 ∈ I. Isto significa I = A e da´ı I(A) =
{ { 0 } , A
} . Vemos a simplicidade de A.
Ideais primos e ideais maximais
Ideais com propriedades espec´ıficas conduzem a an´eis quocientes espec´ıficos. Ve- jamos alguns exemplos no caso de an´eis comutativos com elemento identidade.
Lembremos que qualquer ideal cont´em um produto ab de elementos de A desde que ele contenha pelo menos um dos fatores a ou b. Esta conclus˜ao nem sempre ´e revers´ıvel: O produto de dois elementos ab pode estar num ideal com ambos os fatores fora do ideal. A seguinte defini¸c˜ao trata dos ideais para os quais isto n˜ao ocorre:
II.4.29 Defini¸c˜ao.
Seja A um anel comutativo com identidade. Um ideal P ´e denominado
um ideal primo,
se para todos os a, b ∈ A pudermos concluir:
ab ∈ P =⇒ a ∈ P ou b ∈ P ,
i.e. P cont´em um produto ab somente se ele cont´em um dos fatores.
II.4.30 Exemplos.
a) Seja p um n´umero primo. Ent˜ao o ideal principal P = (p) de
( ZZ ; + , ·
)
´e um ideal primo.
b) O ideal I = (6) de ZZ n˜ao ´e um ideal primo.
c) Em qualquer anel comutativo com identidade temos que o ideal trivial
P = A ´e um ideal primo.
O ideal trivial I = { 0 } ´e primo, se e somente se A ´e um dom´ınio de integri- dade.
Demonstra¸c˜ao: a) Se a, b ∈ ZZ s˜ao tais que ab ∈ P, isto significa que ab ´e m´ultiplo de p. Como um primo n˜ao pode ser multiplicativamente distribuido para dois fatores, concluimos que p tem que dividir um dos fatores a ou b (ou ambos). Mas ent˜ao a ∈ (p) = P ou b ∈ (p) = P. Vemos que (p) ´e um ideal primo.
b) Pois temos 2 · 3 = 6 ∈ I, por´em 2 6 ∈ I e tamb´em 3 6 ∈ I. Logo (6) n˜ao ´e um
J´a que os ideais primos s˜ao exatamente aqueles cujos an´eis quocientes s˜ao dom´ınios de integridade, uma pergunta justificada ´e:
Como s˜ao os ideais cujos quocientes s˜ao corpos?
Como todo corpo ´e um dom´ınio de integridade, estes ideais dever˜ao ser ideais pri- mos espec´ıficos.
II.4.32 Defini¸c˜ao.
Seja
( A ; + , ·
) um anel comutativo com elemento identidade. Um ideal M A ´e denominado um ideal maximal de A, se
i) M 6 = A.
ii) Se X A com M ≤ X 6 = A, ent˜ao X = M, i.e. que entre M e A n˜ao existe propriamente nenhum ideal de A. (Equivalentemente: Se M < X A, ent˜ao X = A.)
II.4.33 Proposi¸c˜ao.
Seja
( A ; + , ·
) um anel comutativo com identidade e J A. Ent˜ao s˜ao equiv- alentes:
a)
( A/J ; + , ·
) ´e um corpo.
b) J ´e um ideal maximal de A.
Demonstra¸c˜ao: Certamente,
A/J ´e um anel comutativo cujo elemento identidade ´e 1+J
(a classe 0+J = J ´e seu elemento nulo). Por II.4.28, a afirma¸c˜ao da proposi¸c˜ao pode ser substituida por:
A/J ´e um anel simples, se e somente se J ´e um ideal maximal em A.
”a) ⇒ b)”: Seja A/J um anel simples. Particularmente temos |A/J| ≥ 2 e portanto, J ⊂ 6 = A.
Suponha, J ≤ X A e X 6 = A. Segue que
X/J =
{ x+J
∣∣ ∣ (^) x ∈ X
}
´e um ideal de A/J com {J} = J/J ≤ X/J 6 = A/J (detalhar!). Pela simplicidade de A/J concluimos portanto X/J = {J} e da´ı X = J. Isto mostra que J ´e um ideal maximal de A.
”b) ⇒ a)”: Suponha J ´e um ideal maximal em A. Isto significa J 6 = A e para todo ideal Y com J ≤ Y A temos Y = J ou Y = A. Devemos mostrar que A/J ´e um corpo:
Certamente, temos |A/J| ≥ 2. Seja dado um J 6 = a+J ∈ A/J. Devemos mostrar que a+J ´e multiplicativamente invers´ıvel, ou seja, devemos encontrar x 0 +J ∈ A/J com (a+J)(x 0 +J) = 1+J.
Consideremos Y = J + (a) =
{ j + ax
∣∣ ∣ j ∈ J, x ∈ A
} e provemos que J < Y A : Fazendo x = 0, vemos J ⊆ Y. Para x = 1 e j = 0 vemos a ∈ Y \J. Logo, J ⊂ 6 = Y. Provemos agora que Y ´e um ideal de A:
Temos Y 6 = 6 O. Sejam y 1 , y 2 ∈ Y. Existem j 1 , j 2 ∈ J, x 1 , x 2 ∈ A com y 1 = j 1 + ax 1 e y 2 = j 2 + ax 2. Segue y 1 − y 2 = (j 1 − j 2 ) + a(x 1 − x 2 ) ∈ Y. Se ainda b ∈ A, temos by 1 = y 1 b = j 1 b + a(x 1 b) ∈ J + (a) = Y. Portanto, Y ´e um ideal de A e vemos J < Y A. Pela maximalidade de J concluimos Y = A. Segue 1 ∈ Y e v˜ao existir j 0 ∈ J, x 0 ∈ A com 1 = j 0 + ax 0. Segue 1 + J = j 0 + ax 0 + J = ax 0 + J = (a + J)(x 0 + J). Logo, a + J ´e invers´ıvel e vemos que A/J ´e um corpo.
II.4.34 Conseq¨uˆencia.
Todo ideal maximal de um anel comutativo com identidade, ´e um ideal primo.
II.4.35 Conseq¨uˆencia.
Seja
( ZZ ; + , ·
) o anel dos n´umeros inteiros e n ∈ IN 0. Ent˜ao s˜ao equivalentes:
a)
( ZZ/(n) ; + , ·
) ´e um corpo. b) n = p ´e um n´umero primo.
Demonstra¸c˜ao: ”a) ⇒ b)”: Seja ZZ/(n) um corpo. Por II.4.33 sabemos que (n) tem que ser um ideal maximal de ZZ. Como ZZ n˜ao ´e um corpo, vemos que { 0 } 6 = (n) 6 = ZZ, i.e. n ≥ 2. Seja n ´e decomposto como n = rs com 1 ≤ r, s ≤ n. Temos (n) ⊆ (r) ZZ e vemos que devemos ter (r) = (n) ou
