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Apostila de Algebra linear
Tipologia: Notas de estudo
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Algebra^ ´ Linear
e
Geometria Anal’itica
UNIVATES – Centro Universit´ario iv
das in´umeras aplica¸c˜oes da Algebra Linear.´ E claro que neste curso n˜´ ao conseguiremos abord´a-las todas. Contudo, o leitor interessando em mais detalhes sobre os mesmos pode consultar [1].
Exemplo 1.0.1 (Jogos de estrat´egia) No jogo de roleta o jogador d´a seu lance com uma aposta e o cassino responde com o giro da roleta; o lucro para o jogador ou para o cassino ´e determinado a partir destes dois movimentos. Estes s˜ao os ingredientes b´asicos de uma variedade de jogos que contˆem elementos tanto de estrat´egia quanto de acaso. Os m´etodos matriciais podem ser usados para desenvolver estrat´egias otimizadas para os jogadores.
Exemplo 1.0.2 (Administra¸c˜ao de florestas) O administrador de uma planta¸c˜ao de ´arvores de Natal quer plantar e cortar as ´arvores de uma maneira tal que a configura¸c˜ao da floresta per- mane¸ca inalterada de um ano para outro. O administrador tamb´em procura maximizar os rendimentos, que dependem do n´umero e do tamanho das ´arvores cortadas. T´ecnicas matriciais podem quantificar este problema e auxiliar o admi- nistrador a escolher uma programa¸c˜ao sustent´avel de corte.
Exemplo 1.0.3 (Computa¸c˜ao gr´afica) Uma das aplica¸c˜oes mais ´uteis da computa¸c˜ao gr´afica ´e a do simulador de vˆoo. As matrizes fornecem uma maneira conveniente de lidar com a enorme quantidade de dados necess´arios para construir e animar os objetos tridi- mensionais usados por simuladores de vˆoo para representar um cen´ario em movimento.
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Exemplo 1.0.4 (Redes el´etricas) Circuitos el´etricos que contenham somente resistˆencias e geradores de energia podem ser analisados usando sistemas lineares derivados das leis b´asicas da teoria de circuitos.
Exemplo 1.0.5 (Distribui¸c˜ao de temperatura de equil´ıbrio) Uma tarefa b´asica da ciˆencia e da engenharia, que pode ser reduzida a resolver um sistema de equa¸c˜oes lineares atrav´es de t´ecnicas matriciais iterativas, ´e determinar a distribui¸c˜ao de temperatura de objetos tais como a do a¸co saindo da fornalha.
Exemplo 1.0.6 (Cadeias de Markov) Os registros meteorol´ogicos de uma localidade espec´ıfica podem ser usados para estimar a probabilidade de que v´a chover em um certo dia a partir da informa¸c˜ao de que choveu ou n˜ao no dia anterior. A teoria das cadeias de Markov pode utilizar tais dados para prever, com muita antecedˆencia, a probabilidade de um dia chuvoso na localidade.
Exemplo 1.0.7 (Gen´etica) Os mandat´arios do Egito antigo recorriam a casamentos entre irm˜aos para manter a pureza da linhagem real. Este costume propagou e acentuou certos tra¸cos gen´eticos atrav´es de muitas gera¸c˜oes. A teoria das matrizes fornece um referencial matem´atico para examinar o problema geral da propaga¸c˜ao de tra¸cos gen´eticos.
Exemplo 1.0.8 (Crescimento populacional por faixa et´aria) A configura¸c˜ao populacional futura pode ser projetada aplicando ´algebra matricial `as taxas, especificadas por faixas et´arias, de nascimento e mor- talidade da popula¸c˜ao. A evolu¸c˜ao a longo prazo da popula¸c˜ao depende das caracter´ısticas matem´aticas de uma matriz de proje¸c˜ao que cont´em os parˆametros demogr´aficos da popula¸c˜ao.
Exemplo 1.0.9 (Colheita de popula¸c˜oes animais) A colheita sustentada de uma cria¸c˜ao de animais requer o conhecimento da demografia da popula¸c˜ao animal. Para maximizar o lucro de uma colheita peri´odica, podem ser comparadas diversas estrat´egias de colheita sustentada utilizando t´ecnicas matriciais que descrevem a dinˆamica do crescimento po- pulacional.
Exemplo 1.0.10 (Criptografia) Durante a Segunda Guerra Mundial, os decodificadores norte-americanos e britˆanicos tiveram ˆexito em quebrar o c´odigo militar inimigo usando t´ecnicas matem´aticas e m´aquinas sofisticadas. Hoje em dia, o principal impulso para o desenvolvimento de c´odigos seguros ´e dado pelas comunica¸c˜oes confidenciais entre computadores e em telecomunica¸c˜oes.
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Os m´etodos da Algebra Linear podem ser usados para reconstruir imagens´ a partir do escaneamento por raios X da tomografia computadorizada.
Exemplo 1.0.18 (Conjuntos fractais) Conjuntos que podem ser repartidos em vers˜oes congruentes proporcio- nalmente reduzidas do conjunto original s˜ao denominadas fractais. Os frac- tais s˜ao atualmente aplicados `a compacta¸c˜ao de dados computacionais. Os m´etodos da Algebra Linear podem ser usados para construir e classi-´ ficar fractais.
Exemplo 1.0.19 (Teoria do Caos) Os “pixels” que constituem uma imagem matricial podem ser embara- lhados repetidamente de uma mesma maneira, na tentativa de torn´a-los aleat´orios. Contudo, padr˜oes indesejados podem continuar aparecendo no processo. A aplica¸c˜ao matricial que descreve o processo de embaralhar ilustra tanto a ordem quanto a desordem que caracterizam estes processos ca´oticos.
Exemplo 1.0.20 (Um modelo de m´ınimos quadrados para a audi¸c˜ao humana) O ouvido interno cont´em uma estrutura com milhares de receptores sen- soriais ciliares. Estes receptores, movidos pelas vibra¸c˜oes do t´ımpano, res- pondem a freq¨uˆencias diferentes de acordo com sua localiza¸c˜ao e produzem impulsos el´etricos que viajam at´e o c´erebro atrav´es do nervo auditivo. Desta maneira, o ouvido interno age como um processador de sinais que decomp˜oe uma onda sonora complexa em um espectro de freq¨uˆencias distintas.
Exemplo 1.0.21 (Deforma¸c˜oes e morfismos) Vocˆe j´a deve ter visto em programas de televis˜ao ou clipes musicais ima- gens mostrando rapidamente o envelhecimento de uma mulher ao longo do tempo, ou a transforma¸c˜ao de um rosto de mulher no de uma pantera, a previs˜ao de como seria hoje o rosto de uma crian¸ca desaparecida h´a 15 anos atr´as, etc. Estes processos s˜ao feitos a partir de algumas poucas fotos. A id´eia de continuidade, de evolu¸c˜ao do processo, ´e feito atrav´es do computador. Este processo de deforma¸c˜ao ´e chamado de morfismo, que se caracteriza por misturas de fotografias reais com fotografias modificadas pelo computador. Tais t´ecnicas de manipula¸c˜ao de imagens tˆem encontrado aplica¸c˜oes na ind´ustria m´edica, cient´ıfica e de entretenimento.
B.H. ([12]), p´aginas 743 a 801.
5.1 Introdu¸c˜ao
quais surgem de forma natural na resolu¸c˜ao de problemas, porque “ordenam e simplificam” os mesmos, bem como fornecem novos m´etodos de resolu¸c˜ao. Adotaremos a abordagem l´ogico-dedutiva, pois os alunos que, ao con- clu´ırem o Ensino M´edio, pretendem se dedicar de forma especializada as Engenharias,a Qu´ımica Industrial, a Matem´atica oua Inform´atica, ingres- sando nestas ´areas na universidade, deparam-se com freq¨uˆencia com ra- cioc´ınios l´ogico-dedutivos e convˆem terem visto algo neste sentido j´a desde o in´ıcio do curso.
5.2 Conceito
Exemplo 5.2.1 Uma ind´ustria tem quatro f´abricas A, B, C, D, cada uma das quais produz trˆes produtos 1 , 2 , 3. A tabela mostra a produ¸c˜ao da ind´ustria durante uma semana.
F´abrica A F´abrica B F´abrica C F´abrica D Produto 1 560 360 380 0 Produto 2 340 450 420 80 Produto 3 280 270 210 380
Tabela 5.1: Produ¸c˜ao da ind´ustria por f´abrica
Quantas unidades do produto 2 foram fabricadas pela f´abrica C?
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´e IGUAL a B, e indicamos com A = B, se aij = bij para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, ou seja, duas matrizes m × n s˜ao iguais se possuem os elementos de mesma posi¸c˜ao iguais; se isto n˜ao acontecer, elas se dizem DIFERENTES e indicamos com A 6 = B.
Exemplo 5.2.
32 1 log 1 2 22 5
9 sin 90o^0 2 4 5
Podemos tamb´em construir matrizes que possuam uma rela¸c˜ao entre seus elementos, a partir de uma lei de forma¸c˜ao:
Exemplo 5.2.7 Representar explicitamente a matriz A = (aij ), com 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 2 , tal que aij = 3i − 2 j + 4.
Resolu¸c˜ao
Logo: A =
Exerc´ıcio 5.2.8 Representar explicitamente a matriz quadrada de or- dem 2 , cujo elemento gen´erico ´e: aij = 2i − 3 j + 5.
Exemplo 5.2.9 Representar explicitamente a matriz A = (aij ), com
1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3 , tal que
aij = 1 para i 6 = j aij = 0, para i = j.
Resolu¸c˜ao
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O enunciado permite escrever: { a 12 = a 13 = a 21 = a 23 = a 31 = a 32 = 1 a 11 = a 22 = a 33 = 0. Logo:
Exerc´ıcio 5.2.10 Representar explicitamente a matriz A = (aij ), com
1 ≤ i ≤ 4 e 1 ≤ j ≤ 4 , tal que
aij = 0 para i 6 = j aij = 1, para i = j.
Exemplo 5.2.
eij =
0 , se i 6 = j i + j, se i = j ⇒ matriz diagonal;
fij =
1 , se i = j 0 , se i 6 = j ⇒ matriz identidade.
5.3 Tipos Especiais
Consideraremos agora alguns casos particulares de matrizes m × n:
Defini¸c˜ao 5.3.1 Matriz Quadrada ´e aquela cujo n´umero de linhas ´e igual ao n´umero de colunas (m = n). Nestes casos, costuma-se dizer que a matriz ´e de ordem n.
Defini¸c˜ao 5.3.2 Matriz Nula ´e aquela em que aij = 0, para todo i e j. E denotada por´ Om×n.
Defini¸c˜ao 5.3.3 Matriz-Coluna ´e aquela que possui uma ´unica coluna (n = 1).
Defini¸c˜ao 5.3.4 Matriz-Linha ´e aquela onde m = 1.
Defini¸c˜ao 5.3.5 Seja An×n uma matriz quadrada de ordem n; os ele- mentos aij , para os quais i = j (a 11 , a 22 ,... , ann), s˜ao ditos elementos da diagonal principal da matriz. Por outro lado, os elementos para os quais i + j = n + 1 (a 1 n, a 2 n− 1 ,... , an 1 ), formam a diagonal secund´aria da matriz.
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5.4 Opera¸c˜oes
Exerc´ıcio 5.4.1 Consideremos as tabelas de produ¸c˜ao de cal¸cados no primeiro trimestre de 2001.
Janeiro F´abrica A F´abrica B Modelo 1 9667 307 Modelo 2 11545 7848 Modelo 3 0 3577
Fevereiro F´abrica A F´abrica B Modelo 1 2387 1265 Modelo 2 20178 5382 Modelo 3 0 1341
Mar¸co F´abrica A F´abrica B Modelo 1 8234 1149 Modelo 2 13705 2971 Modelo 3 0 1804
Tabela 5.3: Produ¸c˜ao de cal¸cados no primeiro trimestre
Exemplo 5.4.2 Consideremos as tabelas que descrevem a produ¸c˜ao de gr˜aos em dois anos consecutivos.
Ano 1 soja feij˜ao arroz milho Regi˜ao A 3000 200 400 600 Regi˜ao B 700 350 700 100 Regi˜ao C 1000 100 500 800
Ano 2 soja feij˜ao arroz milho Regi˜ao A 5000 50 200 0 Regi˜ao B 2000 100 300 300 Regi˜ao C 2000 100 600 600
Tabela 5.4: Produ¸c˜ao de gr˜aos (em milhares de toneladas) durante dois anos consecutivos
Se quisermos montar uma tabela que dˆe a produ¸c˜ao por produto e por regi˜ao nos dois anos conjuntamente, teremos que somar os elementos cor- respondentes das duas tabelas acima):
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Ou seja:
soja feij˜ao arroz milho Regi˜ao A 8000 250 600 600 Regi˜ao B 2700 450 1000 400 Regi˜ao C 3000 200 1100 1400
Tabela 5.5: Produ¸c˜ao total de gr˜aos (em milhares de toneladas) durante os dois anos
Defini¸c˜ao 5.4.3 Sejam A = (aij ) e B = (bij ) matrizes , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Chamamos de SOMA da matriz A com a matriz B `a matriz C = (cij ), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n tal que cij = aij + bij , para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, ou seja, soma de duas matrizes m × n ´e a matriz que se obt´em das matrizes dadas, somando-se os elementos de mesma posi¸c˜ao. Para dizer que C ´e soma de A com B, indic´a-la-emos com A + B.
Exemplo 5.4.
Observa¸c˜ao 5.4.5 S´o definimos soma de matrizes quando elas tˆem en- tre si o mesmo n´umero de linhas e tamb´em o mesmo n´umero de colunas.
Observa¸c˜ao 5.4.6 Pela forma com que foi definida, a adi¸c˜ao de ma- trizes tem as mesmas propriedades que a adi¸c˜ao de n´umeros reais.
Defini¸c˜ao 5.4.7 Seja a matriz A = (aij ), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Chamamos de matriz OPOSTA de A `a matriz B = (bij ), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n tal que: bij = −aij , para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, ou seja, matriz oposta de A ´e a matriz que se obt´em de A trocando-se o sinal de cada um dos seus elementos. Para dizer que B ´e oposta de A, indic´a-la-emos com −A.
Exemplo 5.4.8 A =
Propriedades
Propriedade 5.4.9 Dadas as matrizes A, B e C, todas m × n, temos:
i. A + B = B + A (comutativa)
