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Apostila de calculo I, Engenharia eletrica IF-Sul
Tipologia: Notas de estudo
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CÁLCULO I
O estudo do cálculo baseia-se em propriedades estruturais do conjunto dos números reais(IR). Existe uma correspondência biunívoca do conjunto dos números reais e os pontos de uma reta real. Com isto, começamos assim a visualização do processo algébrico, consequentemente, vislumbrando o entendimento e a aplicabilidade do cálculo. A reta é construída de tal maneira que podemos localizar os pontos nela, portanto começamos localizando sua origem(denotado pelo número zero) e definindo uma unidade. Daí podemos localizar qualquer número real, como por exemplo:
Uma unidade
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 eixo real
Origem
Do lado esquerdo se encontram os negativos e do lado direito os positivos. Dados a,b IR, chamamos de tricotomia ao fato de que apenas uma das alternativas pode ocorrer: ou a=b, ou a>b, ou a<b. Deste fato, o número que estiver representado à direita na reta numérica é o maior. Além das três desigualdades acima, podemos ter combinações dessas, como por exemplo: ab significa que a<b ou a=b a<bc significa que a<b e bc
PROPRIEDADES DAS DESIGUALDADES i) se a>b e b>c, então a>c ii) se a>b, então a+c>b+c iii) se a>b e c>0 (positivo), então a.c > b.c iv) se a>b e c<0 (negativo), então a.c < b.c
INTERVALOS Dados dois números reais “a” e “b” com a <b, chama-se intervalo o conjunto de números reais compreendidos entre “a” e “b”. “a” e “b” chamam-se extremos do intervalo. Os extremos podem ou não fazerem parte do intervalo, daí surgem os tipos de intervalos. a) (a,b) intervalo aberto b) [a,b] intervalo fechado c) [a,b) e (a,b] intervalos semi-abertos d) intervalos definidos com os sinais - ou intervalos infinitos.
O valor absoluto a de um número real a é definido por:
a, se a 0
a, se a 0 a
Em outras palavras, se “ a ” é a coordenada de um ponto A de uma reta, então a é a
quantidade de unidades que esse ponto se encontra afastado da origem O. Exemplos:
a 3 a 3 3 a 5 a 5 5 5
Propriedades:
i) a a, a IR
ii) a a a , a IR
iii) a 1 a 2 an a 1 a 2 an , a 1 ,a 2 , ,an IR
iv) a b a b a b , a,b IR
v) a 1 a 2 an a 1 a 2 an , a 1 ,a 2 , ,an IR
vi) , a,b IR,comb 0. b
a b
a
Resolução de equações e inequações com módulo. Exemplo 1:
Resolver a equação x 2 x x 1 2.
Exemplo 2:
Resolver a inequação x 3 7.
Exercícios: 1)Resolver, em IR, as seguintes equações:
a) x 5 10 b) x x 7 x 27
c) x x 1 0 d) x^2 3 x 10 0
a) 0 x
x b) x 2 x 6 c) 0 x 1 1
Respostas:
V d) V 5 , 5
c) V x IR/ 0 x 1 ou 1 x 2 x IR/ 0 x 2 e x 1
Definição: Dados dois conjuntos A e B, dizemos que existe uma função de A em B se para todo elemento xA corresponda um único yB. Notação;
f B
xA Variável independente yB Variável dependente Df = A (domínio) É formado pelos possíveis valores de x( Conjunto de partida). CDf = B ( Contra-domínio) (Conj. de chegada) Imf B É formado pelos valores de y B.
Classificação:
1-Função polinomial:
Função do 1o^ grau É toda função do tipo x y ax b
f:IR IR
, sendo a,b IR.
Se a=0, então y=b Função constante Se b=0, então y=ax Função linear Se a=1 e b=0, então y=x Função identidade O gráfico é representado por uma reta.
Y Se y=0 a.x+b=0 a.x= b x= b/a b b/a, 0 Se x=0 y=b 0 ,b b/a X
OBSERVAÇÕES: i)Coeficiente angular: Da equação y=ax+b que define a função do 1o^ grau, isolando “a” temos:
“a“ é denominado “coeficiente angular”. Também podemos definir “a” como sendo a tangente do ângulo que o gráfico da reta da função “y=f(x)” faz com o eixo xx. Ou seja: a=tan(). ii)Coeficiente linear: De outro modo, da equação y=ax+b, isolando “b” temos: b=y-ax “b” é denominado “coeficiente linear”.
6-Função logarítmica:
É toda função do tipo a
, com a>0 e a1.
Observações:
Condições de existência: 1 o^ ) O logaritmando tem que ser positivo ( x > 0 ) 2 o^ ) A base tem que ser positiva e diferente de 1 ( a > 0 e a 1 )
Funções especiais:
7-Função definida por várias sentenças: Uma função f pode ser definida por uma lei formado por mais de uma sentença: num subconjunto D 1 do domínio, ela é dada por uma certa lei; noutro subconjunto D 2 , ela é dada por outra lei, e assim por diante. Exemplo:
A função f : IR IR definida por:
f(x) x 5 , se x 1
f(x) x 2 , se x 1
é definida por duas sentenças. Indicamos também:
x 5 , se x 1
x 2 , se x 1 f(x)
Considerando a função acima, faça o gráfico e determine o conjunto imagem.
Função modular
É toda função do tipo y x
IR x
f:IR
(^)
y
De outra forma
x, se x 0
x, se x 0 y x Gráfico:
x
Função maior inteiro: Dado xIR, definimos a operação [[x]]=n, onde n é o maior inteiro tal que nx. Exemplos:
Definição: Deste modo a função maior inteiro f é definido como f(x)=[[x]]. Gráfico da função maior inteiro.
Função composta: Seja as funções f, de A em B, e g, de B em C. Função composta de g e f ( notação: gof) é a função da A em C definida por : (gof)(x)=g(f(x)) Exemplo: Dadas as funções f(x)=x+1 e g(x)=x^2 – 1, de IR em IR. Determinar as sentenças que definem as funções fog e gof.
1)Determine o conjunto domínio, o conjunto imagem e faça o gráfico das seguintes funções no mesmo sistema cartesiano: a)f(x)=3x+2 e g(x)=x+ b)f(x)=-2x+3 e g(x)=-2x-
2)Considere f(x)=-2x+5. a)Determine Df. b)Existe xIR, tal que f(x)=0?
c)Existe xIR, tal que f(x)=
? d)Determine Imf.
e)Faça o gráfico.
3)Considere a função f(x)=-2x+2, f:AIR, sendo A={xIR/0x2}. a)Determine Df e Imf. b)Calcule f(0). c)Determine xIR tal que f(x)=0. d)Faça o gráfico. e)A função tem um valor mínimo absoluto? Qual é esse valor? f)A função tem um valor máximo absoluto? Qual é esse ponto?
4)Considere a função f(x)=-x^2 +2x-3. a)Determine Df. b)Existe xIR, tal que f(x)=0? c)Resolva: i)f(x)=-2 ii) f(x)=-1 d)Existe xDf, tal que sua imagem é – 1? e)Determine Imf.
5)Esboce o gráfico e determine Imf das funções: a)f(x)=2x^2 -3x-5 b)f(x)=2x^2 +x- c)f(x)=x^2 -20x+102 d)f(x)=-x^2 + e)f(x)=x^2 +4x
13)Esboce o gráfico das seguintes funções e encontre o domínio e a imagem de cada uma.
f x c) f ( x ) x 2
d)
14)Resolva os problemas: a)Do décimo sexto andar de um edifício, a 50 metros do chão, caiu um vaso. Em cada momento da queda, a distância do vaso em relação ao solo é dada pela fórmula d=50-5t^2 , d em metros e t em segundos. Quantos segundos o vaso demora para atingir o solo? b)Um restaurante aumenta seus preços em 10% para cobrir despesas de serviços. Chame de p os preços do cardápio e de y os preços com acréscimos. i)Dê a lei que permite calcular y em função de p. ii)Represente graficamente essa função para 5 p 500. iii)Um cliente pagou R$ 120,00 de conta. Qual era o preço sem acréscimo? c)Uma gráfica cobra R$ 0,10 para copiar cada página, caso o número de cópias seja inferior ou igual a 50. Se o número de páginas for superior a 50, o custo de cópias por página adicional passa a ser R$ 0,08. Esboce o gráfico do custo total ( C ) para copiar x páginas. d)Mostre que f é função do 1o^ grau, mostre o gráfico das duas funções( esta e a simplificada) e saliente a diferença, se houver.:
i) f ( x ) x 6 2 x 3 x 12
ii)
e)Seja a função f , definida por f(x+2)=2x^2 -4x+3. i)Obtenha f(x). ii)Calcule f(-1) e f(1).
15)Dadas as funções f(x)=x^2 -5x+6 e g(x)=2x+1, resolva: f( )
f( ) fg
f() g(x) 0
2 2
1
16)Sendo a função f : IRIR definida por f(x)=x^2 e g : IR IR a função tal que
h
f(x h) f(x) g (x) , ache g(x).
17)Seja f : IN Z, a função definida por: f(0)=2, f(1)=3 e f(n+1)=2f(n)-f(n-1), calcule f(5).
a)D(f)=D(g)=Im(f)=Im(g)=IR b)D(f)=D(g)=Im(f)=Im(g)=IR
a)D(f)=IR b)x= 2
c)x= 4
d)Im(f)=IR
a)D(f)=A e Im(f)=[-2,2] b)f(0)=2 c)x=1 e)Sim, y=– 2 f)Sim, y=
a)D(f)=IR b) x IR c-i)S={1} c-ii)S=ø d)Não e)Im(f)=]–,–2]
a-b)Im(f)=[ 8
,[ c)Im(f)=[2,[ d)Im(f)=]–,25] e)Im(f)=[–4,[
ii)a)x=2 b)x]–,2[y<0 e x]2,[y> iii)a)x=0 b)x]–,0[y<0 e x]0,[y> iv)a)x=1 e x=0 b)x]–,–1[]0,1[y<0 e x]–1,0[]1,[y> v)a)x= 2 b)x]–,– 2 [] 2 ,[y>0 e x]– 2 , 2 [y<
c)fog(x)= x 1
x
gof(x)= x
gog(x)= x 2
x 1
fof(x)=x– 2
a)D(f)=Im(f)=IR b)D(f)=]0,+[ Im(f)=]–1,0[[2,[ c)D(f)=IR Im(f)=Z d)D(f)=IR–{2} Im(f)=IR–{4} e)D(f)=IR+ Im(f)=IR– f)D(f)=IR Im(f)=IR+ g)D(f)=IR Im(f)={1} h)D(f)=IR Im(f)=IR–
a)t= 10 s b)i)y=1,1.p iii)p= R 10909 11
c)
1 008 x se x 50
01 x se 0 x 50 C x , ,
e) i)f(x)=2x^2 – 12x+19 ii)f(-1)=31 f(1)=
S 16)g(x)=2x+h 17)f(5)=
