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Exercícios de eletromagnetismo da Universidade Federal de Uberlândia
Tipologia: Exercícios
1 / 137
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A Anneexxoo 0011 – – CCUURRVVAASS BB--HH
Curvas B – H para H < 400 A/m (para exercícios do Capítulo 08) (Cada pequena divisão significa 0,02 T para B e 5 A/m para H)
Curvas B – H para H > 400 A/m (para exercícios do Capítulo 08) (Cada pequena divisão significa 0,02 T para B e 50 A/m para H)
1.1) Um vetor B
é dado por: B a x 2 a y 3 a z
= + +. Determine um vetor A
de módulo igual
a 3 e componente x unitária de modo que A
e B
sejam perpendiculares entre si.
Resolução:
Dados:
3 x 1
x y z
x y z
x y z
A a a a
B a a a
2
2
2 = 3 (02)
⇒ 1 + 2y + 3z = 0 (03)
De (03) : 2
3 z 1 y
Substituindo (04) em (02), temos:
z 3 13 z 6 z 7 0 4
9 z 6 z 1 z 3 1 2
3 z 1 1
2 2
2 2
2
a raiz 13
z 1 = (05)
a raiz: z 2 = − 1 (06)
Substituindo (05) em (04) , temos:
y 2
y 1 =− − ⇒ 1 =−
Substituindo (06) em (04) , temos:
y 1 2
y 2 ⇒ 2 =
Substituindo (05) e (07) em (01) , temos:
1 x y z 13
A a a a
Substituindo (06) e (08) em (01) , temos:
A (^) 2 a x a y a z
Cz ( ) C z
C ( ) sen cos C ,
C ( ) cos sen C ,
z x y z z
x y z
x y z
C a a a a a
C a a a a a
C a a a a a
φ φ φ φ
ρ ρ ρ ρ
C a a a z
∴ = 0 , (^555) ρ − 4 , (^438) φ − 4
1.3) Um campo vetorial é definido no ponto P (ρ = 20, φ = 120
o , z = 10) como
sendo: V 4 a 3 a 5 a z
= ρ + φ +. Determinar:
a) a componente vetorial de V
normal à superfície ρ = 20 ;
b) a componente vetorial de V
tangente à superfície φ = 120
o ;
c) a componente vetorial de V
na direção do vetor
R = 6 a (^) ρ + 8 aφ ;
d) um vetor unitário perpendicular a V
e tangente ao plano φ = 120
o ;
e) o vetor V
no sistema de coordenadas cartesianas;
Resolução:
a)
Dados:
V 4 a 3 a 5 a z
= ρ + φ + em P (ρ = 20, φ = 120
o , z = 10).
Sabe-se que V VN VT
= + e que VN V a ρ a ρ
Portanto: VN a ρ a φ a a ρ a ρ VN a ρ
= [( 4 + 3 + (^5) z )• ] ⇒ = 4
b)
Dados:
V 4 a 3 a 5 a z
= ρ + φ + em P (ρ = 20, φ = 120
o , z = 10).
Sabe-se que V VN VT
= + e que VN V a φ a φ
Cálculo de VN
:
ρ φ φ φ φ
φ φ
V a a a a a V a
V V a a
N N
N
= 4 + 3 + (^5) z • ⇒ = 3
Cálculo de VT
:
V (^) T V VN 4 a 3 a 5 a z 3 a VT 4 a 5 a z
= − =( ρ + φ + )− φ ⇒ = ρ +
c) Dados: R a ρ a φ
VR V a R a R
= ( • ) , onde ρ φ
ρ φ a a a
a a
a
V (^) R a ρ a φ a a ρ a φ a ρ a φ VR a ρ a φ
∴ =[( 4 + 3 + (^5) z )•( 0 , 6 + 0 , 8 )]( 0 , 6 + 0 , 8 )⇒ = 2 , 88 + 3 , 84
d) Seja A a a z a z
=A (^) ρ ρ +Aφ φ +A o vetor procurado.
Pelas condições apresentadas, temos:
1 ,pois éum versor
0 ,pois
0 ,pois étangenteaoplano 120
De (01) , conclui-se que A a z a z
=A (^) ρ ρ +A (04)
De (02) , conclui-se que:
A • V =(Aρ a ρ +Az a z)•( 4 a ρ + 3 a φ + 5 a z)⇒ 4 A ρ+ 5 Az = 0
De (03) , conclui-se que 1
2 z
2 A ρ + A = (06)
De (05) : 4
A (^) ρ =− Az (07)
Substituindo (07) em (06), temos:
z
2 z
2 A (^) z + A = ⇒A =± =±, (08)
Substituindo (08) em (07) , temos:
A (^) ρ =∓ 0 , 781 (09)
Substituindo (08) e (09) em (01) , temos:
A ( 0 781 a 0625 a z)
=±− , (^) ρ + ,
e) Cálculo das componentes, em coordenadas cartesianas, do vetor V
z z z
y y z y y
x x z x x
ρ φ
ρ φ
ρ φ
φ φ
φ φ
V 4 598 a x 1964 a y 5 a z
Substituindo (08) em (07) , temos:
(^2) y a =∓ (09)
Substituindo (08) e (09) em (04) , temos:
2 (^2 y z) 5
a a a
b) Seja (^) z z
y 3 y
a (^) (^3 3) x a x 3 a a
= a +a +a o vetor procurado.
Pelas condições apresentadas, temos:
1 ,pois éum versor
,pois aoplanoformadopor e
3 3
3 1 2 3 1 2
a a
a a a a a a
De (01) , conclui-se que
3 x y z
x y z
3 15
(^2) a a a a
a a a
a
Logo: 3 ( (^5) x (^2) y (^4) z) 15
a a a a
1.5) Determinar:
a) qual é a componente escalar do vetor E y a x x a y
= − − no ponto P (3, -2, 6 ) que está
apontada para o ponto Q (4, 0, 1 ) ;
b) qual é a equação (escalar) da linha no plano z = 0 que é perpendicular ao vetor
A 3 a x 4 a y
= − e passa através do ponto P (1, 5, 0 )?
Resolução:
a)
Definições:
é o vetor dado E
no ponto P E (^) P y a x x a y E P 2 a x 3 a y
PQ é um vetor dirigido do ponto P para o ponto Q.
Q
E (^) P é a componente escalar de E P
na direção de E PQ
a PQ.
é o vetor unitário de PQ
Cálculo de a PQ
(^2 5) x y z
PQ
x y z PQ
a a a a
a a a
a
Cálculo de
Q
P
Q
P
x y z x y Q
P PQ P Q
a a a E a a a
b)
Seja v x 1 a x y 5 a y
= ( − ) +( − ) o vetor dirigido de P para Q (vetor na direção da linha).
Mas v A
⊥ ⇒ A • v = 0
∴ ( 3 a (^) x (^) − 4 a y)•[(x− 1 ) a x+(y− 5 ) a y]= 0 ⇒ 3 (x− 1 )− 4 (y− 5 )= 0 ⇒ 3x-4y+ 17 = 0
Assim, 3x-4y+17=0 é a equação da linha no plano z = 0 que é perpendicular ao vetor A
e
passa pelo ponto P
1.6) Encontrar o vetor em coordenadas:
a) cartesianas que se estende de P (ρ = 4, φ = 10
o , z = 1) a Q (ρ = 7, φ = 75
o , z = 4).
b) cilíndricas no ponto M ( x = 5, y = 1, z = 2) que se estende até N ( x = 2, y = 4, z = 6).
Resolução:
a) Dados:
( )
( )
Q 7 75 z 4
P 4 10 z 1
Definindo PQ como o vetor, em coordenadas cartesianas , que
estende-se do ponto P ao ponto Q, temos:
PQ OQ OP x a x y a y z a z
= − =PQ +PQ +PQ , onde OQ é
o vetor dirigido da origem ao ponto Q e OP é o vetor dirigido
da origem ao ponto P.
Cálculo do vetor OP :
OP ax ay a z
= OPx +OPy +OPz , onde:
z 1
z z
y y
x x
OP sen sen OP
OP cos cos OP
OP ax ay a z
1.7) Sejam os pontos P ( 3, -4, 5 ) e Q ( 1, 2, 3 ) e W
um vetor localizado no ponto P cuja
magnitude seja igual à distância entre P e Q. Determine o vetor W
apontado para Q :
a) no sistema de coordenadas cartesianas;
b) no sistema de coordenadas cilíndricas;
c) no sistema de coordenadas esféricas.
Resolução:
No ponto P, temos:
x y z
z 07071 ;
x y z
x y 135 ; z
arctg
x 08 ;
y 5313 ; x
y arctg
x y 5
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
sen , cos ,
, sen , cos ,
a) W (^) x a x y a y z a z
W 1 3 a x 2 4 a y 3 5 a z W 2 a x 6 a y 8 a z
b) W a a z a z
=Wρ (^) ρ +Wφ φ +W
Cálculo das componentes, em coordenadas cilíndricas, do vetor W
z z x y z z z
x y z
x y z
φ φ φ φ
ρ ρ ρ ρ
W 6 a 2 a 8 a z
∴ =− ρ + φ +
c) W a θ a θ φ a φ
= Wr (^) r+W +W (01)
Cálculo das componentes, em coordenadas esféricas, do vetor W
φ φ φ φ
θ θ θ θ
x y z
x y z
r r x y z r r
Substituindo (01) em (02) , temos:
Wr = − 2 ( 0 , 7071 )( 0 , 6 )+ 6 ( 0 , 7071 )(− 0 , 8 )+ 8 (− 0 , 7071 )⇒Wr =− 9 , 90 (05)
Substituindo (01) em (03) , temos:
Wθ =− 2 ( − 0 , 7071 )( 0 , 6 )+ 6 (− 0 , 7071 )(− 0 , 8 )− 8 ( 0 , 7071 )⇒W θ =− 1 , 41 (06)
Substituindo (01) em (04) , temos:
Wφ = 2 ( 0 , 8 )+ 6 ( 0 , 6 )⇒W φ =− 2 (07)
Substituindo (05) , (06) e (07) em (01) , temos:
W a a θ a φ
= − 9 , (^90) r − 1 , 41 + 2
1.8) Um campo vetorial é definido no ponto P ( r = 10, θ = 150
o , φ = 60
o ) como sendo:
G a a θ a φ
= (^3) r + 4 + 5. Determinar:
a) a componente vetorial de G
normal a superfície r = 10 ;
b) a componente vetorial de G
tangente ao cone θ = 150
o ;
c) a componente vetorial de G
na direção do vetorR a a φ
= (^6) r + 8 ;
d) um vetor unitário perpendicular a G
e tangente ao plano φ = 60
o ;
Resolução:
a) Dados:
G a a θ a φ
= (^3) r + 4 + 5 em P ( r = 10, θ = 150
o , φ = 60
o ).
Sabe-se que G GN GT
= + e que G (^) N G a r a r
Portanto:
G (^) N 3 a r 4 a 5 a a r a r GN 3 a r
= [( + θ + φ)• ] ⇒ =
b)
Dados:
G a a θ a φ
= (^3) r + 4 + 5 em P ( r = 10, θ = 150
o , φ = 60
o ).
Sabe-se que G GN GT
= + e que G (^) N G a θ a θ
Cálculo de GN
:
G (^) N G a θ a θ a a θ a φ a θ a θ GN a θ
= ( • ) =[( (^3) r + 4 + 5 )• ] ⇒ = 4
2.1) Um fio de 2 m está carregado uniformemente com 2 μC. A uma distância de 2 m de sua
extremidade, no seu prolongamento, está uma carga pontual de 2 μC. Obter o ponto no
espaço onde o campo elétrico seja nulo.
Resolução:
Definições:
P (2+d; 0; 0) é o ponto onde o campo elétrico resultante é nulo.
é o campo elétrico gerado em P pela carga Q.
é o campo elétrico gerado em P pelo fio.
Cálculo do campo elétrico gerado em P pela carga Q:
2 x o
1 4 2 d
E a
, onde Q = 2μC. (01)
Cálculo do campo elétrico gerado em P pelo fio:
= (^) x 2 o
L 2 4 2 x d
dL E a
,onde:
dL dx
m
2 m
De (01) , conclui-se que
=
2
x 0
2 x o
L 2 4 2 x d
dx E a
Substituição de variáveis na integral:
du dx
u 2 x d (04)
Substituindo (04) em (03) , temos:
−
2 d
d
2 x d
u
u^4
du
o
L 2
x
2
o x^0
L x 2
2
x 0
1
o
L 2 x^2 o
L 2
E a E a E a
Para o campo elétrico ser nulo em P, é necessário que E 1 (^) + E 2 = 0
Substituindo (01) e (05) em (06) , temos:
m 3
4 d 2 d 8 8 d 2 d 4 d 4 d d 4 d 4 d d 0 d
2 d 2 d 2 d 2 d d 2 d 0
2 d
d
2 d
2 d
d
4 2 d
2 2 2 3 2 3
2 2
2 o
6
2 o
6
− −
Logo, as coordenadas do ponto P são: ( 2,67; 0; 0 ) [m]
2.2) Uma linha de carga com ρL = 50 ηC/m está localizada ao longo da reta x = 2 , y = 5 , no
vácuo.
a) Determinar E
em P (1, 3, -4 ) ;
b) Se a superfície x = 4 contém uma distribuição superficial de carga uniforme com
ρS = 18 ηC/m
2 , determinar em que ponto do plano z = 0 o campo elétrico é nulo.
Resolução:
a)
Campo elétrico para uma linha de cargas:
ρ
E a
o
L L 2
= , onde:
ρ
éounitário de
éovetordirigidodalinhaparaopontoP
a
e de ρ:
1 2 a (^) x 3 5 a y 0 a z a x 2 a y
2 2
Cálculo de a ρ
a x 2 a (^) y a
ρ
ρ ρ (03)
Substituindo (03) em (01) , temos:
2 2
x y
2 2 o
L L o
L L x 2 y 5
x 2 y 5
2 x 2 y 5
a a E a E
ρ
x y 2 2 o
L L x^2 y^5 2 x 2 y 5
E a a
πε
ρ (04)
Cálculo do campo elétrico no ponto Q devido à superfície:
a (^) N a x
Substituindo (05) em (02) , temos:
x o
S P 2
E a
Mas E (^) T = E L+ E P= 0
Substituindo (04) e (06) em (07) :
−
−
−
−
324 x 2 , 88 x 2
x 2 y 5
900 x 2
0 y 5 x 2 y 5
900 y 5
x 2 y 5
900 y 5 324
x 2 y 5
900 x 2
x 2 y 5
x 2 y 5
x 2 y 5 36
x 2 y 5
x 2 y 5
2 x 2 y 5
2 2
2 2
y 2 2 x 2 2
x 9
9
2 2
x y
2 2
9
9
x o
S
2 2
x y
2 2 o
L T
a a
a
a a
a
a a E
Logo, as coordenadas do ponto Q são: (x = 2,88; y = 50;z = 0).
2.3) Oito cargas pontuais de 1 μC cada uma estão localizadas nos vértices de um cubo de 1 m
de lado, no espaço livre. Encontrar E
no centro:
a) do cubo;
b) de uma face do cubo;
c) de uma aresta do cubo;
Resolução:
P ( 0,5; 0,5; 0,5 )é o centro do cubo;
K ( 0,5; 1; 0,5 )é o centro de uma face;
M ( 1; 0,5; 0 )é o centro de uma aresta.
a) Como as cargas são todas iguais e simétricas, elas produzem campos iguais e em oposição.
Logo, o campo elétrico em P é nulo.
b) E (^) K E G K E C K E B K E F K E A K E E K E H K E D K
= + + + + + + + , onde:
éocampogeradoem pelacargaemD;
éocampogeradoem pelacargaemH;
éocampogeradoem pelacargaemE;
éocampogeradoem pelacargaemA;
éocampogeradoem pelacargaemF;
éocampogeradoem pelacargaemB;
éocampogeradoem pelacargaemC;
éocampogeradoem pelacargaemG;
éocampogeradoem pelascargaemG,C,B,F,A,E,HeD;
D
H
E
A
F
B
C
G
K
K
K
K
K
K
K
K
K
Por simetria:
, o que torna E (^) K E A K E E K E H K E D K
Cálculo de E A K
K K
E (^) k a A 2 R o A
A 4 R
πε
= , onde:
K K
K K
K
a R
A A
R
A A
A
éumversor de
éovetordirigidodacargaem aoponto
Substituindo (02), (03), (04) e (05) em (01) :
K
E (^) k (^) 32 R A R E R H R D
o (^) A
Mas:
A E H D y
A E H D x y z x y z x y z x y z
4
05 05 05 05 05 05 05 05
R R R R a
R R R R a a a a a a a a a a a a
K K K K
K K K K
∴ + + + =
Substituindo (07) em (06) ,temos:
m
y
y 32 o
9
y 32 o A
−
k k
k
K
k
E a E
E a E a
c) E (^) M E E M E F M E A M E B M E H M E G M E C M E D M
= + + + + + + + , onde:
éocampogeradoem pelacargaemD;
éocampogeradoem pelacargaemC;
éocampogeradoem pelacargaemG;
éocampogeradoem pelacargaemH;
éocampogeradoem pelacargaemB;
éocampogeradoem pelacargaemA;
éocampogeradoem pelacargaemF;
éocampogeradoem pelacargaemE;
éocampogeradoem pelascargasemE,F,A,B,H,G,CeD;
D
C
G
H
B
A
F
E
M
M
M
M
M
M
M
M
M
Por simetria:
Portanto: EM E A M E B M E H M E G M E C M E D M
Cálculo de E A M
M M
E (^) M a A
R 2 o A
A 4 R
πε
= , onde:
M M
M M
M
a R
A A
R
A A
A
éumversor de
éovetordirigidodacargaem aoponto
M
M
M
M M
R a a a a
A
A
A
A x y z A R R
M
M
32 o A
A 4 R
Cálculo de E B M
M M
E (^) M a B 2 R o B
B 4 R
πε
= , onde:
M M
M M M M
M
a R
B B
R
B A B A
B
éumversor de
éovetordirigidodacargaem aoponto
M
M
M
M M M
R a a a a
A
B
B
B x y z B A R R
M
M
32 o A
B 4 R
Cálculo de E H M
M M
E (^) M a H
R 2 o H
H 4 R
πε
= , onde:
M M
M M M M
M
a R
H H
R
H A H A
H
éumversor de
éovetordirigidodacargaem aoponto
M
M
M
M M M
R a a a a A
H
H
H x y z H A R R
M
M
o A
H 4 R
Cálculo de E G M
M M
E (^) M a G 2 R o G
G 4 R
πε
= , onde:
M M
M M M M
M
a R
G G
R
G A G A
G
éumversor de
éovetordirigidodacargaem aoponto
M
M
M
M M M
R a a a a A
G
G
G x y z G A R R
M
M
o A
G 4 R
