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Diagramas de esforços em grelhas planas – Professora Elaine Toscano
Capítulo 5 – Diagramas de esforços em grelhas planasCapítulo 5 – Diagramas de esforços em grelhas planas
5.1 – Introdução5.1 – Introdução
Este capítulo será dedicado ao estudo dasEste capítulo será dedicado ao estudo das grelhas planasgrelhas planas
Chama-se grelha plana a estrutura plana que é solicitada exclusivamente por cargas
ortogonais ao plano da estrutura.
Para validade dessa definição, uma carga-momento concentrado deve ser interpretada como o efeito duas cargas iguais e contrárias (binário), que podem estar contidas no plano ortogonal a estrutura.
5.2 - Estaticidade de grelhas planas
Define-se grelha plana como uma estrutura plana submetida a carregamento perpendicular a seu plano. Tendo em vista essa definição, supondo-se que o plano da grelha seja o plano xy , seu equilíbrio será regido pelas três equações da Estática abaixo:
∑ Fz =^ ∑ V =^0 Æ^ Somatório^ das forças perpendiculares ao plano nulo
∑ M^ x =^0 Æ^ Somatório^ dos momentos em torno do eixo^ x^ nulo
∑ M^ y =^0 Æ^ Somatório^ dos momentos em torno do eixo^ y^ nulo
Uma grelha será então isostática quando houver apenas três incógnitas a determinar. Os tipos mais comuns de grelhas isostáticas são os indicados na figura abaixo:
y
P 1
P 2
P 1
Vd
d c
q
c
a b
Ma d
b
a
x
z (^) P q^2
Ta
Va Va Vb
Na grelha engastada, as reações serão o momento torçor, o momento fletor e a reação vertical no engaste.
Na grelha com 3 apoios, as incógnitas serão as reações verticais em cada apoio.
Grelhas com 4 ou mais apoios (sem rótulas) e grelhas engastadas com 1 ou mais
apoios são hiperestáticas.
Grelhas com 2 ou menos apoios e grelhas com 3 apoios colineares são hipostáticas.
Ultima atualização em 29/6/2007 65
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano
d
a
Vb
b
c
Ve
Vc
Olhando a figura acima, verifica-se que não é possível equilibrar a estrutura. Aplicada uma força em d, não há como tornar nulo o momento em torno do eixo b-c.
5.3 - Reações de apoio
A principal diferença no cálculo de reações de apoio de grelhas e de pórticos é com relação ao somatório dos momentos.
Enquanto em pórticos o somatório dos momentos é calculado usando a distância de
cada força ao ponto, em grelhas o somatório dos momentos é função das forças e suas
distâncias em relação ao eixo considerado.
O exercicio 2 dos itens 1.5 e 2.4 apresenta o cálculo das reações de apoio e esforços seccionais de uma grelha engastada.
No caso de uma grelha de 3 apoios como a da figura a seguir onde todas as barras possuem comprimento Lx (na direção x) e Ly (na direção y), pode-se calcular as reações de apoio da seguinte forma:
∑ Fz = Va + Vb + Vd = P 1 + P 2 + q ⋅ Lx =^0
∑ Mb − c = VaLy + P 2 Ly − VdLy − P 1 Ly =^0
∑ a − b = x ⋅ x − a x + ⋅^ x =
L
VL P
L
M qL
x
y
z (^) P 2
d
q
P 1 Vd
Vb
c
b
a
Va
5.4- Diagramas de esforços
Conhecendo as reações de apoio, passemos à determinação dos esforços solicitantes numa seção genérica S de uma grelha e ao traçado de seus respectivos diagramas. Pode-se afirmar que, numa seção genérica de uma grelha, tendo em vista a natureza das cargas atuantes, podem atuar três tipos de esforços seccionais: esforço cortante Q ; momento fletor M e momento torçor T.
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Recordando 4 – Pórticos x Grelhas
Abaixo apresenta-se um resumo comparativo entre pórticos planos e grelhas planas:
Pórticos planos
Equações de equilíbrio
∑ Fx =^0
∑ Fy =^0
∑ Mz =^0
Esforços atuantes Normal Cortante Momento Fletor Momento Torçor
Cálculo das reações o somatório dos momentos é calculado usando a distância de cada força ao ponto considerado.
Grelhas planas
Equações de equilíbrio
∑ Fz =^0
∑ Mx =^0
∑ My =^0
Esforços atuantes Normal Cortante Momento Fletor Momento Torçor
Cálculo das reações o somatório dos momentos é função das forças e suas distâncias em relação ao eixo considerado.
5.5- Exercícios resolvidos
- Traçar os diagramas de esforços para a grelha engastada abaixo:
VA = 10kN
Esforço cortante: Barra a-b: 4kNL à direita: +4kN Barra d-e: 6kNL à esquerda: -6kN Barra e-f: 10kNL à esquerda: -10kN Barra g-h: 2kNL à direita: +2kN Barra g-d: 2kNL à frente: -2kN Barra d-a: 4kNL atrás : +4kN
MAy=6kN
MAx=52kN
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Barra i-e:Barra i-e: 2kN2kNLL à frente:à frente: -2kN-2kN Barra e-c:Barra e-c: 2kN2kNLL atrás :atrás : +2kN+2kN
Momento fletor:Momento fletor: Barra a-b:Barra a-b: Em a:Em a: 4 x 2 kNm4 x 2 kNm -8kNm (tração superior)-8kNm (tração superior) Em b:Em b: 4 x 0 kNm4 x 0 kNm 00 Barra g-h:Barra g-h: Em g:Em g: 2 x 2 kNm2 x 2 kNm -4kNm (tração superior)-4kNm (tração superior) Em h:Em h: 2 x 0 kNm2 x 0 kNm 00 Barra c-e:Barra c-e: Em e:Em e: 2 x 3 kNm2 x 3 kNm -6kNm (tração superior)-6kNm (tração superior) Em c:Em c: 2 x 0 kNm2 x 0 kNm 00 Barra e-i:Barra e-i: Em e:Em e: 2 x 3 kNm2 x 3 kNm -6kNm (tração superior)-6kNm (tração superior) Em i:Em i: 2 x 0 kNm2 x 0 kNm 00 Barra a-d:Barra a-d: Em d:Em d: 4 x 3 kNm4 x 3 kNm -12kNm (tração superior)-12kNm (tração superior) Em a:Em a: 4 x 0 kNm4 x 0 kNm 00 Barra d-g:Barra d-g: Em d:Em d: 2 x 3 kNm2 x 3 kNm -6kNm (tração superior)-6kNm (tração superior) Em g:Em g: 2 x 0 kNm2 x 0 kNm 00 Barra d-e:Barra d-e: Em d:Em d: (4 + 2) x 2 kNm(4 + 2) x 2 kNm +12kNm (tração inferior)+12kNm (tração inferior) Em e:Em e: (4 + 2) x 2 kNm(4 + 2) x 2 kNm -12kNm (tração superior)-12kNm (tração superior) Barra e-f:Barra e-f: Em e:Em e: (4 + 2) x 2 kNm(4 + 2) x 2 kNm -12kNm (tração superior)-12kNm (tração superior) Em f:Em f: (4 + 2)x6 + (2 + 2)x4 =-52kNm (tração superior)(4 + 2)x6 + (2 + 2)x4 =-52kNm (tração superior)
52 4 8 12 + 4 2 12 (^6) +6 + 6 6 6 10 12 2 - 2 2 4
Momento torçor: Barra a-b: 0 Barra c-e: 0 Barra e-i: 0 Barra g-h: 0 Barra a-d: 4 x 2 kNm +8kNm Barra d-g: 2 x 2 kNm -4kNm Barra d-e: 4 x 3 – 2 x 3 +6kNm Barra e-f: 4 x 3 – 2 x 3 +6kNm
Ultima atualização em 29/6/2007 69
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n)n) o)o)
5.7- Respostas dos exercícios propostos
a) isostática Q M T 2 (^2) 0,5 0,
2
6 2 2
-
6
b) hiperestática c) hipostática d) hiperestática
e) isostática Q M T 6
0,5 2 12
2
4
(^6 6) -
3,75^ + 2, (^2 2 )
15
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f) hipostática g) hipostática h) hiperestática
i) isostática Q M T
2
12
12
12
(^1 2 21 6 )
4 4
2
3 +
1 - 5 8
j) hiperestática
l) isostática
Q M T 26 6 2 2 0,
8 - 2 6 6 (^6 ) 2 +6 +
2 2
m) hipostática n) hipostática o) hiperestática
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6.3- Estaticidade de treliças planas
Conhecendo-se os esforços externos ativos, através das equações de equilíbrio da estática, pode-se determinar tanto as reações nos apoios quanto as forças normais nas barras.
A condição necessária, mas não suficiente, para que uma treliça plana seja isostática é:
2n = b + v
Onde: n = número de nós na treliça, incluindo os vínculos externos; b = número de barras da treliça; v = número total de reações dos vínculos externos;
b + v indica o número de incógnitas do problema. 2n indica o número de equações do problema. O somatório de forças verticais e horizontais em cada nó deve ser nulo, gerando com isso 2 equações por nó.
No caso de treliças espaciais utiliza-se 3n , pois o número de equações por nó passa a
ser 3 para considerar o equilíbrio das forças em 3 direções.
Logo, a condição necessária é de que o número de equações seja igual ao número de incógnitas. Exemplo:
Enquanto a treliça da esquerda é isostática, a da direita não o é, pois a malha BCFE é deformável (hipostática), não tendo condições de permanecer em equilíbrio (a não ser sob carregamentos particulares). O trecho ABED é hiperestático.
Assim, a condição “2n = b + v” é necessária, mas não suficiente.
6.4- Método dos nós
O método mais prático e usual para a solução de treliças isostáticas é o método dos nós. Consiste em determinar os esforços normais em cada barra da treliça através do somatório das forças transmitidas por cada barra a um nó específico. Desta forma, em cada nó teremos as equações:
Treliças isostáticas planas – Professora Elaine Toscano
∑ Fz^ =^0 e^ ∑ Fy =^0
Os passos a serem seguidos no método dos nós são resumidos abaixo:
1º - Começar por nós com apenas 2 incógnitas (duas barras de esforço normal desconhecido
ou 2 reações de apoio);
2º - verificar a inclinação das barras (e vetores de forças correspondentes) que chegam
ao nó analisado;
3º - resolver as duas equações de equilíbrio do nó analisado para definir os esforços
normais (incógnitas) em cada uma das duas barras;
4º - transmitir os vetores invertidos para as outras extremidades das duas barras.
5º - voltar ao 1º passo até que todas os esforços estejam definidos.
6.5- Simplificação de treliças isostáticas
Observe o nó abaixo:
Verifica-se que em um nó sem forças externas aplicadas, sem vínculos externos e com três barras sendo duas delas paralelas entre si (2 e 3), a barra não paralela (1) terá esforço nulo. Isso ocorre porque o somatório das forças na direção perpendicular as barras 2 e 3 deve ser nulo e a única força existente nesta direção se encontra na barra 1.
As barras que atendem as condições abaixo podem ser eliminadas antes do início da resolução da treliça.
a) pertencer a um nó sem forças externas aplicadas, sem vínculos externos e com três barras sendo duas delas paralelas entre si (2 e 3),
b) ser a única barra não paralela as outras 2.
Após a eliminação de cada barra é possível reavaliar a treliça para verificar se outras barras passaram a atender estas condições.
Ultima atualização em
Treliças isostáticas planas – Professora Elaine Toscano
Nó A: Barra 1: compressão Barra 4: compressão
Nó B: Barra 9: compressão Barra 8: nula
Nó C: Barra 3: tração Barra 2: compressão
Nó F: Barra 7: tração Barra 6: compressão
Nó E: Barra 5: Compressão
Ultima atualização em 29/6/2007 77
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6.8- Exercícios propostos
- Calcular os esforços e reações de apoio para as treliças isostáticas abaixo usando qualquer método de resolução: a)
b)
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f)
g)
h)
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i)
j)
l)
Ultima atualização em 29/6/2007 81
Treliças isostáticas planas – Professora Elaine Toscano
d)
e)
f)
Ultima atualização em 29/6/2007 83
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g)
h)
i)
