Aplicação do Método Simplex, Notas de aula de Programação Linear

Baixe Aplicação do Método Simplex e outras Notas de aula em PDF para Programação Linear, somente na Docsity!

Programação Linear

Método Simplex

O modelo do problema

H .H. x  x 

x  x 

H .M. x  x 

Max L x x

x , x

s.a

 (^) Um quadro pode ser formado com os coeficientes das variáveis.

Observe o formato das colunas de x

3

e x

4 x1 x2 x3 x L -4 -1 0 0 0 x3 9 1 1 0 18 x4 3 1 0 1 12

Observe os coeficientes de x

1

e x

2

na linha da

função objetivo.

Para auxiliar pode-se utilizar uma coluna para

destacar os valores das variáveis básicas.

 (^) A primeira pergunta é qual a variável que, entrando da base, aumentaria mais rapidamente o valor da função objetivo.

A pergunta é respondida observando-se qual a

variável que tem o coeficiente mais negativo na

linha referente à função objetivo.

x1 x2 x3 x L -4 -1 0 0 0 x3 9 1 1 0 18 x4 3 1 0 1 12

No caso, a variável x

1

 (^) Com a decisão tomada, a linha de x 3 deve refletir agora o valor de x 1 , consegue-se isto fazendo o coeficiente de x 1 igual a 1 naquela linha e trocando-se o nome à direita do quadro.

Para que o quadro fica passível de análise é

necessário escaloná-lo sendo a linha de x

1

a pivô.

x1 x2 x3 x L -4 -1 0 0 0 x1 1 1/9 1/9 0 2 x4 3 1 0 1 12

 (^) O novo quadro será:

Observe o formato das colunas de x

1

e x

4 x1 x2 x3 x L 0 - 5/9 4/9 0 8 x1 1 1/9 1/9 0 2 x4 0 2/3 - 1/3 1 6

Observe os coeficientes de x

2

e x

3

na linha da

função objetivo.

A coluna à direita destaca os valores das novas

variáveis básicas e do lucro.

x1 x2 x3 x L 0 - 5/9 4/9 0 8 x1 1 1/9 1/9 0 2 x4 0 2/3 - 1/3 1 6  (^) Pode-se automaticamente localizar o mínimo das razões dos valores das variáveis básicas com os coeficientes de x 2.

Mínimo

18 2 9 1  9 6 3 2 

Nova linha pivô

x1 x2 x3 x L 0 0 1/6 5/6 13 x1 1 0 1/6 - 1/6 1 x2 0 1 - 1/2 1 1/2 9  (^) Multiplicando-se a linha de x 2 por 3/2, trocando-se o nome da variável e escalonando resulta em:

Observe novamente as colunas de x

1

e x

2

(as VB’s)

Observe também os coeficientes de x

3

e x

4

(as VNB’s ) na

linha da função objetivo.

A coluna à direita destaca os valores das novas variáveis

básicas e do lucro.

A solução é ótima dado os coeficientes positivos.

Aplicando o SIMPLEX

no Exemplo 2

 (^) Uma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de 300m de tábuas, 600m de pranchas e 500m de painéis de aglomerado.  (^) Oferece normalmente 4 modelos de móveis: Escrivaninha, Mesa, Armário e Prateleira.  (^) Os modelos são vendidos respectivamente por $100,00; $80,00; $120,00; $30,00.  (^) E consomem:  (^) Escrivaninha: 1m tábua, 3m de painéis.  (^) Mesa: 1m tábua, 1m prancha, 2m painéis.  (^) Armário: 1m tábua, 1m prancha, 4 painéis.  (^) Prateleira: 4m tábua, 2 de prancha.

O modelo do problema

E M A P

x x x x Max L x x x x E M A P 100 80 120 30 , , ,      0  0  0  0

E M A P

x x x x   2  600

M A P

Pr x x x    4  300 E M A P Tb x x x x 3  2  4  500

E M A

Pa x x x

O quadro é: xE xM xA xP xF1 xF2 xF L -100 -80 -120 -30 0 0 0 0 xF1 1 1 1 4 1 0 0 300 xF2 0 1 1 2 0 1 0 600 xF3 3 2 4 0 0 0 1 500

Observe as colunas das variáveis básicas e os

coeficientes das variáveis não básicas.

Os valores das VB’s estão a direita.

Quem entra na base é x

A

e quem sai é x

F

A linha pivô é a linha da VBS x

F

 (^) O novo quadro é: xE xM xA xP xF1 xF2 xF L -10 -20 0 -30 0 0 30 15000 xF1 1/4 1/2 0 4 1 0 - 1/4 175 xF2 - 3/4 1/2 0 2 0 1 - 1/4 475 xA 3/4 1/2 1 0 0 0 1/4 125

x

P

é a variável que entrará na base no lugar de

x

F

Dividindo-se por 4 e escalonando....

 (^) O novo quadro é: xE xM xA xP xF1 xF2 xF L 16,25 0 32,5 0 7,5 0 36,25 20375 xP -0,125 0 -0,25 1 0,25 0 -0,13 12, xF2 -1,25 0 -0,5 0 -0,5 1 -0,25 325 xM 1,5 1 2 0 0 0 0,5 250

A solução é ótima, não há coeficientes

negativos.