Cap´ıtulo 1
Notas sobre os an´eis Zm
Estas notas complementam o texto principal, no que diz respeito ao estudo
que a´ı se faz dos grupos e an´eis Zm. Referem algumas propriedades mais
espec´ıficas dos suban´eis de Zm, e estabelecem resultados preliminares sobre
homomorfismos e isomorfismos definidos nestas estruturas.
1.1 Subgrupos e Suban´eis de Zm
No contexto de um dado anel A, ´e em geral indispens´avel distinguir cuida-
dosamente os seus subgrupos, os seus suban´eis, e os seus ideais.
Exemplo 1.1.1.
No anel Z[i] dos inteiros de Gauss, note-se que
•os imagin´arios puros formam um subgrupo que n˜ao ´e subanel, e
•os inteiros usuais formam um subanel que n˜ao ´e um ideal.
Tal n˜ao ´e o caso nos an´eis Zme em Z, onde qualquer subgrupo ´e um subanel,
e qualquer subanel ´e um ideal. No que se segue, e quando no contexto de
um destes an´eis (Zmou Z), usaremos sobretudo o termo subanel, mas esta
op¸c˜ao ´e essencialmente arbitr´aria. Recordamos que Zmtem precisamente
um subanel com nelementos, para cada um dos divisores nde m. Em
particular, o n´umero de suban´eis de Zm´e o n´umero de divisores naturais
de m, que ´e muito f´acil de calcular sabendo a factoriza¸c˜ao prima de m. O
subanel de Zmcom nelementos ´e gerado pela classe d, onde d=m/n, e
portanto ´e formado pelas classes da forma dk, e designado por < d >.
Exemplo 1.1.2.
Z40 tem 8 suban´eis (subgrupos, ideais), porque 40 = 2351tem (3 + 1)(1 + 1)
divisores naturais. O seu ´unico subanel com 4 elementos ´e gerado por 10,
porque 10 = 40/4. Temos neste caso <10 >={10,20,30,0}.
1
