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entenda o funcionamento do geogebra e aplique em seus exercícios
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
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Este minicurso foi desenvolvido pelos integrantes do Grupo PET Matem´atica - Programa de Educa¸c˜ao Tutorial, sob a orienta¸c˜ao da Professora Tutora Dra. Carmen Vieira Mathias, como uma proposta de qualificar a forma¸c˜ao de bolsistas e acadˆemicos na utiliza¸c˜ao de novas tecnologias aplicadas ao ensino e aprendizagem da matem´atica.
O GeoGebra ´e um software de matem´atica dinˆamica livre, que permite a constru¸c˜ao de diversos objetos geom´etricos, como pontos, vetores, segmentos, retas, sec¸c˜oes cˆonicas, gr´aficos representativos de fun¸c˜oes e curvas parametrizadas; os quais podem ser modificados dinamicamente. Os valores e coordenadas podem ser introduzidas diretamente com o teclado, al´em da vantagem de podermos trabalhar utilizando vari´aveis vinculadas a n´umeros, vetores e pontos. Al´em disto, o GeoGebra nos permite trabalhar com fun¸c˜oes, desde o n´ıvel b´asico at´e a determina¸c˜ao de derivadas e integrais, al´em de oferecer um conjunto de comandos relacionados com an´alise matem´atica, ´algebra, ´algebra linear, geometria anal´ıtica, entre outros. Esta apostila contempla de forma sucinta e introdut´oria os principais recursos do GeoGebra, uma vez que serve de apoio did´atico para um minicurso de curta dura¸c˜ao.
Ao inicializar o GeoGebra abre-se uma janela, cuja a interface ´e composta por uma barra de menus, uma barra de ferramentas, a janela de ´algebra, a janela de visualiza¸c˜ao, o campo de entrada de texto, um menu de comandos e o menu de s´ımbolos.
Figura 3.1: Interface do Geogebra
A Barra de menus fica na parte superior da zona gr´afica, e ´e composta pelas op¸c˜oes: Arquivo, Editar, Exibir, Op¸c˜oes, Ferramentas, Janela e Ajuda. Observa¸c˜ao: Utilizando o menu Exibir, podemos personalizar a interface do Programa, podendo-se, por exemplo, exibir/esconder diferentes elementos da mesma, como por exemplo, a janela alg´ebrica e uma segunda janela de visualiza¸c˜ao, a janela de visualiza¸c˜ao 3D, uma janela planilha, a barra de ferramentas,
os eixos coordenados, a malha, entre outras op¸c˜oes. Para isso, basta marcar/desmarcar o item desejado no menu exibir.
Figura 3.2: Menu Exibir
3.2 Janela de ´Algebra
A janela de visualiza¸c˜ao ou zona gr´afica, mostra `a representa¸c˜ao gr´afica de pontos, vetores, segmentos, pol´ıgonos, fun¸c˜oes, retas e cˆonicas no plano e no espa¸co, que podem ser introduzidos na janela geom´etrica ou atrav´es da entrada de texto. Ao passar o mouse sobre algum desses objetos, aparece sua respectiva descri¸c˜ao. Personalizando a Janela de Visualiza¸c˜ao: Para personalizar a janela de visualiza¸c˜ao, basta clicar com o bot˜ao direito do mouse sobre a zona gr´afica e em seguida no item Janela de Visualiza¸c˜ao. Al´em de personalizar os eixos coordenados e a malha, podemos, por exemplo, alterar o estilo da linha, as unidades, a cor dos eixos coordenados e ainda a cor de fundo. Note que tamb´em podemos personalizar cada um dos eixos individualmente, clicando em ”EixoX” ou ”EixoY”. Al´em disso, podemos alterar a cor e o estilo das linhas da malha, e alterar a distˆancia entre as linhas.
3.3 Campo de Entrada de Texto
O campo de entrada de texto (ou entrada de comandos) ´e usado para inserir comandos, coordenadas, equa¸c˜oes e fun¸c˜oes diretamente atrav´es do teclado. Menu de Comandos: Para facilitar a inser¸c˜ao de comandos no campo de entrada, podemos utilizar a ferramenta ”Ajuda”, localizada no canto inferior direito, ao lado do campo de entrada. Esta ferramenta disp˜oe de um menu de comandos com informa¸c˜oes para as seguintes op¸c˜oes: Fun¸c˜oes Matem´aticas, Todos os Comandos, 3D, Algebra, Cˆ´ onicas, Diagramas, Estat´ıstica, Fun¸c˜oes e C´alculo, GeoGebra, Geometria, Listas, L´ogica, Matem´atica Discreta, Matem´atica Financeira, Otimiza¸c˜ao, Planilha, Probabilidade, Pro- grama¸c˜ao, Texto, Transforma¸c˜oes, e Vetores e Matrizes. Deste modo, ao selecionar um desses itens,
Ponto em Objeto: Esta ferramenta permite criar um ponto dependente de um objeto. O ponto criado s´o poder´a ser movido dentro do objeto. Al´em do mais. Ao mover o objeto o ponto criado tamb´em se mover´a. No caso de um pol´ıgono, Para criar um ponto que ´e fixado a um objeto, clique no bot˜ao da ferramenta e depois no objeto. Este novo ponto pode ser movido atrav´es da ferramenta Mover, mas apenas dentro do objeto. Para colocar um ponto interior de um c´ırculo ou elipse ser´a necess´ario aumentar a opacidade (transparˆencia) destes. Se vocˆe clicar no per´ımetro de um objeto (por exemplo: c´ırculo, elipse, pol´ıgono), ent˜ao o ponto ser´a fixado ao per´ımetro ao inv´es do interior.
Vincular/Desvincular Ponto: Para anexar um ponto a um determinado objeto, primeiro clique em um ponto livre e, em seguida, sobre o objeto para o qual vocˆe deseja anexar este ponto. O ponto se tornar´a dependente e s´o poder´a ser movido dentro do objeto.
Interse¸c˜ao entre objetos: Os pontos de intersec¸c˜ao de dois objetos podem ser criados selecio- nando dois objetos, assim todos os pontos de interse¸c˜ao ser˜ao criados; ou ent˜ao, clicando-se diretamente sobre uma intersec¸c˜ao de duas linhas, assim apenas um ponto de intersec¸c˜ao ser´a criado.
Ponto M´edio: Com esta ferramenta pode-se obter o ponto m´edio entre dois pontos ou de um segmento. Para isso, basta selecionar a ferramenta, e em seguida clicar em dois pontos ou em um segmento para obter o respectivo ponto m´edio. Tamb´em ´e poss´ıvel clicar numa sec¸c˜ao cˆonica (por exemplo, circunferˆencia) para criar o respectivo centro.
N´umero Complexo: Possibilita criar um ponto no plano imagin´ario, sendo o eixo das Abcissas (x) o eixo Real (Re) e o eixo das Ordenadas (y) o Imagin´ario (Im).
Segmento de Comprimento Fixo: Clique num ponto A (que ser´a o extremo inicial do segmento), e em seguida, especifique o comprimento desejado no campo de texto da janela de di´alogo que ir´a aparecer. Ser´a criado um segmento com o comprimento desejado e de extremos A e B, o qual poder´a ser rodado em torno do ponto inicial A utilizando a ferramenta Mover.
Caminho Poligonal: Com esta ferramenta pode-se calcular o caminho poligonal, selecionando-se todos os pontos (v´ertices) desejados. A linha poligonal criada ser´a fechada ao clicar novamente no v´ertice inicial, com isso vocˆe ter´a o valor da soma das distancias entre os v´ertices.
vetor: Clique num ponto qualquer A (que ser´a o extremo inicial do vetor), e em seguida, num ponto B (que ser´a o extremo final do vetor). Ser´a criado um vetor AB.
Reta Perpendicular: Com esta ferramenta, pode-se construir uma reta perpendicular a uma reta, semirreta, segmento, vetor, eixo ou lado de um pol´ıgono. Assim, para se criar uma perpendicular, deve-se clicar sobre um ponto e sobre uma dire¸c˜ao, que poder´a ser definida por qualquer um dos objetos citados anteriormente.
Reta Paralela: Utilizando esta ferramenta, pode-se construir uma reta paralela a uma reta, semirreta, segmento, vetor, eixo ou lado de um pol´ıgono. Para criar a reta paralela, basta clicar sobre um ponto e sobre uma dire¸c˜ao, que poder´a ser definida por qualquer um dos objetos recentemente citados.
Bissetriz: Atrav´es desta ferramenta, podemos definir uma bissetriz selecionando trˆes pontos A, B e C, obtendo-se assim a bissetriz do ˆangulo ABC; ou ent˜ao selecionando duas retas, semirretas, segmentos de reta ou vetores. Neste caso, ser˜ao determinados todos os ˆangulos existentes entre o par de objetos utilizado.
Reta Tangente: Com esta ferramenta, ´e poss´ıvel construir as retas tangente a uma circunferˆencia, cˆonica ou fun¸c˜ao, a partir de um determinado ponto. Para isso, deve-se clicar em um ponto e depois no objeto ao qual a reta (ou retas) ser´a tangente.
Reta de Regress˜ao Linear: Com esta ferramenta, pode-se encontrar a reta que melhor se ajusta a um conjunto de pontos. Podemos fazer isso criando um retˆangulo de sele¸c˜ao que contenha todos os pontos desejados, ou ent˜ao selecionando uma lista de pontos. citados anteriormente.
Lugar Geom´etrico: Esta ferramenta constr´oi automaticamente o lugar geom´etrico determinado pelo movimento de um objeto (ponto, reta, etc.) ao longo de uma trajet´oria.
Arco Circuncircular: Esta ferramenta constr´oi um setor circular a partir do centro e dois pontos. Para utiliz´a-la, clique inicialmente sobre o ponto que ser´a o centro do arco, e em seguida clique sobre os dois pontos restantes. Se o sentido dos cliques for anti-hor´ario, ser´a constru´ıdo o menor setor definido pelos trˆes pontos. Se for ao sentido hor´ario, ser´a constru´ıdo o maior setor.
Setor Circuncircular: Para utilizar esta ferramenta, basta clicar em trˆes pontos que podem (ou n˜ao) j´a estar na janela geom´etrica. Se os pontos n˜ao estiverem na janela de visualiza¸c˜ao, basta cri´a-los com a ferramenta ativada.
Elipse: Para construir uma elipse, basta selecionar dois pontos (que ser˜ao os focos da elipse), e em seguida selecionar um terceiro ponto, o qual pertencer´a `a elipse.
Hiperbole: Para criar uma hip´erbole, basta selecionar dois pontos (que ser˜ao os focos da hip´erbole). Em seguida, especifique um terceiro ponto, o qual pertencer´a `a hip´erbole.
Par´abola: Para construir uma par´abola, basta selecionar um ponto (que pertencer´a `a par´abola) e uma reta, a qual ser´a a diretriz da par´abola.
Cˆonica Definida por cinco pontos: Ap´os ativar esta ferramenta, selecionando-se cinco pontos, ser´a criada a se¸c˜ao cˆonica que passa por estes pontos. Neste caso, a se¸c˜ao cˆonica mencionada poder´a ser uma elipse, hip´erbole, par´abola ou circunferˆencia. Note que, se quatro destes pontos forem colineares, a cˆonica n˜ao ser´a criada.
Angulo:^ ˆ Atrav´es desta ferramenta, podemos determinar um ˆangulo selecionando trˆes pontos ou ent˜ao selecionando duas retas, semirretas, segmentos de reta ou vetores. Para determinar o ˆangulo entre os objetos selecionados, deve-se selecion´a-los em ordem, no sentido hor´ario. Pode-se, ainda, atrav´es desta ferramenta, se determinar todos os ˆangulos de um pol´ıgono, sendo ele regular ou n˜ao. Para isso, basta ativar a ferramenta e depois selecionar o pol´ıgono
Angulo de amplitude fixa:ˆ Com esta ferramenta, a partir de dois pontos, pode-se construir um ˆangulo com amplitude fixa. Para isso, deve-se clicar nos dois pontos iniciais, e ent˜ao definir (na janela que se abrir´a), a medida e o sentido (hor´ario ou anti-hor´ario) do ˆangulo que se deseja criar.
Distˆancia, comprimento ou per´ımetro: Esta ferramenta fornece a distˆancia entre dois pontos, duas retas, ou entre um ponto e uma reta, mostrando um texto dinˆamico na janela de visualiza¸c˜ao. Al´em disso, tamb´em fornece o comprimento de um segmento, e o per´ımetro de um pol´ıgono, circunferˆencia ou elipse.
Area:^ ´ Esta ferramenta fornece o valor num´erico da ´area de um pol´ıgono, c´ırculo ou elipse, mos- trando um texto dinˆamico com o respectivo valor na janela de visualiza¸c˜ao.
Inclina¸c˜ao: Esta ferramenta fornece o declive (inclina¸c˜ao) de uma reta, e mostra na janela de visualiza¸c˜ao um triˆangulo retˆangulo cuja raz˜ao entre a medida do cateto vertical e a medida do cateto horizontal ´e o valor absoluto da inclina¸c˜ao da respectiva reta.
Lista: Com esta ferramenta podemos criar uma lista de objetos como pontos, segmentos de reta, pol´ıgonos entre outros. Para isso, selecione a ferramenta Criar Lista e depois arraste e marque um retˆangulo na zona gr´afica, selecionando os objetos a serem inseridos na lista.
Reflex˜ao em rela¸c˜ao a uma reta: Esta ferramenta constr´oi o reflexo de um objeto (ponto, c´ırculo, reta, pol´ıgono, etc.) em rela¸c˜ao a uma reta. Para isso, deve-se selecionar primeiro o objeto, e depois a reta de reflex˜ao.
Reflex˜ao em rela¸c˜ao a um ponto: Esta ferramenta constr´oi o reflexo de um objeto (ponto, c´ırculo, reta pol´ıgono, etc.) em rela¸c˜ao a um ponto. Para isso, deve-se selecionar primeiro o objeto e, depois o ponto de reflex˜ao.
Rela¸c˜ao: Com esta ferramenta podemos saber a rela¸c˜ao entre dois objetos, para isso selecione a ferramenta e depois dois objetos para obter a informa¸c˜ao sobre a rela¸c˜ao entre eles.
Inspetor de fun¸c˜ao: Esta ferramenta possibilita uma an´alise mais espec´ıfica da fun¸c˜ao em de- terminado intervalo, tais como pontos de m´aximo e m´ınimo, integral, reta tangente, c´ırculo osculador, etc.
Controle deslizante: Para criar um controle deslizante, basta ativar a respectiva ferramenta e clicar sobre o local desejado na janela geom´etrica. Feito isto, aparecer´a uma janela onde vocˆe poder´a nomear, especificar o intervalo e incremento e alterar as propriedades do controle deslizante. O uso de um controle deslizante possibilita causar varia¸c˜oes em objetos (manualmente ou automaticamente), podendo tamb´em assumir a fun¸c˜ao de uma vari´avel. Esta vari´avel pode estar associada a um objeto matem´atico, o que permite a transi¸c˜ao cont´ınua entre estados intermedi´arios do objeto estudado, destacando os aspectos invariantes. Al´em disso, a possibilidade de variar objetos garante o dinamismo nas representa¸c˜oes e a manipula¸c˜ao de conceitos antes abstratos.
Caixa exibir/esconder objetos: Com esta ferramenta, podemos criar uma caixa e anexar a esta objetos j´a constru´ıdos. Desta forma, ao marcar a caixa, os objetos anexados ficar˜ao vis´ıveis, e ao desmarc´a-la, os objetos ser˜ao ocultados.
Bot˜ao: Esta ferramenta permite criar um bot˜ao e a ele associar uma ou mais determinadas a¸c˜oes, vis´ıveis na zona gr´afica (como trocar as coordenadas de um ponto, trocar a posi¸c˜ao de uma reta, etc.). Para isso, basta selecionar a ferramenta e clicar na janela de visualiza¸c˜ao para cria-lo. Depois, ao abrir uma janela com campo de texto, define-se a legenda e sua programa¸c˜ao (ou seja, o que ele far´a). Ainda ´e poss´ıvel altera suas configura¸c˜oes, cores, legenda e programa¸c˜ao entrando nas suas propriedades.
Campo de entrada: Com esta ferramenta, podemos criar uma caixa de texto para que o usu´ario possa interagir com o seu trabalho. Para isto, seleciona-se a ferramenta e clicando na zona gr´afica criamos um campo de entrada. Logo ap´os, abrir´a um janela interativa e definimos sua legenda e o objeto a ser vinculados e clica-se em Aplicar, para concluir.
Mover Janela de Visualiza¸c˜ao: Com esta ferramenta, pode-se mover o sistema de eixos, bem como todos os objetos nele contidos, ajustando a ´area vis´ıvel na Janela de Visualiza¸c˜ao. Pode-se, tamb´em, alterar a rela¸c˜ao de escala entre os eixos coordenados, arrastando cada um deles com o mouse.
Ampliar: Com o aux´ılio desta ferramenta, ao clicar em qualquer lugar da janela de visualiza¸c˜ao, podemos ampliar a constru¸c˜ao. Tamb´em ´e poss´ıvel por atalho de teclado (Ctrl +) para Ampliar.
Reduzir: Utilizando esta ferramenta, ao clicar em qualquer lugar da janela de visualiza¸c˜ao, pode- mos reduzir a constru¸c˜ao. Tamb´em ´e poss´ıvel usar o atalho do teclado (Ctrl −) para Reduzir.
Figura 4.1: P´agina de cadastro
4.2 Enviando Material
E poss´^ ´ ıvel enviar um arquivo salvo no computador ou material por um endere¸co de Web. Para isso, entre em Enviar Material.
Figura 4.2: Site GeoGebra Tube
Primeiramente, clique em Escolher arquivo. Abrir´a uma janela para que se selecione o projeto para ser adicionado. Depois clique em enviar para passar a etapa seguinte. Em segundo lugar, na p´agina que abrir´a (Informa¸c˜oes para estudantes) estar´a dispon´ıvel uma caixa de texto onde se pode escrever uma descri¸c˜ao ou explica¸c˜ao do projeto e uma janela do GeoGebra para que seja poss´ıvel visualizar o projeto. Para avan¸car a etapa des¸ca at´e o final da p´agina e clique em Continuar. Um terceiro momento, na p´agina seguinte (Informa¸c˜oes para professores) estar´a dispon´ıvel o campo de texto para definir o t´ıtulo do material e uma nova descri¸c˜ao, podendo colocar f´ormulas e endere¸cos da internet, o idioma principal do material, faixa et´aria do grupo alvo, palavras chaves (para ajudar na hora
de pesquisar) e a visibilidade desejada. Para avan¸car `a etapa, no final da p´agina, clique em Gravar. Logo ap´os, vocˆe ser´a redirecionado para pagina do material no site. Nesta p´agina estar˜ao dispon´ıveis fun¸c˜oes como editar, apagar, campo para escrever coment´arios, mat´erias an´alogos entre outras. Tamb´em poder´a abrir a vers˜ao para estudantes que leva a uma p´agina para visualiza¸c˜ao do projeto, podendo movimenta-lo pela zona gr´afica e exibir ou esconder objetos, ideal para apresenta¸c˜oes.
4.3 Editar o Material
Ao entrar na p´agina do material, clique em Editar e ser´a redirecionado para uma nova p´agina. Nela vocˆe poder´a mudar as informa¸c˜oes do material como t´ıtulo, descri¸c˜ao, alterar o arquivo, podendo enviar outro no lugar e poder´a edita-lo em uma vers˜ao online do GeoGebra.
Figura 4.3: Site GeoGebra Tube
Com essa plataforma online, temos a possibilidade de acesso a projetos feitos no Geogebra, visualizar trabalhos de diversos autores e publicar seus pr´oprios arquivos sem a necessidade de ter o software instalado em seu computador.
