Universidade Federal de Santa Catarina
Centro Tecnológico
Departamento de Engenharia Civil
Apostila de
Análise Estrutural I
Agosto de 2009
Grupo de Experimentação em Estruturas – GRUPEX
Programa de Educação Tutorial – PET
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Apostila de Isostática, Exercícios de Engenharia Civil
Teoria e exercícios
Tipologia: Exercícios
2011
1 / 188
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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro Tecnológico
Departamento de Engenharia Civil
Apostila de
Análise Estrutural I
Agosto de 2009
Grupo de Experimentação em Estruturas – GRUPEX
Programa de Educação Tutorial – PET
Universidade Federal de Santa Catarina
Centro Tecnológico
Departamento de Engenharia Civil
Apostila de
Análise Estrutural I
Ângela do Valle Henriette Lebre La Rovere Nora Maria De Patta Pillar
Colaboração dos Bolsistas PET: Alex Willian Buttchevitz Alexandre Garghetti André Ricardo Hadlich Helen Berwanger Stephanie Thiesen Talita Campos Kumm Valmir Cominara Júnior Vanessa Pfleger Colaboração dos Monitores: Artur Dal Prá (2006-1) Willian Pescador (2007-1)
Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
1. INTRODUÇÃO
1.1. Parâmetros que influenciam a concepção de sistemas estruturais A estrutura é conjunto formado pelas partes resistentes que garantem a estabilidade de um objeto de projeto, por exemplo, uma edificação. Quando se projeta uma estrutura, a análise do comportamento estrutural exige que sejam feitas algumas simplificações que conduzem a modelos estruturais. Para que se defina o sistema estrutural mais adequado, para uma determinada situação de projeto, devem ser considerados vários fatores. Os principais são:
- Projeto arquitetônico: -Aspectos funcionais (dimensão do espaço interno, iluminação, limitações do espaço exterior, etc.); -Aspectos estéticos (sistemas diferentes geram formas diferentes).
- Carregamento atuante: -Permanente; -Variável Acidental; Efeito do vento.
- Condições de fabricação, transporte e montagem da estrutura (vias de acesso, içamento);
- Material estrutural a ser utilizado (cada material possui características mecânicas peculiares): o material deve estar adequado aos tipos de esforços solicitantes pelas estruturas.
Para identificação do sistema estrutural mais adequado deve-se: 1º) Identificar as possíveis opções; 2º) Analisar e comparar as vantagens e inconvenientes de cada um.
1.2. Classificação das peças estruturais quanto à geometria Os sistemas estruturais são modelos de comportamento idealizados para representação e análise de uma estrutura tridimensional. Estes modelos obedecem a uma convenção. Esta convenção pode ser feita em função da geometria das peças estruturais que compõem o conjunto denominado sistema estrutural. Quanto à geometria, um corpo pode ser identificado por três dimensões principais que definem seu volume. Conforme as relações entre estas dimensões, surgem quatro tipos de peças estruturais:
Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
Barra : duas dimensões da mesma ordem de grandeza e uma terceira maior que as outras duas.
Barra de elementos delgados : as três dimensões principais são de diferentes ordens de grandeza. É o caso dos perfis metálicos, onde a espessura é muito menor que as dimensões da seção transversal, que é menor que o comprimento da peça. As barras de elementos delgados são tratadas, sob o ponto de vista estrutural, da mesma forma que as barras, exceção feita à solicitação por torção.
Folhas ou lâminas : duas dimensões de mesma ordem de grandeza, maiores que a terceira dimensão. Subdividem-se em:
Placas : carregamento perpendicular ao plano médio. Chapas : carregamento contido no plano médio. Cascas : superfície média curva.
Bloco : as três dimensões são da mesma ordem de grandeza.
Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
Vínculos no Plano
Tipo de Vínculo Símbolo _________Reações_____
Cabo
Ligação esbelta
Roletes
Rótula
Luva com articulação
Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
Tipo de Vínculo Símbolo _________Reações_____
Articulação
Apoio deslizante
Luva rígida
Apoio rígido (engaste)
Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
Exemplos de Vínculos
Apoio rotulado em viga de ponte. Apoio com material de baixo coeficiente de atrito, funcionando como roletes.
Rolete nos apoios de vigas de concreto protendido de uma ponte rodoviária.
Ligação de canto rígida de um pórtico de aço. Observam-se as chapas formando uma ligação rígida com os pilares.
A inclinação da rótula de apoio entre as duas vigas indica a expansão térmica do tabuleiro da ponte. Os enrijecedores verticais na região de apoio previnem a flambagem local causadas pelas altas reações de apoio.
Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
1.4. Estaticidade e Estabilidade: a) A estrutura é restringida e o número de incógnitas é igual ao número de equações de equilíbrio: ISOSTÁTICA. b) A estrutura é restringida e o número de incógnitas é maior que o número de equações de equilíbrio: HIPERESTÁTICA. c) A estrutura não é restringida ou o número de incógnitas é menor que o número de equações de equilíbrio: HIPOSTÁTICA.
Uma estrutura está restringida quando possui vínculos para restringir todos os movimentos possíveis da estrutura (translação e rotação) como um corpo rígido. Número de incógnitas:
- Externas: reações de apoio ou vinculares;
- Internas: esforços internos necessários ao traçado dos diagramas (conhecidas as reações de apoio) – estruturas fechadas. Número de equações de equilíbrio:
- Externo: equações de equilíbrio estático para a estrutura como um todo (seis no espaço e três no plano);
- Interno: equações de equilíbrio estático para parte da estrutura conhecido um ou mais esforços internos (ex.: rótula).
g: grau de estaticidade ou hiperestaticidade = número de incógnitas – número de equações.
Critério apresentado por Sussekind: g = g (^) e + g (^) i, sendo ge = número de incógnitas externas – número de equações de equilíbrio externo e interno e g (^) i = número de incógnitas internas, ou também: ge = grau de hiperestaticidade externa; g (^) i = grau de hiperestaticidade interna.
Tipos de Equilíbrio: Estável Instável Indiferente
i.
Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
M (^) C = 0 (Partindo da direita ou da esquerda da viga)
Ex.: À Direita ∑ M (^) C = 0 M (^) C + R.(d/2) + F1Y.d - VD.d = 0 VD= 0
ii) Separar em diversas vigas isostáticas
Nº de Equações adicionais = Nº de barras ligadas pela rótula - 1
g = 0; Estrutura Isostática Restringida a movimentação de corpo rígido.
VC VD
HC
F^1
VA VB
HA
VC
HC
Resolve-se esta primeiro Esta viga se apoia sobre a outra(não tem estabilidade própria) 3 incógnitas e 3 equações Determinar H C, VC, VD
Em seguida resolve-se esta, que tem estabilidade própria e é isostática também; 3 incógnitas e 3 equações Determinar H A, VA, VB
+ 1 Equação + 2 Equações + 1 Equação
N
M C^ V
d
F 1
V D
o R
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Exemplos: Pórticos, Arcos, Quadros. Pórticos:
(Triarticulado) g = g (^) e = 3 – 3 = 0 g = g (^) e = 3 – 3 = 0 g = g (^) e = 4 – (3 + 1) = 0
(Triarticulado) Hiperestática Hiperestática g = g (^) e = 4 – (3 + 1) = 0 g = g (^) e = 4 – 3 = 1 g = g (^) e = 4 – 3 = 1
4 Incóg.: V (^) A, H (^) A, VB (Ext) Incog(Ext) = 3 g = g (^) e + gi NF10 (Int) Incog(Int) = 1 g (^) e = 3 – 4 = - ge = 3 – 3 = 0 Eq(Ext) = 3 g (^) i = 1 gi = 1 Eq(Int) = 1 g = 0 g = ge + gi = 1 g =(3+1)-(3+1)=0 Isostática Hiperestática g =0 g (^) e = 3 - 4= -1 Restringida gi = 1 Isostática Restringida
M (^) C = 0 (à direita ou à esquerda)
M CD^ = M CE^ = 0
A B
C
Atirantado
Tirante (fio)
Tirante
C
A B
A B
C
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1.5. Reações de apoio em estruturas planas: 1.5.1. Estrutura Aporticada
Cos α =4/ Sen α =3/
Decompor a força de 10kN nas direções x e y:
i) ∑FX = 0 HA + 6kN = 0 ∴HA = - 6kN ii) ∑FY = 0 VA + VB = (10x3) + 8 = 38kN iii) ∑M (^) A = 0 7xVB – (30x 5,5)- (8x2) – (6x1,5) = 0 ∴7VB = 190 ∴ VB = 27,14kN
Logo, VA = 38kN – 27,14kN = 10,86kN
Outra maneira seria: ∑M (^) A = 0
7VB – (30x 5,5)- (10x2,5) = 0 ∴7VB = 165+25 = 190
∴VB = 27,14kN
Verificação: ∑M (^) B = 0 (10,86x7) + (6x3) – (30x1,5) – (8x5) – (6x1,5) = 0 76 + 18 – 45 – 40 – 9 = 0
Y
X
α
10x(3/5)=6kN
10kN 10x(4/5)=8kN
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1.5.2. Pórtico Isostático
i) ∑FX = 0 -HA + 40 = 0 ∴HA = 40kN ii) ∑FY = 0 VA + VB = 60kN iii) ∑M (^) A = 0 8VB + 80 - (40x6) – (60x4) = 0 ∴8VB = 400 ∴ VB = 50kN ∴VA = 60 – 50 = 10kN
Verificação: ∑M (^) B = 0 (10x8) + (40x3) – 80 – (60x4) + (40x3) = 0 120 + 120 – 240 = 0
1.5.3. Treliça Isostática
i) ∑FX = 0 HB + 4 -12 = 0 ∴HB = 8kN ii) ∑FY = 0 VA + VB = 6 + 8 = 14kN iii) ∑M (^) B = 0 (4x4) + (8x1,5) – (12x2) – 3V (^) A = 0 ∴3VA = 16 + 12 – 24 = 4 ∴VA = (4/3) = 1,33kN ∴VB = 12,67kN
Verificação: ∑M (^) A = 0 r=3; b=5; n=4. r + b = 2n 5 + 3= 2x
VA
HA VB
B
A
80kNm
60kN 40kN
4.00m 4.00m
3.00m
3.00m
V A V B
H B
4kN
1.50m 1.50m
2.00m
2.00m
6kN
8kN 12kN
Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
Exercícios: Determinar a reação de apoio.
i) ∑FX = 0 (→+^ ) RAX - RBX = 0 ∴ RAX = RBX (I) ii) ∑FY = 0 (↑+^ ) RAY - RBY - 20 - 112= 0 ∴ RAY + RBY = 132 (II) iii)∑M (^) A = 0 (20x8) + (112x4) – (6xRBX) = 0 RBX = 160 + 448 ∴ RBX=101,33kN 6
RAX = RBX (I) ∴ RAX =101,33kN RAX = RAY (45º) ∴ RAY =101,33kN RBY = 132 - RAY (II) ∴ RBY=30,67kN RA = RAX /cos 45º ∴ RA= (RAX )x 2 = 143,30kN 2
Conferindo ∑M (^) C = 0 (20x2) - (112x2) + (6xRBY) – (6xRAX ) + (6xRAY ) = 0 40 – 224 + (30,67x6) – (101,33x6) + (101,33x6) = 0 -184 + 184 – 608 + 608 = 184 – 184 = 0
a)
4 RA
RA
C
20kN
A
B
112kN (^) RBY
RBX
RAX
RAY
14kN/m
20kN
C B
A
6.00m
2.00m 6.00m
Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
i) ∑FX = 0 (→+^ ) RAX = RBX ii) ∑FY = 0 (↑+^ ) RAY – 12(12) – 30 ∴RAY = 174kN iii) ∑M (^) A = 0 12xRBX – 30x20 – 144x6 = 0 RBX = 600 + 864 ∴RBX = 122kN ∴RAX = 122kN 12 Conferindo ∑M (^) B = 0 12xRAX – 144x6 – 30x20 = 0 1464 – 864 – 600 = 0
∑M (^) C = 0 6xRBX – 144x14 + 6xR (^) AX – 20xRAY = 0 122x6 + 2016 + 122x6 – 174x20 = 0 732 + 2016 + 732 – 3480 = 0
c) Achar as reações de apoio para a viga abaixo :
A B
3.00m 6.00m 3.00m 3.00m
16kN/m
8 k N
45° 45°
10 2kN 10 2kN
b) 12kN/m
A
B
C C B
A
144kN RAX^ 30kN RAY RBX
6.00m 6.00m
12.00m 8.00m
30kN