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Cálculo Diferencial e Integral I
Professor: *LOPDU%RUQDWWR
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derivadasHLQWHJUDLV
“Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas
há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu
problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar a sua curiosidade e
fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho,
então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta”
George Polya
x
a
ln lim 1
ax
x
→+∞
Qual o valor de a?
AULA 01
1 - FUNÇÕES
1.1 - Conceito matemático de função
Definição 1: Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável independente.
Definição 2: Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da variável dependente. Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a linguagem da teoria dos conjuntos. Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre dois conjuntos.
Definição 3: Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A^ e^ B^ , denomina-se produto
cartesiano (indica-se: A × B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o
primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B.
(Eq.1) A × B ={( x , y )/ x ∈ A e y ∈ B }.
Definição 4: Relação: Dados dois conjuntos A e B , dá-se o nome de relação r de A em B a
qualquer subconjunto de A × B.
(Eq.2) r é relação de A em B ⇔ r ⊂ A × B.
Exemplo:
Sejam os conjuntos A ={0,1,2,3}, B ={0,2,4,6,8,10} e a relação r de A em B , tal que
y = 2 x , x ∈ A e y ∈ B. Escrever os elementos dessa relação r.
Como x ∈ A :
x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ (0,0)∈ A × B ;
x = 1 ⇒ y = 2 ⇒ (1,2)∈ A × B ;
x = 2 ⇒ y = 4 ⇒ (2,4)∈ A × B ;
x = 3 ⇒ y = 6 ⇒ (3,6)∈ A × B.
Então, r ={(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}.
y
x
[Fig.1]: Representação da relação por diagrama. [Fig.2]: Representação da relação por sistema cartesiano.
A 0 B
r
3) Dados os conjuntos A ={−3,−1,1,3} e B ={1,3,6,9}, seja a relação de A em B expressa pela
fórmula y = x^2 , com x ∈ A e y ∈ B.
A B
x =− 3 ⇒ y = 9 ⇒ (−3,9)∈ A × B ;
x =− 1 ⇒ y = 1 ⇒ (−1,1)∈ A × B ;
x = 1 ⇒ y = 1 ⇒ (1,1)∈ A × B ;
x = 3 ⇒ y = 9 ⇒ (3,9)∈ A × B.
- Todos os elementos de A estão associados a elementos de B.
- A cada elemento de A está associado um único elemento de B.
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y =
2
x é uma função de A em B.
4) Dados os conjuntos A ={16,81} e B ={−2,2,3}, seja a relação de A em B expressa pela
fórmula y^4 = x , com x ∈ A e y ∈ B.
A B
x = 16 ⇒ y =−2 ou y = 2 ⇒ (16,−2) e (16,2)∈ A × B ;
x = 81 ⇒ y = 3 ⇒ (81,3)∈ A × B.
- Todos os elementos de A estão associados a elementos de B.
- O elemento 16 do conjunto A está associado a dois elementos do conjunto B.
Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B.
1.3 – Notação de Função
Quando temos uma função de A em B , podemos representá-la da seguinte forma:
f : A → B (lê-se: função de A em B )
x a y (lê-se: a cada valor de x ∈ A associa-se um só valor y ∈ B )
A letra f , em geral, dá o nome às funções, mas podemos ter também a função g , h , etc.
Numa função g : R → R , dada pela fórmula y = x^2 −8, podemos também escrever g ( x )= x^2 −8.
Neste caso, g ( 2 ) significa o valor de y quando x = 2 , ou g ( 2 )=−6.
1.4 - Domínio, contradomínio e imagem de uma função
Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por:
f : A → B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B )
x a y = f ( x ) (a cada elemento x ∈ A corresponde um único y ∈ B )
O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D. O domínio da
função também chamado campo de definição ou campo de existência da função, serve para definir
em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável x.
O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD. É no
contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio.
Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de
y damos o nome de imagem de x pela função f. O conjunto de todos os valores de y que são
imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremos por Im. Note que
o conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio da mesma.
f : A → B
x a y = f ( x )
D = A , CD = B , Im ={ y ∈ CD / y é correspondente de algum valor de x }.
Exemplos:
1) Dados os conjuntos A ={−3,−1,0,2} e B ={−1,0,1,2,3,4}, determinar o conjunto imagem da
função f : A → B definida por f ( x )= x +2.
f (−3)=(−3)+ 2 =− 1
f (−1)=(−1)+ 2 = 1
f (0)=(0)+ 2 = 2
f (2)=(2)+ 2 = 4
A B
Im ={−1,1,2,4}
2) Dada a função f : R → R definida por f ( x )= a x + b , com a , b ∈ R , calcular a e b , sabendo
que f (1)=4 e f (−1)=−2.
A lei de formação da função é f ( x )= a x + b ou y = a x + b.
f (1)= 4 ⇒ x =1 e y = 4 ⇒ 4 = a ⋅ 1 + b (i)
f (−1)=− 2 ⇒ x =−1 e y =− 2 ⇒ − 2 = a ⋅(−1)+ b (ii)
De (i) e (ii), temos:
a + b = 4
− a + b = − 2
2 b^ = 2
⇒ b =1 e a = 3
a =3 e b = 1 ⇒ f ( x )= 3 x +1.
y
x
f
f
-
2) Sendo f ( x )= 3 x −1 e f ( g ( x ))= 6 x +8, determine g ( x ).
Como f ( x )= 3 x −1, então f ( g ( x ))= 3 ⋅ g ( x )−1.
Como f ( g ( x ))= 6 x +8, então 3⋅ g ( x )− 1 = 6 x +8.
3 ⋅ g ( x )− 1 = 6 x + 8
3 ⋅ g ( x )= 6 x + 8 + 1
g ( x )=
6 x + 9
g ( x )= 2 x +3.
1.6 – Função Inversa
Definição 6: Função bijetora: A função f é denominada BIJETORA, se satisfaz as duas condições
abaixo:
- O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio
é correspondente de algum elemento do domínio.
- Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio.
Definição 7: Diz-se que uma função f possui inversa f −^1 se for bijetora.
1.6.1 – Determinação da Função Inversa
Caso a função seja bijetora, possuindo portanto inversa, é possível determinar a sua
inversa. Para isso “trocamos” a variável x por y na lei que define a função e em seguida
“isolamos” o y , obtendo a lei que define a função inversa.
É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função obtida.
Exemplo:
1) Obter a lei da função inversa f −^1 da função f dada por y = x +2.
y = x + 2 ⇒ função f.
x = y + 2 ⇒ trocando a variável x por y e y por x.
y = x − 2 ⇒ isolando y.
Então, y = x −2 é a lei da função inversa da função dada por y = x +2.
Logo:
f ( x )= x +2 e f −^1 ( x )= x − 2
2) Construir os gráficos das funções f e f −^1 do exercício anterior, num mesmo sistema de
coordenadas.
x f ( x ) x f −^1 ( x )
Note que os gráficos
das funções f e
f −^1 são simétricos
em relação à reta que contém as bissetrizes do 1o^ e 3o quadrantes.
3) Determinar a função inversa
− 1
g da função g ( x )=
x
x
, cujo domínio é D = R −
y =
x
x
⇒ função g.
x =
y
y
⇒ trocando a variável x por y e y por x.
(2 y −3) x = y + 5 ⇒ isolando y.
2 x y − 3 x − y = 5
y (2 x −1)= 3 x + 5
y =
x
x
⇒ 2 x − 1 ≠ 0 ⇒ x ≠
Logo, g −^1 : R −
→ R −
dada por y =
x
x
é a função inversa procurada.
AULA 01 – EXERCÍCIOS
1) Seja a relação de A = {0, 1, 3} em B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} definida por g(x) = x^2 – 4x + 3. Faça o diagrama de g e verifique se g é uma função de A em B. Em caso afirmativo escreva o conjunto imagem. 2) Seja a função f de D = {1, 2, 3, 4, 5} em R definida por f(x) = (x – 2)(x – 4). Determine o seu conjunto imagem. 3) Sejam f e g funções reais definidas, para todo o número real não nulo, por:
( 2 )
= − + x
x
f x x e
( 3 2 )
2
= − x x
x
g x
Se a e b são números reais distintos tais que f(a) = g(a) e f(b) = g(b), calcule a + b 4) Considere a função f(x) real, definida por f(1) = 43 e f(x + 1) = 2f(x) – 15. Determine o valor de f(0) 5) Determine o domínio das seguintes funções:
a) f ( x )= 4 x − 5
b)
x
f x
c) y = 1 − 2 x
d)
x
x
x x
x
f x
6) Sendo
x
f x , x ≠ 1 e g ( x )= 2 x − 4 ,
ache o valor de ⎟⎟
f ( g ( 2 )) g f.
7) Se
x
f x , qual o valor de x para que
f(f(x)) = 1?
8) Dada a função
x
x
f x com x^ ≠^ 5.
calcule: a) f -1^ (x) b) f -1^ (4)
Respostas:
1) sim, Im{0, 3} 2) Im = {-1, 0, 3} 3) 3 4) 29 5) a) D = R b) D = R – {-1, 1}
c)
D x R | x
d) D = { x ∈ R | − 3 < x < 4 , e , x ≠ 2 } 6) – 9
7)
x =
8) a)
x
x
b) 13
2.1.2 – Gráfico de uma função polinomial do 1o^ grau
Para construir o gráfico de uma função polinomial do 1o^ grau, atribuímos valores do domínio
à variável x e calculamos as respectivas imagens.
Exemplo:
Construir o gráfico da função real f^ dada por y^ = 2 x −1.
x y^ Par ordenado
0 1 2 3
1
2
3
4
y
-1^ x
-
-2 -1 4
5
**-
-**
Definição 9: O gráfico da função linear y^ =^ a x^ (^ a^ ≠0) é sempre uma reta que passa pela origem
do sistema cartesiano.
Definição 10: O gráfico da função polinomial do 1o^ grau y = a x + b ( a ≠0) intercepta o eixo das
ordenadas no ponto (0, b ).
2.1.3 – Determinação de uma função a partir do gráfico
Nos exercícios abaixo, determine a lei de formação da função f ( x )= a x + b.
Exemplo:
1) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:
0 1 2 3
1
2
3
4
y
-1 x
-
-2 -1 4
5
**-
-**
Sabendo-se que y = a x + b , do gráfico, temos que:
x =−1 e y =− 1 ⇒ − 1 = a ⋅(−1)+ b ⇒ − a + b =−1 (i).
x =1 e y = 3 ⇒ 3 = a ⋅(1)+ b ⇒ a + b =3 (ii).
(i) − a + b = − 1
(ii) a^ + b = 3
2 b = 2
b = 1
Se b =1, então a + b = 3 ⇒ a + 1 = 3 ⇒ a = 2
Logo:
A função é f ( x )= 2 x +1.
2) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:
y
x
Sabendo-se que y = a x + b , do gráfico, temos que:
x =1 e y = 1 ⇒ 1 = a ⋅(1)+ b ⇒ a + b =1 (i).
x =2 e y =− 2 ⇒ − 2 = a ⋅(2)+ b ⇒ 2 a + b =−2 (ii).
(i) a + b = 1 ⋅(−1) − a − b = − 1
(ii) 2 a + b = − 2 2 a + b = − 2
a = − 3 ⇒ a =− 3
Se a =−3, então − 3 + b = 1 ⇒ ⇒ b = 4
Logo:
A função é f ( x )=− 3 x +4.
2.1.4 - Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1o
grau
Seja f a função polinomial do 1o^ grau definida por f ( x )= a x + b.
Podemos determinar que:
- i) A função f é crescente se o coeficiente a >0;
- ii) A função f é decrescente se o coeficiente a <0.
Exemplo:
2.1.5.2 – Quadro de sinais da função polinomial do 1o^ grau
f ( x )= a x + b , a ≠ 0
Zero da função: a x + b = 0 ⇒ x =−
a
b
a > 0 a < 0
x
f ( )<0 x f ( )>0 x
x
ba
a b
a
b x
f ( )>0 x f ( )<0 x
x
a b
f ( x )= 0 ⇒ x = −
a
b
f ( x )= 0 ⇒ x = −
a
b
f ( x )> 0 ⇒ x > −
a
b
f ( x )> 0 ⇒ x < −
a
b
f ( x )< 0 ⇒ x < −
a
b
f ( x )< 0 ⇒ x > −
a
b
2.2 – Inequações do 1o^ grau
Definição 14: Denomina-se inequação do 1o^ grau na variável x toda desigualdade que pode ser
reduzida a uma das formas:
- a x + b ≥0;
- a x + b >0;
- a x + b ≤0;
- a x + b <0.
com a , b ∈ R e a ≠0.
Exemplo:
Verificar se 4( x −1)−
2
x ≥ 3 x − x ( x +1) é uma inequação do 1 o^ grau.
4( x −1)− x^2 ≥ 3 x − x ( x +1)
4 x − 4 −
2
x ≥ 3 x −
2
x − x
4 x − 3 x + x − 4 ≥ 0
2 x − 4 ≥ 0
Logo, 2 x −4 é um polinômio do 1 o^ grau, então 4( x +1)−
2
x ≥ 3 x − x ( x +1) é uma inequação do 1o
grau.
2.2.1 - Resolução de inequações do 1 o^ grau
Definição 15: Para se resolver uma inequação do 1o^ grau, são utilizadas as propriedades das desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).
Exemplos:
1) Resolver a inequação seguinte: 4( x −1)− x^2 ≥ 3 x − x ( x +1). Represente a solução na reta real.
4( x −1)−
2
x ≥ 3 x − x ( x +1)
4 x − 4 −
2
x ≥ 3 x −
2
x − x
4 x − 3 x + x − 4 ≥ 0
2 x ≥ 4
x ≥ 2
S={ x ∈ R ; x ≥2}
x
2) Resolver a inequação seguinte:
x − 1
4 ( 1 − x )
x
2 − x
. Represente a solução na reta real.
x − 1
4 ( 1 − x )
x
2 − x
Reduzindo os dois membros ao menor denominador comum:
4 x − 4 + 24 − 24 x
3 x + 4 − 2 x
Simplificando:
− 20 x + 20 > x + 4
− 20 x − x >− 20 + 4
− 21 x >− 16
Multiplicando por (−1):
21 x < 16
x <
S={ x ∈ R ; x <
x
2.2.2 - Sistemas de inequações do 1o^ grau
Definição 16: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.
Exemplo:
Resolver a inequação − 1 < 2 x − 3 ≤ x. Apresente o conjunto solução S e represente na reta real.
Na verdade, resolver essa inequação simultânea é equivalente a resolver o sistema:
(i) − 1 < 2 x − 3 (i) x > 1
(ii) 2 x − 3 ≤ x (ii) x ≤ 3
x
x
x
(i)
(i) ∩ (ii)
(ii)
S={ x ∈ R ; 1< x ≤3}
3) Resolver a inequação
x
x
x
x
x
( x )( x )
f ( x ) = x + 3 ⇒ f ( x ) = 0 ⇒ x^ = − 3 a > 0
g ( x ) = x − 3 ⇒ g ( x ) = 0 ⇒ x^ = 3 a > 0
h ( x ) = x − 2 ⇒ h ( x ) = 0 ⇒ x^ = 2 a > 0
x
g ( )
f ( ) x
h ( ) x
( ) x
f ( ) x g ( ) x
h 2
S={^ x^ ∈^ R^ ;^ x^ ≤−3 ou 2<^ x^ ≤3}
4) Determine o domínio da função y^ =
x
x x
x
x x
x
( x )( x )
f ( x ) = x + 3 ⇒ f ( x ) = 0 ⇒ x^ = − 3 a > 0
g ( x ) = x − 1 ⇒ g ( x ) = 0 ⇒ x^ = 1 a > 0
h ( x ) = x − 5 ⇒ h ( x ) = 0 ⇒ x^ = 5 a > 0
x
g ( )
f ( ) x
h ( ) x
( ) x
f ( ) x g ( ) x
h 1
D={ x ∈ R ; − 3 ≤ x ≤1 ou x >5}
AULA 02 – EXERCÍCIOS
1) Dada a função f(x) = 5x – 2, determine: a) f(2) b) o valor de x para que f(x) = 0 2) Em uma função polinomial do 1 o^ grau, y = f(x), sabe-se que f(1) = 4 e f(-2) = 10.
Escreva a função f e calcule ⎟
f
3) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$900,00 e uma variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Expressar a lei da função que representa seu salário mensal b) Calcular o salário do vendedor que durante um mês ele vendeu R$ 50.000, em produtos
4) Num determinado país, o gasto governamental com educação, por aluno em escola pública, foi de 3.000 dólares no ano de 1985, e de 3.600 dólares em 1993. Admitindo que o gráfico do gasto por aluno em função do tempo seja constituído de pontos de uma reta: a) Obtenha a lei que descreve o gasto por aluno (y) em função do tempo (x), considerando x = 0 para o ano de 1985, x = 1 para o ano de 1986, x = 2 para o ano de 1987 e assim por diante. b) Em que ano o gasto por aluno será o dobro do que era em 1985?
5) Considere as funções f e g definidas em R por f(x) = 8 – x e g(x) = 3x a) Ache as raízes das funções f e g b) Sabendo que os gráficos de f e g são retas concorrentes, calcule as coordenadas do ponto de intersecção.
6) Resolver a inequação 4x – 1 + 2(1 – 3x)
7) Determinar o conjunto verdade da
inequação:
x 1 x x − x
8) Resolver o sistema
x
x
9) João possui um terreno de 1000m^2 , no qual pretende construir uma casa. Ao engenheiro responsável pela planta, ele impõe as seguintes condições: a área destinada ao lazer (piscina, churrasqueira, etc) deve ter 200m^2 , e a área interna da casa mais a área de lazer devem ultrapassar 50% da área total do terreno; além disso, o custo para construir a casa deverá ser de, no máximo, R$ 200.000,00. Sabendo que o metro quadrado construído nessa região custa R$ 500,00, qual é a área interna da casa que o engenheiro poderá projetar?
10) Determinar o domínio da função
x
x
y
Respostas:
1) a) 8 b) 2/ 2) f(x) = - 2x + 6 e f(-1/2) = 7 3) a) y = 900 + 0,08x b) R$ 4900, 4) a) y = 75x + 3000 b) 2025 5) a) 8 e 0 b) (2, 6)
6)
S x R | x
S x R | x
8) S = { x ∈ R | x ≥ 3 }
9) entre 300m^2 e 400m^2
10) D = { x ∈ R | 1 ≤ x < 3 }
a >0: concavidade para CIMA a <0: concavidade para BAIXO
[Fig.4]: Concavidade de uma função quadrática.
2.3.3 - Zeros de uma função quadrática
Definição 19: Os zeros ou raízes da função quadrática f ( x )= a x^2 + b x + c são as raízes da
equação do 2o^ grau a x^2 + b x + c =0, ou seja:
Raízes: x =
a
b b ac
2
Considerando Δ= b^2 − 4 a c , pode-se ocorrer três situações:
- i) Δ> 0 ⇒ as duas raízes são reais e diferentes: x 1 =
a
b
e x 2 =
a
b
- ii) Δ= 0 ⇒ as duas raízes são reais e iguais (raiz dupla): x 1 = x (^) 2 =−
a
b
- iii) Δ< 0 ⇒ não há raízes reais.
Obs.: Em uma equação do 2o^ grau^ a^
x^2 + b x + c =0, a soma das raízes é S e o produto é P tal que:
S= x 1 + x 2 =−
a
b
e P= x 1 ⋅ x 2 =
a
c
Definição 20: Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do 2o^ grau são as
abscissa dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x.
2.3.4 - Vértice da parábola
Considere as parábolas abaixo e observe o vértice V ( xV , yV ) em cada uma:
x
y
x
y
x 1 x 2
x 1 x 2
V ( xV , yV )
V ( xV , yV )
Eixo de simetria
[Fig.5]: Vértice de parábolas (Δ>0 para as duas).
Uma forma de se obter o vértice V ( xV , yV ) é:
x 1 + x 2 , já que o vértice encontra-se no eixo de simetria da parábola;
x V + b xV + c , já que o xV foi obtido acima.
Outra forma de se obter o vértice V ( xV , yV ) é aplicando as fórmulas:
a
b
e yV =−
4 a
2.3.5 - Gráfico de uma parábola
Com o conhecimento das principais características de uma parábola, podemos esboçar com mais facilidade o gráfico de uma função quadrática.
Exemplos:
1) Construir o gráfico da função y =
2
x + 2 x , determinando sua imagem.
a = 1 > 0 ⇒ concavidade voltada para cima.
Zeros da função: x^2 + 2 x = 0 ⇒ x ( x +2)= 0 ⇒ x 1 =0 e x 2 =−2.
Ponto onde a parábola corta o
eixo y :
x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ (0,0)
Vértice da parábola: V
x =−
a
b
y V =−
4 a
⇒ V (−1,−1)
Imagem: y ≥−1 para todo x Real Im ={ y ∈ R ; y ≥−1}
0 1 2 3
1
2
3
4
y
-1^ x
-
-2 -1 4
5
**-
-**
-5-4-3 5 V
2) Construir o gráfico da função y =− x^2 + 4 x −5, determinando sua imagem.
a =− 1 < 0 ⇒ concavidade voltada para baixo.
Zeros da função: − x^2 + 4 x − 5 = 0 ⇒ Δ=−4. ∃/ zeros reais.
Ponto onde a parábola corta o
eixo y :
x = 0 ⇒ y =− 5 ⇒ (0,−5)
Vértice da parábola: V
x =−
a
b
y V =−
4 a
⇒ V (2,−1)
Imagem: y ≤−1 para todo x Real Im ={ y ∈ R ; y ≤−1}
0 1 2 3
1
2
3
4
y
-1^ x
-
-2 -1 4
5
**-
-**
-5-4-3 5 V
