Resumo de Anéis e Corpos, Notas de aula de Álgebra

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ÁLGEBRA II

ANÉIS E CORPOS

Definição 01. Um anel é um conjunto A , não vazio, com duas operações

definidas, as quais chamamos adição e multiplicação , que gozam dos

seguintes axiomas:

(A1) é um grupo abeliano (vide anexo 1, slide 6);

(A2) A multiplicação é associativa;

(A3) Para todo valem as distributivas

( A , + , ∙ )

( A , + )

a , b , c ∈ A

a ( b + c ) = ab + ac

( a + b ) c = ac + bc

Teorema.

Se é um anel em que é o elemento neutro da adição, então para cada , temos:

Demonstração.

1. Como , segue a tese.
2. O b s e r v e q u e é r a i z d a e q u a c ã o. D e f a t o , . Logo, é o oposto de , isto é,.

Com o mesmo argumento, prova-se a outra igualdade.

3. Usando (2) temos e é o oposto de.

A 0 a , b ∈ A

a .0 = 0. a = 0

a (− b ) = (− a ). b = − ( ab )

(− a ). (− b ) = ab

a .0 + a .0 = a ( 0 + 0 ) = a .0 = 0 + a.

a. (− b ) x + ab = 0

a. (− b ) + ab = a (− b + b ) a. (− b ) ab a (− b ) = − ( ab )

(− a ). (− b ) = −

−( ab )

−( ab )

−( ab )

Definição 02. Um anel em que a multiplicação é comutativa é chamado Anel

Comutativo.

Um anel com elemento neutro multiplicativo é chamado Anel com Unidade.

Definição 03. Um anel em que todo elemento diferente de zero é inversível é

chamado Anel com Divisão.

Um Corpo é um anel comutativo com divisão.

Definição 04. Um Subanel de um anel é um subconjunto de com as suas

operações induzidas. Analogamente, temos a definição de Subcorpo.

Exemplos: são anéis comutativos com unidade.

são anéis comutativos sem unidade.

são corpos.

A

A

A

K

B A A

p

2 ℤ, 3 ℤ, n ℤ

p