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Matérias Básicas
Tipologia: Notas de estudo
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Professores
Luciano Camargo Martins Coordenador
ii
v
Apesar de existirem muitas grandezas f´ısicas, s˜ao estabelecidos padr˜oes e definidas unidades para que tenhamos um n´umero m´ınimo de grandezas denominadas fundamentais. Utilizando as grandezas fundamentais definem-se unidades para todas as demais grandezas, as chamadas grandezas derivadas.
A partir de uma das grandezas fundamentais, o comprimento por exemplo, cuja unidade ´e o metro (m), pode-se definir as unidades derivadas, como ´area (m^2 ) e volume (m^3 ). Utilizando o metro e outra grandeza fundamental, a de tempo, definem-se as unidades de velocidade (m/s) e acelera¸c˜ao (m/s^2 ).
At´e o final do s´eculo XV III era muito grande a quantidade de padr˜oes existentes. Cada regi˜ao escolhia arbitrariamente as suas unidades. Por motivos hist´oricos, os pa´ıses de l´ıngua inglesa utilizam at´e hoje os seus padr˜oes regionais. O elevado aumento nos intercˆambios econˆomicos e culturais levou ao sur- gimento do Sistema Internacional de Unidades ou SI, o sistema m´etrico.
Grandeza Unidade S´ımbolo comprimento metro m massa quilograma kg tempo segundo s corrente el´etrica amp`ere A temperatura kelvin K quantidade de mat´eria mol mol intensidade luminosa candela cd
Tabela 1.1: Unidades fundamentais do SI.
Em 1971, a 14a^ Conferˆencia Geral de Pesos e Medidas escolheu sete grandezas como fundamentais, formando assim a base do SI. Al´em das grandezas, definiu-se tamb´em os s´ımbolos, uni- dades derivadas e prefixos. A tabela 1.1 mostra as unidades fundamentais do SI. A tabela 1.2 apresenta algumas unidades derivadas do SI.
A medida de uma determinada grandeza f´ısica pode resultar em um n´umero que seja extremamente grande ou extrema- mente pequeno, por exemplos temos:
Grandeza Unidade S´ımbolo ´area metro qua- drado
m^2
volume metro c´ubico m^3 densidade quilograma por metro c´ubico
kg/m^3
velocidade metro por se- gundo
m/s
acelera¸c˜ao metro por segundo ao quadrado
m/s^2
for¸ca newton N = Kg m/s^2 press˜ao pascal P a = N/m^2 trabalho, energia, calor joule J potˆencia watt W = J/s carga el´etrica coulomb C = As diferen¸ca de potencial volt V = J/C resistˆencia el´etrica ohm Ω = V /A
Tabela 1.2: Algumas unidades derivadas do SI.
Prefixo S´ımbolo Potˆencia de dez correspondente pico p 10 −^12 nano n 10 −^9 micro μ 10 −^6 mili m 10 −^3 centi c 10 −^2 deci d 10 −^1 deca D 101 hecto H 102 quilo k 103 mega M 106 giga G 109 tera T 1012
Tabela 1.3: Prefixos, s´ımbolos e potˆencias de dez.
Para manipular tais n´umeros, utilizamos a nota¸c˜ao cient´ıfica, fazendo uso das potˆencias de 10. O m´odulo de qualquer n´umero g pode ser escrito como um produto de uma mantissa a, entre um e dez, por outro, que ´e uma potˆencia de dez:
g = a × 10 n^ ,
onde devemos ter 1 ≤ a < 10.
Exemplos
2 Apostila Preparat´oria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br
Regra Pr´atica
Pense um Pouco!
Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ao
Grandeza Dimens˜ao Unidades SI Comprimento L m (metro) Massa M kg (quilograma) Tempo T s (segundo)
das grandezas mecˆanicas prim´arias: a) Sabendo que for¸ca = massa · acelera¸c˜ao, expresse a unidade de for¸ca em unidades de grandezas prim´arias. b) Determine os valores de n e p, se a express˜ao M LnT n−p corresponde `a dimens˜ao de energia cin´etica.
Exerc´ıcios Complementares
a Terra. O n´umero de planetas semelhantesa Terra, na Via L´actea, ´e: a) 2 × 104. b) 2 × 106. c) 2 × 108. d) 2 × 1011. e) 2 × 1012.Algarismos Significativos
A precis˜ao de uma medida simples depende do instrumento utilizado em sua medi¸c˜ao. Uma medida igual a 2, 00 cm n˜ao deve ser escrita como 2, 0 cm ou 2 cm. Denominamos algarismos significativos todos os algarismos co- nhecidos com certeza, acompanhados de um ´ultimo duvidoso, que expressam o valor da medida de uma grandeza, ou seja: to- dos os algarismos que representam a medida de uma grandeza s˜ao algarismos significativos, sendo chamados de corretos, com exce¸c˜ao do ´ultimo, que recebe o nome de algarismo duvidoso. O algarismo duvidoso de uma medida ser´a sublinhado para destac´a-lo, quando for preciso.
4 Apostila Preparat´oria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br
grandezas (vari´avel dependente) em rela¸c˜ao a outra (vari´avel independente). Consideremos o seguinte exemplo: Uma pessoa com febre foi medicada, ingerindo uma dose do medicamento as 8 horas e uma outra doseas 12 horas da manh˜a. A temperatura da pessoa foi verificada de hora em hora e os resultados obtidos s˜ao mostrados abaixo.
Tempo (h) Temperatura (◦C) 0 39, 1 39, 2 38, 3 38, 4 38, 5 37, 6 37, 7 36, 8 36, 9 36,
Podemos representar os dados da tabela acima em um gr´afico. A representa¸c˜ao gr´afica das vari´aveis temperatura (vari´avel de- pendente: eixo vertical) e tempo (vari´avel independente: eixo horizontal) est´a mostrada na Fig. 1.1.
T(oC)
t(h)
Figura 1.1: Gr´afico da temperatura em fun¸c˜ao do tempo
O gr´afico cartesiano mostrado anteriormente, al´em de facilitar a visualiza¸c˜ao do comportamento da temperatura da pessoa durante as 9 horas de observa¸c˜ao, permite tamb´em, algumas conclus˜oes.
Para que gr´aficos sejam constru´ıdos de forma objetiva e clara ´e necess´ario respeitar algumas regras simples:
Pense um Pouco!
Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ao
a)
0 cm 1 2 3 4 5 6 7
b)
0 cm 1 2 3 4 5 6 7
c)
0 cm 1 2 3 4 5 6 7
d)
0 cm 1 2 3 4 5 6 7
e)
0 cm 1 2 3 4 5 6 7
f)
0 cm 1 2 3 4 5 6 7
Mecˆanica – Aula 3 5
entre dois tra¸cos paralelos, muito finos, feitos por um estilete sobre uma superf´ıcie plana e lisa. Considerando que n˜ao houve erro grosseiro, o resultado de uma s´o medi¸c˜ao, com o n´umero correto de algarismos significativos, ´e mais bem representado por: a) 2 m b) 21 dm c) 214 cm d) 2, 143 m e) 2. 143 , 4 m
Exerc´ıcios Complementares
Grandezas Escalares e Vetoriais
Na F´ısica tratamos de dois tipos principais de grandezas: as grandezas escalares e grandezas vetoriais.
A grandeza escalar ´e aquela que fica perfeitamente carac- terizada quando conhecemos apenas sua intensidade acom- panhada pela correspondente unidade de medida. Como
exemplos de grandeza f´ısica escalar podemos citar a massa de um corpo (por exemplo, 50 kg), a temperatura (por exem- plo 36 oC), o volume (5 m^3 , por exemplo), a densidade (para a ´agua, 1000 kg/m^3 ), a press˜ao (10^5 N/m^2 ), a energia (por exemplo 100 J) e muitas outras. Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras de opera¸c˜oes alg´ebricas comuns, arredondando-se quando ne- cess´ario.
Dada a velocidade instantˆanea de um m´ovel qualquer (por exemplo, um avi˜ao a 380 km/h), constatamos que apenas essa indica¸c˜ao ´e insuficiente para dizermos a dire¸c˜ao em que o m´ovel segue. Isso acontece porque a velocidade ´e uma grandeza vetorial. Para uma grandeza f´ısica vetorial ficar totalmente caracteri- zada, ´e necess´ario saber n˜ao apenas a sua intensidade ou m´odulo mas tamb´em a sua dire¸c˜ao e o seu sentido. Geral- mente a grandeza vetorial ´e indicada por uma letra com uma setinha (por exemplo, ~v) e o m´odulo ou intensidade, por |~v| ou simplesmente por v. A grandeza f´ısica vetorial pode ser representada graficamente por um segmento de reta (indicando a dire¸c˜ao da grandeza) dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) e trazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (indica¸c˜ao de seu m´odulo ou intensidade). Tal representa¸c˜ao ´e denominada vetor. No exemplo anterior do avi˜ao, poder´ıamos dizer, por exemplo, que ele se movimenta num certo instante com velocidade ~v, de m´odulo v = 380 km/h, na dire¸c˜ao norte-sul e sentido de sul para norte. Essa velocidade vetorial instantˆanea pode ser representada por um vetor, como mostra a figura 1.1.
N
S
O L
380 km/h
Figura 1.1: Exemplo de representa¸c˜ao vetorial
Como afirmamos anteriormente, para representar grandezas vetoriais ´e preciso indicar, al´em do m´odulo, a dire¸c˜ao e o sen- tido da grandeza. Podemos fazer essa indica¸c˜ao utilizando um vetor (veja a figura 1.2). O vetor pode ser representado por um segmento de reta orientado cujo tamanho - intensidade - ´e proporcional `a intensidade da grandeza que representa. Para melhor entendermos o significado e a representa¸c˜ao de um vetor, observe a figura 1.3. Na figura de cima os vetores representados possuem mesma dire¸c˜ao e sentido; na figura de baixo os vetores apresentam a mesma dire¸c˜ao e sentidos opostos. Portanto, podemos notar que vetores de mesma dire¸c˜ao s˜ao paralelos, o que n˜ao garante que tenham o mesmo sentido.
Mecˆanica – Aula 3 7
d
d (^2)
d (^1)
Figura 1.7: O deslocamento d~ equivale aos deslocamentos d~ 1 e d^ ~ 2.
ˆangulo entre d~ 1 e d~ 2 n˜ao ´e reto (90o). Assim, aplicamos a regra do paralelogramo, como mostra a figura 1.8.
Os vetores ~a e ~b formam um paralelogramo cuja diagonal ´e o vetor resultante ~c. De acordo com a regra do paralelogramo, se ~a e ~b formam entre si um ˆangulo α, o m´odulo do vetor resultante ~c ser´a dado pela express˜ao:
c^2 = a^2 + b^2 + 2ab · cos α
Decomposi¸c˜ao de Vetores
Ao somarmos dois vetores, podemos obter um ´unico vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao decompormos dois vetores, realizamos um processo inverso. Dado um vetor ~a, obt´em-se outros dois vetores a~x e ~ay tal que a ~x + a~y = ~a (veja a figura 1.9).
O vetor ~ay pode ser deslocado para a extremidade do vetor ~ax de tal forma que o vetor ~a e seus vetores componentes ~ax e ~ay formem um triˆangulo retˆangulo (figura 1.10). Aplicando a trigonometria ao triˆangulo retˆangulo, podemos determinar o m´odulo dos componentes ~ax (horizontal) e ~ay (vertical) de ~a em fun¸c˜ao do ˆangulo α. Desta forma, no triˆangulo hachurado da figura 1.10, temos
cos α = cateto adjacente hipotenusa
⇒ cos α = ax a ax = a · cos α
onde ax ´e o m´odulo da componente horizontal ~ax do vetor ~a. Temos ainda
sin α =
cateto oposto hipotenusa
⇒ sin α =
~ay a ay = a · sin α
onde ay ´e o m´odulo da componente vertical ~ay do vetor ~a.
Podemos relacionar o m´odulo do vetor e o m´odulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pit´agoras no triˆangulo formado por ~a e seus componentes ~ax e ~ay :
a^2 = a^2 x + a^2 y
Pense um Pouco!
c b
c
a
b
a
α α
α α
Figura 1.8: A diagonal do paralelogramo, cujos lados s˜ao os vetores ~a e ~b, ´e o vetor resultante ~c. Podemos deslocar o vetor ~b para outra extremidade de ~a, reproduzindo a figura anterior.
Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ao
o
8 Apostila Preparat´oria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br
a
a (^) x
a (^) y
α
x
y
Figura 1.9: O vetor ~a pode ser decomposto em um componente horizontal, ~ax, e outro vertical, a~y.
a
a (^) y a (^) y
a (^) x
α
Figura 1.10: O vetor ~a e seus componentes ~ax e a~y formam um triˆangulo retˆangulo, onde ~a ´e a hipotenusa e ~ax e ~ay s˜ao os catetos.
Exerc´ıcios Complementares
F 2
F 1
α = 60
o
o
A Primeira Lei de Newton
Geralmente utilizamos uma for¸ca com o objetivo de empur- rar, puxar ou levantar objetos. Essa id´eia ´e correta, por´em incompleta. A id´eia de puxar ou empurrar est´a quase sempre associada a id´eia de contato, o que exclui uma caracter´ıstica fundamental da no¸c˜ao de for¸ca: a a¸c˜ao `a distˆancia. A atra¸c˜ao gravitacional entre o Sol e a Terra, por exemplo, ´e exercida a milh˜oes de quilˆometros de distˆancia. A palavra for¸ca n˜ao possui uma defini¸c˜ao ´unica, expressa em palavras. A F´ısica moderna admite a existˆencia de quatro ti- pos de for¸ca na natureza, chamadas mais adequadamente de intera¸c˜oes: gravitacional, eletromagn´etica, e as for¸cas nuclea- res forte e fraca. Em rela¸c˜ao ao estudo dos movimentos e de suas causas, pode- se dizer que for¸ca ´e a a¸c˜ao capaz de modificar a velocidade de um corpo. Como muitas outras grandezas em F´ısica, a for¸ca ´e uma gran- deza vetorial, ou seja, possui m´odulo dire¸c˜ao e sentido. Pode- mos resumir, ent˜ao a defini¸c˜ao de for¸ca da seguinte forma:
For¸ca ´e uma grandeza vetorial que caracteriza a a¸c˜ao de um corpo sobre outro e que tem como efeito a deforma¸c˜ao ou a altera¸c˜ao da
10 Apostila Preparat´oria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br
Exerc´ıcios Complementares
A Segunda Lei de Newton
E muito comum encontrarmos a defini¸^ ´ c˜ao de massa de um corpo da seguinte maneira: “a massa de um corpo representa a quantidade de mat´eria que ele possui”. Em cursos elementa- res de ciˆencias, esta defini¸c˜ao pode ser aceita como uma id´eia inicial da no¸c˜ao de massa, embora n˜ao possa ser considerada uma defini¸c˜ao precisa dessa grandeza. De fato, a defini¸c˜ao apresentada n˜ao ´e adequada, pois pretende definir um novo conceito – massa – por meio de uma id´eia vaga, que n˜ao tem significado f´ısico preciso – quantidade de mat´eria.
Experimentalmente os f´ısicos constataram que entre a for¸ca F aplicada a um corpo e a acelera¸c˜ao a, que ele adquire, existe uma propor¸c˜ao direta. Desta forma, o quociente F/a ´e cons- tante para um certo objeto. Este quociente, que ´e intr´ınseco a
cada corpo, foi denominado pelos f´ısicos de massa do corpo. Desta forma, podemos afirmar:
A massa m de um corpo ´e o quociente entre o m´odulo da for¸ca que atua num corpo e o valor da acelera¸c˜ao a que ela produz neste corpo.
Assim, m =
a No sistema internacional (SI), a unidade para medida de massa ´e o quilograma:
1 quilograma = 1 kg = 1000 g
Suponhamos que uma for¸ca F foi aplicada a trˆes corpos de massa diferentes, como trˆes blocos de ferro, com volumes di- versos. Imaginaremos que a superf´ıcie na qual estes blocos est˜ao apoiados n˜ao apresenta atrito. Analisando a equa¸c˜ao m = F/a, percebemos facilmente que:
Podemos concluir que
Quanto maior ´e a massa de um corpo, maior ser´a sua in´ercia (dificuldade de ter sua velo- cidade alterada), isto ´e, a massa representa a medida de in´ercia de um corpo.
As conclus˜oes anteriormente, explicam porque um caminh˜ao vazio (quando sujeito a uma for¸ca F) adquire uma acelera¸c˜ao maior do que quando esta cheio, por exemplo.
De acordo com o princ´ıpio da in´ercia, um corpo s´o pode sair de seu estado de repouso ou de movimento retil´ıneo com velo- cidade constante se sobre ele atuar uma for¸ca resultante ex- terna. Neste momento, poder´ıamos perguntar: “O que acon- tece se existir uma for¸ca resultante externa agindo no corpo?” Nesta situa¸c˜ao, o corpo fica sujeito a uma acelera¸c˜ao, ou seja, um corpo sujeito a uma for¸ca resultante externa movimenta-se com velocidade vari´avel.
E f´^ ´ acil perceber que, se quisermos acelerar um corpo, por exemplo, desde o repouso at´e 30 km/h em um intervalo de tempo de 30 s, a intensidade da for¸ca que teremos de aplicar depender´a da massa do corpo. Se, por exemplo, o corpo for um carro, ´e evidente que a for¸ca necess´aria ser´a muito menor do
Mecˆanica – Aula 5 11
que se tratasse de um caminh˜ao. Desta forma, quanto maior a massa do corpo, maior dever´a ser a intensidade da for¸ca necess´aria para que ele alcance uma determinada acelera¸c˜ao.
Foi Isaac Newton quem obteve essa rela¸c˜ao entre massa e for¸ca, que constitui a segunda lei de Newton ou princ´ıpio fun- damental da dinˆamica. Temos, ent˜ao que
A acelera¸c˜ao de um corpo submetido a uma for¸ca resultante externa ´e inversamente pro- porcional `a sua massa, e diretamente propor- cional a intensidade da for¸ca.
Assim, para uma dada for¸ca resultante externa F, quanto maior a massa m do corpo tanto menor ser´a a acelera¸c˜ao a adquirida. Matematicamente, a segunda lei de Newton ´e dada por:
F^ ~ = m~a
Esta equa¸c˜ao vetorial imp˜oe que a for¸ca resultante e a ace- lera¸c˜ao tenham a mesma dire¸c˜ao e o mesmo sentido. No SI a unidade de for¸ca ´e o newton ou (N ):
1 N = 1 kg · m/s^2
Por defini¸c˜ao, o newton ´e a for¸ca que produz uma acelera¸c˜ao de 1 m/s^2 quando aplicada em uma massa de 1 kg.
Antes de resolver qualquer problema de dinˆamica, ´e de fun- damental importˆancia a identifica¸c˜ao de todas as for¸cas rele- vantes envolvidas no problema. Para facilitar a visualiza¸c˜ao destas for¸cas, isola-se cada corpo envolvido e desenha-se um diagrama de corpo livre ou diagrama de for¸cas para cada corpo, que ´e um esquema simplificado envolvendo todas as massas e for¸cas do problema.
Por exemplo, se um bloco escorrega, descendo um plano incli- nado com atrito, teremos o seguinte diagrama de corpo livre para o bloco:
m
N (^) Fat
P
Figura 1.1: Diagrama de corpo livre para um bloco escorre- gando num plano inclinado.
Observe
Nesse exemplo, o bloco ´e tratado como uma part´ıcula, por sim- plifica¸c˜ao, n˜ao sendo relevante suas dimens˜oes ou o ponto de aplica¸c˜ao das for¸cas, colocadas todas no seu centro geom´etrico, por conveniˆencia. Desprezou-se a for¸ca de empuxo do ar, a for¸ca de resistˆencia viscosa ao movimento do bloco, tamb´em causada pelo ar, e outras for¸cas irrelevantes ao problema.
Pense um Pouco!
Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ao
Sendo F = 20 N , ma = 3, 0 kg, mb = 8, 0 kg e mc = 9, 0 kg, determine: a) a acelera¸c˜ao do conjunto; b) a tra¸c˜ao nos fios (TAB entre A e B e TBC , entre B e C). Admitir a massa dos fios desprez´ıvel.
Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ao
Admitindo g = 10 m/s^2 e o fio inextens´ıvel de massa des- prez´ıvel como a massa da polia, determine: a) a acelera¸c˜ao do conjunto; b) a tra¸c˜ao no fio.