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Lista de exercícios Resolução de Programação Linear - Gabarito 1 Formulação e problemas típicos
- Uma pequena manufatura produz dois modelos, Standard e Luxo, de um certo produto. Cada unidade do modelo Standard exige 1 hora de lixação e 1 hora de polimento. Cada unidade do modelo luxo exige 1 hora de lixação e 4 horas de polimento. A fábrica dispõe de 2 lixadoras e 3 polidoras, cada um trabalhando 40 horas semanais. As margens de lucro são $24 e $34, respectivamente, para cada unidade Standard e Luxo. Não existem restrições de demanda para ambos os modelos. Elabore um modelo de programação linear que permita calcular a produção semanal que maximiza a margem total de lucro do fabricante. Resolução: , 0 4 120 (polimento) 80 (lixação)
quantidadedemodeloStandard; quantidadedemodeloLuxo 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ≥
x x x x x x sa Maxz x x x x
- Um fazendeiro dispõe de 400 ha cultiváveis com milho, trigo ou soja. Cada hectare de milho exige $2. para preparação do terreno, 20 homens-dia de trabalho e gera um lucro de $600. Um hectare de trigo envolve custos de $2.400 para preparação do terreno, 30 homens-dia de trabalho e dá um lucro de $800. Analogamente, um hectare de soja exige $1.400, 24 homens-dia e dá um lucro de $400. O fazendeiro dispõe de $800.000 para cobrir os custos de trabalho e 7.200 homens-dia de mão de obra. Elabore um modelo de programação linear de forma a calcular a alocação de terra para os vários tipos de cultura com o objetivo de maximizar o lucro total. Resolução: , , 0 20 30 24 7. 200 (mãodeobradisponivel)
- 000 2. 400 1. 400 800. 000 (custospreparaçãodoterreno) 400 (áreacultiváveldisponivel)
hamilho; hatrigo; hasoja 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ≥
x x x x x x x x x x x x sa Maxz x x x x x x
- A empresa de manufatura Ômega descontinuou a produção de uma determinada linha de produtos não lucrativa. Esse fato acabou criando um considerável excesso de capacidade produtiva. A direção está levando em conta a possibilidade de dedicar esse excesso de capacidade produtiva para um ou mais produtos. A estes vamos chamá-los de produtos 1, 2 e 3. A capacidade disponível nas máquinas que poderiam limitar a produção está sintetizada na tabela a seguir: Tipo de máquina Tempo disponível (horas-máquina por semana) Fresadora 500 Torno 350 Retificadora 150
Lista de exercícios Resolução de Programação Linear - Gabarito 2 O número de horas-máquina exigidas para cada unidade do respectivo produto é: Coeficiente de produtividade (horas-máquina por unidade) Tipo de máquina Produto 1 Produto 2 Produto 3 Fresadora 9 3 5 Torno 5 4 0 Retificadora 3 0 2 O departamento de vendas sinaliza que o potencial de vendas para os produtos 1 e 2 excede a taxa de produção máxima e que o potencial de vendas para o produto 3 é de 20 unidades por semana. O lucro unitário seria, respectivamente, de US$ 25 para os produtos 1, 2 e 3. O objetivo é determinar quanto de cada produto a Ômega deveria produzir para maximizar os lucros. a. Formule um modelo de programação linear para esse problema. b. Use um computador para solucionar este modelo de método simplex. Resolução: , , 0 20 (potencialdevendasproduto 3 ) 3 2 150 (disponibilidaderetificadora) 5 4 350 (disponibilidadetorno) 9 3 5 500 (disponibilidadefresadora)
quantidadedeprodutoi 1 2 3 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 ≥
x x x x x x x x x x x sa Maxz x x x x (x1, x2, x3) = (26,19; 54,76; 20); z = 2.904,76 ERRATA: Resolução: x1 = 0, x2 = 87,5; x3 = 10; z = 2437,
- A tabela a seguir sintetiza as informações-chave sobre dois produtos, A e B, e os recursos, Q, R e S, necessários para produzi-los. Recurso Emprego de Recurso por Unidade (^) Quantidade de recurso Produto A Produto B disponível Q 2 1 2 R 1 2 2 S 3 3 4 Lucro por unidade 3 2 Todas as hipóteses da programação linear são satisfeitas. a. Formule um modelo de programação linear para esse modelo b. Resolva o modelo graficamente c. Verifique o valor exato de sua solução ótima do item (b) resolvendo o problema algebricamente para encontrar as soluções simultâneas das duas equações relevantes. Resolução:
Lista de exercícios Resolução de Programação Linear - Gabarito 4 0 ; inteiro
Restriçõesdenãosuperardemanda:
Restriçãodedisponibilidadedeárea:
quantidadedeprodutoi 19 20 17 18 15 16 13 14 11 12 9 10 7 8 5 6 3 4 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 ≥
x i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x sa x x x x x Maxz x x x x x x x x x x x x x x x x
- A área sombreada do gráfico a seguir representa a região de soluções viáveis de um problema de programação linear cuja função objetivo deve ser maximizada. Classifique cada uma das afirmações seguintes como verdadeira ou falsa e, a seguir, justifique sua resposta baseando-se no método gráfico. a. Se (3,3) produz um valor maior da função objetivo do que (0,2) e (6,3), então (3,3) deve ser a solução ótima. b. Se (3,3) for uma solução ótima e existem soluções ótimas múltiplas, então (0,2) ou (6,3) também têm que ser uma solução ótima. c. O ponto (0,0) não pode ser uma solução ótima.
Lista de exercícios Resolução de Programação Linear - Gabarito 5 Resolução: Verdadeiro; verdadeiro; falso
- A Cia Metalco deseja misturar uma nova liga composta de 40% de estanho, 35% de zinco e 25% de chumbo a partir de diversas ligas disponíveis com as seguintes propriedades: Propriedade Liga 1 2 3 4 5 Percentagem de estanho 60 25 45 20 50 Percentagem de zinco 10 15 45 50 40 Percentagem de Chumbo 30 20 25 24 10 Custo (US$/lb) 22 20 25 24 27 O objetivo é determinar as proporções dessas ligas que devem ser misturadas para produzir nova liga em custo mínimo. a. Formule um modelo de programação linear para esse problema b. Solucione esse modelo utilizando solver excel. Resolução: 0 100 (proporção,total100%) 5 5 15 0 (Chumbo) 25 20 10 15 5 0 (Zinco) 20 15 5 20 10 0 (Estanho)
quantidadedeligai 1 2 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ≥
i i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x sa Minz x x x x x x
- Imagine que a Abecitrus (Associação Brasileira dos Exportadores de Cítricos), que congrega as empresas produtoras e exportadoras de sucos e assemelhados, esteja interessada em ajudar na coordenação e otimização dos custos de transporte da indústria. Suponha que existam 3 regiões produtoras no Brasil e 5 destinos (mercados) importantes para os produtos. As quantidades produzidas, os volumes consumidos pelos mercados, assim como os custos de transporte entre origens e destinos podem ser vistos na tabela 3.2. O interesse da Abecitrus é escoar toda a produção, atendendo aos mercados consumidores com custo de transporte mínimo. Da região produtora Unidade Para o mercado consumidor Produção Mercosul Chile UE Japão Ásia/Pacífico 1.000 m São Paulo I US$/m3 52 77 145 280 267 771 São Paulo II US$/m3 60 85 150 285 272 964 Perímetros irrigados do NE US$/m3 110 135 115 301 287 193 Exportação do setor 1.000 18 7 1.680 159 64 1. Exportação do setor US$ M 9 4 840 79 32 964 Resolução:
Lista de exercícios Resolução de Programação Linear - Gabarito 7 , , 0 1 , 5 2 300 (20anos) 0 , 5 0 , 5 100 (10anos) 2 0 , 5 400 (5anos)
valorinvestidonoativofinanceiroi(milhão) 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ≥
x x x x x x x x x x x sa Minz x x x xi b. Resolva utilizando solver Excel RESOLUÇÃO: x1 = 100; x2 = 200; x3 = 0; z = 300 Resolução gráfica e Introdução ao método Simplex
- Considere o seguinte problema: a. Use a análise gráfica para identificar todas as soluções em pontos extremos para este modelo. b. Calcule o valor da função objetivo para cada uma das soluções viáveis em pontos extremos (FPE). Use esta informação para identificar uma solução ótima. c. Introduza as variáveis de folga d. Trabalhe com o método simplex (tableau do simplex), para solucionar o problema RESOLUÇÃO: x1 x2 f1 f2 RHS z (^) 0,00 0,00 0,50 0,50 6, x2 0,00 1,00 0,50 -0,50 2, x1 1,00 0,00 -0,50 1,50 2, Solução ótima x1 = 2; x2 = 2; z = 6 O método simplex busca solução para função objetivo em apenas três dos quatro pontos extremos. Os critérios de entrada e saída das variáveis de base permitem que não necessite realizar a resolução da função objetivo para todos os pontos. Estas regras também permitem a garantia da melhoria da função objetivo conforme segue nas iterações. Método simplex
- A Brinquedos S.A. fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido por R$27 e usa R$10 de matéria-prima. Cada soldado fabricado aumenta os custos diretos de mão-de-obra e custos indiretos em R$14. Um trem é vendido a R$21 e utiliza R$9 de matéria-prima. Cada trem aumenta os de mão- de-obra e indiretos em R$10. A fabricação requer dois tipos de mão-de-obra: carpinteiro e pintor. A fabricação de um soldado requer 2h de um pintor e 1 h de carpinteiro. Um trem demanda 1hora de pintura e 1h de carpintaria. Para cada semana, a Brinquedos pode conseguir toda a matéria-prima necessária, mas apenas 100h de pintura e 80h de carpintaria. A demanda para os trens é ilimitada, mas a de soldados é de no máximo 40 por semana.
1 2 1 2 1 2 1 2 ≥
x x x x x x sa Maxz x x
Lista de exercícios Resolução de Programação Linear - Gabarito 8 a. Formule um modelo de programação linear para esse problema, considerando que a Brinquedos quer maximizar o lucro semanal. Resolução: , 0 40 (demandatrens) 80 (carpinteiro) 2 100 (pintor)
quantidadedeprodutotrens quantidadedeprodutosoldados 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 ≥
x x x x x x x sa Maxz x x x x b. Resolva graficamente o problema c. Resolva pelo método simplex. Resolução: x1 x2 f1 f2 f3 RHS z 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 180, x2 0,00 1,00 -1,00 2,00 0,00 60, f3 0,00 0,00 -1,00 1,00 1,00 20, x1 1,00 0,00 1,00 -1,00 0,00 20, 20 soldados e 60 trens, com z=
- Resolva os seguintes problemas utilizando tableau do simplex a.
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ≥
x x x x x x x x x x x x x x x sa Maxz x x x Resolução: x1 x2 x3 f1 f2 f3 f4 RHS z 2/3 0 0 0 1 1/3 2 1/3 0 14 2/ f1 1 1/3 0 0 1 - 1/3 - 1/3 0 1 1/ x2 1/3 1 0 0 2/3 - 1/3 0 1 1/ x3 1/3 0 1 0 - 1/3 2/3 0 1 1/ f4 1/3 0 0 0 - 1/3 - 1/3 1 1/
Lista de exercícios Resolução de Programação Linear - Gabarito 10 Resolução: x1 x2 x3 e1 e2 RHS z 0 0 0 -1 -1 7 x2 0 1 1 0 0 1, x1 1 0 0 0 0 0, X1 = 0,8; x2 = 1,8; z = 7 c. , 0
1 2 1 2 1 2 1 2 ≥
x x x x x x sa Maxz x x i. Demonstre graficamente que este problema não tem solução viável; ii. Usando o método do grande número, avance pelo método simplex, passo a passo, para demonstrar que o problema não tem solução viável Exercícios retirados de: ANDRADE, E. L. Introdução à Pesquisa Operacional – métodos e modelos para análise de decisão. LTC editora. 2ª edição. 2002 COLIN, E. C. Pesquisa Operacional – 170 Aplicações em Estratégia, Finanças, Logística, Produção, Marketing e Vendas. LTC editora. 2007. HILLER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à Pesquisa Operacional. Mc Graw Hill. 8ª Edição. 2006
