Apostila Básico MatLab, Manuais, Projetos, Pesquisas de Análise Complexa

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SUMÁRIO

• 1. O software MATLAB
• 2. A empresa MathWorks......................................................................................................................................
• 3. Aplicações do MATLAB
  • 3.1. Transferência de Calor
  • 3.2. Controle de Sistemas Dinâmicos
  • 3.3. Cálculo diferencial e integral
• 4. O funcionamento do MATLAB
• 5. Interface de Trabalho
  • 5.1. Barra de Tarefas
    • 5.1.1. Home (Início)
• 6. Variáveis
  • 6.1. Declaração de Variáveis........................................................................................................................
  • 6.2. Variáveis reservadas..............................................................................................................................
• 7. Operações Aritméticas
  • 7.1. Hierarquia das Operações Aritméticas
• 8. Rotinas ou arquivos M-Files
  • 8.1. Características dos Scripts
  • 8.2. Criando e salvando um Script
  • 8.3. Executando um script
  • 8.4. Definindo variáveis nos scripts
• 9. Operadores Lógicos e Relacionais e Comandos de Fluxo
  • 9.1. Operadores Relacionais
  • 9.2. Operadores Lógicos
  • 9.3. Comandos de Fluxo.................................................................................................................................
• 10. Formatos Numéricos
• 11. Funções
  • 11.1. Comandos básicos...............................................................................................................................
  • 11.2. Funções elementares
• 12. Números complexos
  • 12.1. Coordenadas cartesianas e polares..............................................................................................
• 13. Matrizes...........................................................................................................................................................
  • 13.1. Vetores e Matrizes
  • 13.2. Matrizes geradas por comandos
  • 13.3. Recursos para criação de variáveis
  • 13.4. Elementos da matriz
  • 13.5. Funções com matrizes
• 14. Operações com matrizes
  • 14.1. Adição e Subtração
  • 14.2. Multiplicação entre matrizes..........................................................................................................
  • 14.3. Divisão
  • 14.4. Transposição de Matrizes
  • 14.5. Elemento a elemento
  • 14.6. Operações com Vetores
• 15. Polinômios
  • 15.1. Raízes de um polinômio
  • 15.2. Produto e Divisão de Polinômios
  • 15.3. Avaliação de Polinômios
• 16. Gráficos
  • 16.1. Gráficos Bidimensionais...................................................................................................................
  • 16.2. Gráficos Tridimensionais..............................................................................................................
• 17. Interpolação e ajuste de curvas...........................................................................................................
  • 17.1. Interpolação Polinomial................................................................................................................
  • 17.2. Interpolação Polinomial Linear..................................................................................................
  • 17.3. Ajuste de curvas pelo comando polyfit
  • 17.4. Ajuste de curvas não polinomiais pelo comando polyfit
• 18. Mínimo e Máximo de Uma Função
• 19. Diferenciação
• 20. Integração Numérica
  • 20.1. Quadratura de Simpson
  • 20.2. Quadratura de Simpson para Integrais Duplas
  • 20.3. Quadratura de Simpson para Integrais Triplas
  • 20.4. Comando Integral
  • 20.5. Comando Integral
  • 20.6. Integral Numérica Tripla
• 21. Matemática Simbólica
  • 21.1. Declarando Variáveis Simbólicas...............................................................................................
  • 21.2. Convertendo resultados simbólicos em numéricos
  • 21.3. Formatação de funções
  • 21.4. Simplificação de funções
  • 21.5. Expandindo funções........................................................................................................................
  • 21.6. Avaliação de funções simbólicas com valores numéricos.................................................
  • 21.7. Resolvendo Equações Algébricas
  • 21.8. Resolvendo um Sistema de Equações
  • 21.9. Plotando funções simbólicas
  • 21.10. Limites em funções simbólicas
• 22. Derivação Simbólica
  • 22.1. Derivação Parcial Simbólica
• 23. Integração Simbólica
  • 23.1. Integração Definida Simbólica
  • 23.2. Integração Múltipla Definida Simbólica
• Apêndice A - Cores RGB
• Apêndice B - Algoritmos para gerar animações
  • 1. Somente visualizando sequência de frames
  • 2. Salvando um arquivo

1. O software MATLAB

O MATLAB (Matrix Laboratory) é software especializado em cálculos numéricos. Ele foi criado no fim dos anos 70 por Cleve Moler, na época presidente do departamento de ciência da computação da Universidade do Novo México. Rapidamente, o software ganhou espaço na comunidade de matemática aplicada. Em uma visita de Moler a Universidade de Stanford em 1983, um engenheiro chamado Jack Little conheceu a linguagem MATLAB. Jack Little juntou-se a Moler e Steve Bangert e em 1984 fundaram a Mathworks e, posteriormente, trabalharam no desenvolvimento de novos softwares com aplicações variadas. O MATLAB foi criado com a proposta de ser um ambiente de fácil aprendizagem em que pudes- sem ser resolvidos testes e soluções matemáticas com rapidez e facilidade. A linguagem do MATLAB é bastante simples quando comparada com outras linguagens de programação, isto é, os problemas e so- luções matemáticas devem ser escritos em linguagem matemática ao invés da linguagem de programa- ção tradicional e, consequentemente, sua utilização se torna mais simples e intuitiva. As primeiras aplicações do MATLAB foram no cenário de projeto de controle e rapidamente se expandiu para outros campos.

3. Aplicações do MATLAB

Devido a seu potencial em trabalhar com modelagens matemáticas de alto grau de complexidade, o MATLAB vem sendo amplamente utilizado em problemas de engenharia que exigem soluções e simu- lações numéricas. Os métodos numéricos que podem ser aplicados através do MATLAB vêm sofrendo grandes avanços permitindo a obtenção de soluções cada vez mais próximas da analítica ou a níveis de aproximação suficientemente confiável. A utilização desses métodos numéricos nessa categoria de problemas tem se tornado cada vez mais importante e tem se sobressaído aos processos experimentais, visto que as simulações podem evi- tar falhas catastróficas, além de reduzir gastos. Dentre as áreas de aplicação que podem ser citadas são: Através de códigos computacionais podem ser obtidos resoluções para os problemas, sendo que essas resoluções são armazenadas em matrizes e podem ser posteriormente representadas em gráficos facilitando a interpretação física dos resultados.

3.1. Transferência de Calor

Para estudos de transferência de calor, a situação abaixo mostra o escoamento de gases de com- bustão na parte externa da pá de uma turbina, que possui um canal de ar para resfriamento no seu inte- rior.

Na imagem abaixo, pode ser observada uma distribuição bidimensional de temperaturas em uma região da pá de uma turbina em regime permanente. O método matemático de solução desse pro- blema foi o método dos volumes finitos. A região inferior direita da imagem mostra uma parte que é resfriada por um fluido refrigerante e, por isso, as temperaturas são crescentes em direção a parte su- perior esquerda.

3.2. Controle de Sistemas Dinâmicos

Para controle de sistemas dinâmicos, é possível projetar controladores com os melhores parâ- metros possíveis para estabilizar diversos tipos de funções de transferência.

3.3. Cálculo diferencial e integral

Podemos ainda trabalhar com casos estritamente matemáticos, como resolver equações algébri- cas simples até problemas de valor inicial e problemas de valor de contorno envolvendo equações dife- renciais. Um exemplo a ser mostrado é a geração de um gráfico de um parabolóide hiperbólico cuja equa- ção é dada por:

4. O funcionamento do MATLAB

O funcionamento básico do MATLAB é baseado em matrizes. Um matriz m x n é um conjunto de m linhas e n colunas, sendo que cada posição da matriz é ocupada por um valor numérico. Dentre as aplicações utilizando matrizes, podemos citar a resolução de sistemas lineares e transformações linea- res. Até mesmo um escalar é entendido pelo MATLAB como sendo matriz composta por uma linha e uma coluna.

a = 3 a = 3 whos a Name Size Bytes Class Attributes a 1x1 8 double

5. Interface de Trabalho

Utilizando o layout Default para a interface do MATLAB, ao abrir um New Script na parte superior es-

querda da aba Home da barra de tarefas, pode-se observar o seguinte design para a interface do sof-

tware:

5.1. Barra de Tarefas

5.1.1. Home (Início)

1 - Abre um novo “script”.

Atalho: Ctrl + N

2 - Cria um novo documento do MATLAB (.m).

3 - Abre um arquivo do MATLAB (.m) já exis-

tente.

Atalho: Ctrl + O

4 - Procura por um arquivo baseado no nome

ou no conteúdo.

Atalho: Ctrl + Shift + F

5 - Compara o conteúdo de dois arquivos dis-

tintos.

6 - Importa data de um arquivo.

7 - Salva as variáveis do Workspace para um

arquivo.

8 - Cria uma nova variável e abre o editor de

variáveis.

9 - Abre uma variável para edição.

10 - Limpa todas as variáveis do Workspace.

11 - Analisa os códigos no MATLAB na pasta

atual para codificar potenciais bugs e ineficiên-

cias.

12 - Executa o código e mensura o tempo de

execução para melhoria de performance.

13 - Limpa todo o Command Window.

14 - Abre a janela de blocos do Simulink.

15 - Permite a mudança de interface do sof-

tware.

16 - Permite ajustar as configurações.

17 - Modifica o caminho de busca usado pelo

MATLAB na procura por arquivos.

18 - Modifica opções de computação paralela.

19 - Acesso a ajuda do MATLAB.

20 - Acesso a comunidade online da

Mathworks.

21 - Envia pedido de suporte técnico para a

Mathworks.

22 - Add-ons adicionais incluindo suporte ao

hardware.

5.1.2. Editor

1 - Cria um novo documento do MATLAB (.m).

2 - Abre um arquivo do MATLAB (.m) já exis-

tente.

Atalho: Ctrl + O

3 - Salva o arquivo MATLAB (.m) que está

sendo executado.

4 - Procura por um arquivo baseado no nome

ou no conteúdo.

Atalho: Ctrl + Shift + F

5 - Compara o conteúdo de dois arquivos dis-

tintos.

6 - Imprime o documento.

8 - Movimenta o cursor para uma linha, função

ou seção.

9 - Encontra determinado texto no código e op-

cionalmente pode-se substituí-lo.

10 - Quebra e inicia nova seção.

11 - Abre uma função anteriormente criada.

Atalho: Shift + F

12 - Constrói um objetivo numérico de ponto

fixo.

13 - Insere um símbolo de comentário no texto.

Atalho: Ctrl + R

14 - Retira um símbolo de comentário do texto.

Atalho: Ctrl + T

15 - Permite formatar comentários organizada-

mente.

Atalho: Ctrl + J

16 - Retorno o texto para a posição inicial.

Atalho: Ctrl + I

17 - Executa um avanço do texto para a direita.

Atalho: Ctrl + ]

18 - Executa um avanço do texto para a es-

querda.

Atalho: Ctrl + [

19 - Mostra opções para pausar a execução do

código.

20 - Salva e executa o código do script.

21 - Executa a seção atual do código e avança

para a próxima seção.

22 - Executa a seção atual do código.

23 - Avança para a próxima seção.

24 - Executa o código e mensura o tempo de

execução para melhoria de performance.

var_a = 0. var_a =

6.2. Variáveis reservadas

ans Variável onde são guardados os resultados de operações não atribuídas a uma

variável específica - ans, diminutivo de answer.

pi Valor de π = 3.1416. eps Unidade de arredondamento da máquina, i.e., o menor valor que adicionado a 1 representa um número maior que 1 Flops Contador do número de operações efetuadas. Estamos a falar de operações em vírgula flutuante. Inf Representa +∞. NaN Not-a-Number, símbolo que representa 0/0 ou outra indeterminação matemá- tica. i,j (^) Representa o valor da √− 1. clock Exibe a hora atual em um vetor linha de seis elementos contendo ano, mês, dia, hora, minuto e segundo.

7. Operações Aritméticas

O MATLAB possui todas as operações básicas da matemática podendo ser utilizado como uma simples calculadora. Na tabela abaixo se encontram alguns exemplos. Tabela 1.1 - Operações aritméticas entre dois escalares Operação Forma Algébrica MATLAB Adição Subtração Multiplicação Divisão pela Direta Divisão pela Esquerda Exponenciação Raiz Quadrada Fatorial a + b a - b a x b a ÷ b b ÷ a ab √𝑎 a! a + b a - b a*b a/b a\b a^b sqrt(a) factorial(a) Exemplos

x=

x = 5

ans = 3

ans =

• 2

7* ans =

14

ans =

>> 3^

ans = 27

7.1. Hierarquia das Operações Aritméticas

Sabendo que várias operações podem ser combinadas em uma simples expressão aritmética, é impor- tante conhecer a ordem nas quais as operações serão executadas. A tabela 1.2 contém a ordem de prio- ridade das operações aritméticas no MATLAB.

8. Rotinas ou arquivos M-Files

Todos os comandos do MATLAB são executados na janela Command Window. Embora cada comando

do MATLAB possa ser executado desse modo, não é conveniente usar a janela Command Window para

executar muitos comandos em série, especialmente se eles estiverem encadeados logicamente entre si, isto é, constituírem um programa. Muitas vezes, tentar resolver um problema no MATLAB digitando

muitos comandos consecutivos pode ser difícil ou até mesmo impossível. Além disso, a janela Command

Window não é interativa. Significa que cada vez que a tecla Enter é pressionada, somente o último co-

mando digitado é executado, sendo que o restante do trabalho se torna inalterável. Uma maneira dife- rente de executar os comandos no MATLAB é primeiro criar um arquivo com uma lista de comandos,

salvá-la, e então, rodar o arquivo. Os arquivos criados com esse propósito são denominados rotinas, M-

files ou script files.

8.1. Características dos Scripts

● Quando um script é executado, o MATLAB executa os comandos na ordem em que eles foram

escritos.

● Scripts que possuem comandos de saída (ex.: exibição de gráfico), essa saída é mostrada na

Command Window.

● Scripts são convenientes pois podem ser editados e também serem executados várias vezes.

● Scripts devem ser salvos antes de serem executados.

8.2. Criando e salvando um Script

Para criar um novo script basta clicar no botão “ New Script” no canto superior esquerdo do software.

A janela de edição do script aparecerá acima da Command Window. Veja o exemplo a seguir:

Depois de aberto o editor de scripts, os comandos devem ser digitados linha por linha. Também é pos-

sível escrever as linhas de programação em outro editor de texto e colar no editor. 8.3. Executando um script

Para executarmos um script devemos clicar na aba “ Editor” e em seguida basta clicar no botão “ Run”. O

MATLAB requer que o script esteja salvo antes de executar. O exemplo mostra como executar um

script