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Diagramas de esforços em pórticos planos – Professora Elaine Toscano
Capítulo 4 – Diagramas de esforços em pórticos planos
4.1 – Pórticos planos
Este capítulo será dedicado ao estudo dos quadros ou pórticos planos.
Chama-se pórtico plano a estrutura plana que é solicitada exclusivamente por cargas
contidas no próprio plano da estrutura.
Para validade desta definição, uma carga-momento concentrado deve ser interpretada como o efeito duas cargas iguais e contrárias (binário), que podem estar contidas no plano da estrutura.
4.2– Equações de equilíbrio em pórticos planos
As equações de equilíbrio estático disponíveis para determinação de reações de apoio em pórticos planos, considerando-se que não há cargas nem reações na direção transversal ao plano da estrutura (plano xy ), são as três equações a seguir:
∑ Fy =^ ∑ V =^0 Æ^ Somatório^ das forças verticais nulo ∑ Fx =^ ∑ H =^0 Æ^ Somatório^ das forças horizontais nulo ∑ M^ z =^ ∑ MP =^0 Æ^ Somatório^ dos momentos em qualquer ponto nulo
Como já vimos no item 3.6, cada rótula existente no quadro plano, interceptando uma de suas barras ou posicionada em um de seus vértices, representa uma seção onde o momento fletor é conhecido e igual a zero. A cada rótula corresponde, portanto, uma equação adicional ao sistema das três equações de equilíbrio, a qual envolve parte das cargas atuantes e das reações de apoio a determinar.
Assim, a existência de uma rótula acrescenta uma equação ao sistema de equações de
de equilíbrio, permitindo ampliar o número de incógnitas que podem ser determinadas
pelo sistema de equações disponível e mantendo a condição de isostaticidade do quadro.
MRot = 0 Æ momento fletor produzido pelas forças ligadas a rótula por um lado ou pelo
outro é nulo,
Calculadas as reações de apoio em um quadro plano, a determinação dos esforços seccionais nas sucessivas seções transversais, bem como o traçado de seus diagramas, se faz exatamente obedecendo-se aos mesmos princípios apresentados no estudo de vigas isostáticas, sendo também válidos todos os artifícios aplicáveis a cada caso de carregamento que se apresente. As convenções de sinais podem ser observadas no item 2.
Ultima atualização em 29/6/2007 43
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4.3– Pórticos planos simples
Existem quatro tipos fundamentais de pórticos isostáticos planos, os quais chamaremos de quadros simples. Estes quadros são resolvidos sem a necessidade de decomposição em partes menores. As principais diferenças entre os tipos de quadros simples estão relacionadas ao cálculo das reações de apoio. Uma vez determinadas estas reações, o traçado dos diagramas se dá de forma muito semelhante ao que já foi apresentado sobre vigas isostáticas. Os itens abaixo apresentam de forma resumida estas diferenças no cálculo das reações de apoio para cada um dos quatro tipos.
4.3.1 – Quadro biapoiado
Os quadros biapoiados apresentam 3 reações de apoio provenientes de um apoio do primeiro gênero e de um apoio do segundo gênero. Desta forma, as 3 equações de equilíbrio estático são suficientes para sua resolução.
- = 3 incógnitas Æ 3 equações
⎪
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
z P
x
y
M M
F H
F V
Um exemplo de cálculo das reações é apresentado no item 1.5 (exercício resolvido 1.b).
A partir do cálculo das reações apresentadas na figura acima, é possível traçar os diagramas de esforço normal, cortante e momento fletor. A forma de traçar os diagramas em vigas já foi apresentada no quadro Sabendo Mais 8. O quadro Sabendo Mais 11 apresenta algumas considerações adicionais sobre os diagramas de esforços em pórticos.
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4.3.2– Quadro engastado
Os quadros engastados apresentam as 3 reações de apoio proveniente do engaste. Desta forma, as 3 equações de equilíbrio estático são suficientes para sua resolução.
= 3 incógnitas Æ 3 equações ⎪
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
z P
x
y
M M
F H
F V
Um exemplo de cálculo das reações é apresentado no item 1.5 (exercício resolvido 1.c).
A partir destas reações é possível traçar os diagramas apresentados a seguir.
D.N. D.Q. D.M.
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4.3.3– Quadro Triarticulado4.3.3– Quadro Triarticulado
Os quadros triarticulados apresentam 4 reações de apoio provenientes de dois apoios do segundo gênero. Desta forma, as 3 equações de equilíbrio estático não são suficientes para sua resolução. A existência de uma rótula permite a utilização da equação adicional (momento fletor na rótula nulo).
Os quadros triarticulados apresentam 4 reações de apoio provenientes de dois apoios do segundo gênero. Desta forma, as 3 equações de equilíbrio estático não são suficientes para sua resolução. A existência de uma rótula permite a utilização da equação adicional (momento fletor na rótula nulo).
- = 4 incógnitas Æ 3 equações
⎪
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
z P
x
y
M M
F H
F V
Rótula = uma equação adicional Æ MRot = 0
Um exemplo de cálculo das reações em quadros triarticulados é apresentado a seguir:
Há duas reações (vertical e horizontal) em cada apoio do 2º gênero. Deve-se descobrir as quatro incógnitas do problema:
VA Æ Força vertical no primeiro apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) HA Æ Força horizontal no primeiro apoio, adotada inicialmente para esquerda (Å) VB Æ Força vertical no segundo apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) HB Æ Força horizontal no segundo apoio, adotada inicialmente para esquerda (Å)
Utilizando as quatro equações disponíveis:
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Observações:
- Neste exemplo o apoio B não se encontra alinhado com a rótula nem na direção vertical nem na horizontal. Quando algum apoio se encontra alinhado com a rótula , torna-se mais fácil obter imediatamente uma das reações de apoio através da equação da rótla.
- Para o traçado dos diagramas de esforços normal e cortante da barra inclinada, basta considera-la uma vigar inclinada com o total do carregamento ligado pela esquerda aplicado ma extremidade esquerda e o total do carregamento a direita aplicado na extremidade direita.
Faz-se então a decomposição destas forças para auxiliar o traçado direto dos diagramas.
4.3.4– Quadro biapoiado com rótula e tirante (ou escora)
Os quadros biapoiados apresentam 3 reações de apoio provenientes de um apoio do primeiro gênero e de um apoio do segundo gênero. Desta forma, as 3 equações de equilíbrio estático são suficientes para sua resolução.
Quando se inclui em um quadro biapoiado uma rótula e um tirante (ou escora) , o quadro permanesse isóstático. Como isso ocorre?
- = 3 incógnitas Æ 3 equações
⎪
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
z P
x
y
M M
F H
F V
Rótula = uma equação adicional Æ MRot = 0
Tirante = uma incógnita adicional Æ NTir =?
Ultima atualização em 29/6/2007 49
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Considando uma barra descarregada e rotulada em suas extremidades, os esforços
cortante e de momento fletor nesta barra são nulos, havendo apenas esforço normal.
Quando este esforço é de tração chama-se a barra de tirante e quando o esforço é de
compressão a barra é denominada escora.
O valor do esforço normal no tirante (ou escora) torna-se mais uma incógnita do problema. Desta forma, a rótula adicional fornece mais uma equação (momento fletor na rótula nulo).a fim de garantir a isostaticidade da estrutura.
Para o cálculo das três reações nos apoios, procede-se como em um quadro biapoiado padrão (item 4.3.1). A equação da rótula é utilizada para a determinação do esforço normal no tirante. O cálculo deste esforço normal é feito substituindo o tirante por duas forças opostas de mesmo módulo aplicadas onde ficavam as extremidades do tirante.
N N
VA Æ Força vertical no primeiro apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) VB Æ Força vertical no segundo apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) HB Æ Força horizontal no segundo apoio, adotada inicialmente para esquerda (Å) N Æ Esforço normal no tirante, adotado inicialmente saindo do tirante (ÅÆ)
−
=
=
=
∑ ∑
∑
∑
1
1
1
M N
Mz M V V
Y V V kN
X H kN
ROT E
B A A
n
i
i
A B
n
i
i
B
n
i
i
Logo:
V kN
H kN A
B 3
V kN
N kN B^9
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D.M.
Observações:
- Verifica-se o efeito do tirante no traçado do diagrama de esforço normal (barra superior horizontal em compressão), no diagrama de cortante (barras verticais com cortante acima do tirante) e no diagrama de momentos fletores (variação do momento nas barras verticais).
- O momento na rótula é sempre zero. No entanto, verifica-se no diagrama de momentos fletores a existência de momentos de valor 4kNm. A explicação para isso é a descontinuidade provocada pelos momentos aplicados em torno da rótula. O momento atinge um valor de 4kNm ao se aproximar da rótula, a carga-momento provoca uma descontinuidade fazendo o momento descer até zero. Após a rótula, onde o momento é nulo, surge uma nova descontinuidade provocada por outro momento aplicado.
- No cálculo das reações de apoio, o efeito do tirante não é considerado pois as forças se anulam (representam um esforço interno e não uma solicitação externa).
4.4– Pórticos planos compostos
Assim como as vigas podem se associar formando vigas gerber, quadros que possuem estabilidade própria também podem servir como apoios para outros quadros ou vigas, formando um quadro composto. Nesse caso, para sua solução, a estrutura será também desmembrada em quadros que servem como apoio e outros quadros que neles se apoiam (todos isostáticos), recebendo os primeiros, além das cargas que lhes são diretamente aplicadas, as reações de apoio dos segundos, devidamente invertidas. A figura abaixo exemplifica o problema:
Diagramas de esforços em pórticos planos – Professora Elaine Toscano
Para resolver um quadro composto deve-se decompô-lo nos quadros simples que o constituem, resolvendo, inicialmente, aqueles sem estabilidade própria. Transferem-se então as reações de apoio invertidas para os quadros que lhes servem como apoio. Desta forma, os quadros que possuem estabilidade própria são os últimos a serem resolvidos pois seu carregamento depende das forças transmitidas pelas rótulas.
Na decomposição deve-se verificar se cada um dos quadros simples pertence aos 4 tipos apresentados no item 4.3.
4.5– Exercícios resolvidos
Em desenvolvimento.
Exercícios sugeridos do Sussekind.
6.1 até 6. 6.13 até 6.
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d)
- Decompor os quadros compostos a seguir apresentando ordem de solução e transferência de cargas:
a)
- Traçar os diagramas de esforços para os quadros compostos a seguir: a)
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b)
c)
d)
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b)
c)
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d)d)
a)
2 o 1 o
3 o 2 o
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b)
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c)
4
