Apostila Funções de Uma Variável Complexa, Notas de estudo de Física

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Fun¸c˜oes de Uma Vari´avel Complexa

S´ergio L. Zani

• 1 Introdu¸c˜ao
• 2 Os n´umeros complexos
• 3 Representa¸c˜ao vetorial de um n´umero complexo
• 4 Forma polar de um n´umero complexo
• 5 Ra´ızes de n´umeros complexos
• 6 Alguns subconjuntos do plano complexo
• 7 Algumas fun¸c˜oes elementares
• 8 Limite e continuidade
• 9 Deriva¸c˜ao e as equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann
• 10 Fun¸c˜oes anal´ıticas
• 11 Fun¸c˜oes multivalentes
  • 11.1 Raiz n−´esima
  • 11.2 Logaritmo
  • 11.3 Potˆencia
• 12 Curvas no plano complexo
• 13 Integra¸c˜ao
• 14 O Teorema de Cauchy-Goursat
  • 14.1 Independˆencia do Caminho
• 15 Primitiva
• 16 A f´ormula de Cauchy
• 17 Fun¸c˜oes Harmˆonicas
• 18 Seq¨uˆencias e S´eries
• 19 S´eries de Potˆencias
  • 19.1 S´erie de Taylor
  • 19.2 Zeros de fun¸c˜ao anal´ıtica
• 20 S´eries de Laurent
• 21 Singularidades
  • 21.1 Singularidades e S´erie de Laurent
• 22 O Teorema do Res´ıduo e Aplica¸c˜oes
  • 22.1 Integrais Impr´oprias Reais
  • 22.2 Outros Tipos de Integrais

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜ao

Por que precisamos dos n´umeros complexos?

Antes de responder a esta quest˜ao vamos dar uma olhada porque j´a precisamos estender o

conceito de n´umeros para podermos resolver algumas equa¸c˜oes alg´ebricas simples. Primeira-

mente, assumiremos os naturais, N = { 1 , 2 ,... }, como o conceito primordial de n´umero. Nos

n´umeros naturais est˜ao definidas duas opera¸c˜oes: a adi¸c˜ao (+) e a multiplica¸c˜ao (· ou ×).

Tamb´em existe uma ordem natural nestes n´umeros (<). Considere o seguinte

Problema 1 Encontre um n´umero natural que somado a 2 resulta em 1.

Se n for este tal n´umero natural, dever´a satisfazer

n + 2 = 1. (1.1)

Como o lado esquerdo da equa¸c˜ao 1.1 ´e sempre maior do que 2 1 < 2 vemos que n˜ao existe

solu¸c˜ao para este problema dentro dos n´umeros naturais. Assim, primeira extens˜ao do conceito

de n´umero se faz necess´aria. Da´ı surgem os n´umeros inteiros

Z = {... , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 ,... }

que ampliam o conceito dos n´umeros naturais e preservam as opera¸c˜oes e a ordem que j´a

existiam anteriormente. O elemento 0 ´e tal que 0 + m = m para todo M ∈ N e, dado n ∈ N,

−n denota o inteiro que satisfaz (−n) + n = 0. Note que problema 1 tem solu¸c˜ao em Z.

Vejamos o seguinte

Problema 2 Encontre um n´umero inteiro cujo dobro seja a unidade.

Se n fosse um inteiro que solucionasse este problema dever´ıamos ter

2 n = 1. (1.2)

Por´em, o lado esquerdo de 1.2 ´e par, enquanto que o n´umero um ´e ´ımpar. Ou seja, n˜ao existe

solu¸c˜ao para o problema 2 dentro dos n´umeros inteiros. A solu¸c˜ao ´e ampliar mais uma vez

o conceito de n´umeros estendendo-o para o conjunto dos n´umeros racionais. Aqui a extens˜ao

possui supremo, isto ´e, existe um n´umero real c tal que x ≤ c para todo x ∈ X e se d ∈ R

satisfizer esta mesma propriedade ent˜ao c ≤ d. Note que o conjunto X = {x ∈ R; x > 0 , x

2

´e n˜ao vazio, pois 1 ∈ X, e ´e limitado superiormente por 2, por exemplo. Desta maneira, X possui

supremo em R. Pode-se provar que o supremo de X, digamos c, satisfaz c

2

= 2, resolvendo-se,

assim, o problema 3 em R.

Considere o

Problema 4 Encontre um n´umero cujo quadrado seja igual a − 1.

Se x ∈ R ´e solu¸c˜ao deste problema ent˜ao ter´ıamos x

2

= − 1. Isto ´e imposs´ıvel, visto que como

x 6 = 0 ent˜ao ter´ıamos x > 0 ou −x > 0 e assim,

x

2

= x · x = (−x) · (−x) > 0 ,

uma contradi¸c˜ao.

Antes de continuarmos, talvez seja natural tentar explicar porque se deveria resolver um

problema como 4. Uma motiva¸c˜ao para isto pode ser dada pela equa¸c˜ao diferencial que descreve

o movimento do pˆendulo:

y

′′

• y = 0. (1.5)

Note que as fun¸c˜oes e

x

e e

−x

, x ∈ R satisfazem y

′′

− y = 0 e, portanto, ´e natural procuramos

solu¸c˜ao de 1.5 da forma y(x) = e

λx

. Somos levados a

(λ

2

• 1)e

λx

= 0, x ∈ R,

ou seja, o quadrado de λ deve ser igual a − 1.

2. Associatividade: Por um lado, temos

(x 1

, y 1

) · (x 2

, y 2

) = (x 1

x 2

− y 1

y 2

, x 1

y 2

• x 2

y 1

Por outro lado,

(x

2

, y

2

) · (x

1

, y

1

) = (x

2

x

1

− y

2

y

1

, x

2

y

1

• x

1

y

2

Comparando as express˜oes acima obtemos o que quer´ıamos mostrar.

3. Elemento Neutro: Temos

(1, 0) · (x, y) = (1x − 0 y, 1 y + 0x) = (x, y).

4. Inverso Multiplicativo: Se (x, y) 6 = (0, 0) ent˜ao podemos definir

(u, v) =

x

x

2

• y

2

y

x

2

• y

2

e obtemos

(x, y) · (u, v) = (x, y) ·

x

x

2

• y

2

y

x

2

• y

2

x

2

x

2

• y

2

−y

2

x

2

• y

2

−xy

x

2

• y

2

xy

x

2

• y

2

Exerc´ıcio 1 Mostre que se (x, y) 6 = (0, 0) ent˜ao o inverso multiplicativo de (x, y) ´e ´unico.

Se n ∈ N e z ∈ C definimos z

n

= z

n− 1

· z, n ≥ 2 , z

1

= z. O inverso multiplicativo de um

n´umero complexo z n˜ao nulo ser´a denotado por z

− 1

e se m ´e um inteiro negativo, definimos

z

m

= (z

− 1

−m

. Se z

1

, z

2

∈ C, e z

2

= 0, definimos

z

1

z

2

= z

1

z

− 1

2

As opera¸c˜oes de multiplica¸c˜ao e adi¸c˜ao se relacionam atrav´es da distributividade como pode

ser visto na seguinte

Proposi¸c˜ao 2 Para quaisquer pares (x 1

, y

1

), (x

2

, y

2

), (x

3

, y

3

) ∈ C tem-se

((x

1

, y

1

) + (x

2

, y

2

)) · (x

3

, y

3

) = (x

1

, y

1

) · (x

3

, y

3

) + (x

2

, y

2

) · (x

3

, y

3

Prova: Por um lado, temos

((x

1

, y

1

) + (x

2

, y

2

)) · (x

3

, y

3

) = (x

1

• x

2

, y

1

• y

2

) · (x

3

, y

3

= (x

1

x

3

• x

2

x

3

− y

1

y

3

− y

2

y

3

, x

1

y

3

• x

2

y

3

• x

3

y

1

• x

3

y

2

Por outro,

(x

1

, y

1

) · (x

3

, y

3

) + (x

2

, y

2

) · (x

3

, y

3

= (x

1

x

3

− y

1

y

3

, x

1

y

3

• x

3

y

1

) + (x

2

x

3

− y

2

y

3

, x

2

y

3

• x

3

y

2

= (x

1

x

3

• x

2

x

3

− y

1

y

3

− y

2

y

3

, x

1

y

3

• x

2

y

3

• x

3

y

1

• x

3

y

2

Comparando as express˜oes acima obtemos o que quer´ıamos mostrar.

Defini¸c˜ao 1 O conjunto C munido das opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao definidas acima ´e

chamado de corpo dos n´umeros complexos.

Vale a pena observar que as seguintes propriedades

1. (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0), ∀ x, y ∈ R
2. (x, 0) · (y, 0) = (xy, 0), ∀ x, y ∈ R

dizem que o subconjunto dos n´umeros complexos dado por R = {(x, 0); x ∈ R} ´e preservado

pela adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao. Desta forma, ´e natural identificarmos R com o conjunto dos

n´umeros reais. Em outras palavras: podemos assumir que o conjunto dos n´umeros reais ´e um

subconjunto dos n´umeros complexos.

Como j´a observamos, C ´e um espa¸co vetorial sobre R com respeito `a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao

por escalares reais. Al´em do mais, por seus elementos serem pares ordenados, C ´e um espa¸co

vetorial bidimensional sobre R. Desta forma, como (1, 0) e (0, 1) formam uma base, todo par

z = (x, y) ∈ C se escreve de maneira ´unica como

z = x(1, 0) + y(0, 1).

J´a vimos que (1, 0) ´e o elemento neutro da multiplica¸c˜ao e como (1, 0) ∈ R, vamos denot´a-lo

tamb´em por 1.

Vejamos o comportamento de (0, 1). Temos

ou seja,

2

Assim, o n´umero complexo (0, 1) possui quadrado rec´ıproco aditivo do elemento neutro da

adi¸c˜ao. Usaremos a nota¸c˜ao i = (0, 1), obtendo

i

2

Com isto, todo elemento z = (x, y) ∈ C pode ser escrito de modo ´unico como z = x1 + yi, ou

ainda z = x + yi. Tamb´em escreveremos z = x + iy.

Dado z = x + iy, x, y ∈ R, o n´umero x ´e chamado de parte real do n´umero complexo z

e ´e denotado por <z. O n´umero y ´e chamado de parte imagin´aria do n´umero complexo z e ´e

denotado por =z. Temos z = 0 se e somente se <z = =z = 0.

Com esta nova nota¸c˜ao, as opera¸c˜oes em C podem ser escritas da seguinte forma

Cap´ıtulo 3

Representa¸c˜ao vetorial de um n´umero

complexo

J´a vimos que um n´umero complexo z = x+iy, x, y ∈ R ´e uma representa¸c˜ao de um par ordenado

(x, y). Assim, podemos represent´a-lo num plano cartesiano xOy, identificando o eixo x com os

n´umeros reais (os m´ultiplos de 1 = (1, 0)). O eixo y representa os m´ultiplos de i = (0, 1) e ser´a

denominado de eixo imagin´ario.

6

3

y

x

i

O 1

Com esta vis˜ao geom´etrica dos n´umeros complexos, definimos o m´odulo de z = x+iy, x, y ∈

R, como |z| =

x

2

• y

2

. A partir da´ı, definimos a distˆancia entre dois n´umeros complexos z

1

e z 2

como |z

1

− z

2

E imediato que valem as desigualdades <z ≤ |<z| ≤ |z| e =z ≤ |=z| ≤ |z|.

O conjugado de z = x + iy, x, y ∈ R, ´e definido como z = x − iy. Geometricamente, z ´e a

reflex˜ao do vetor que representa z com rela¸c˜ao ao eixo real.

Note que valem as seguintes propriedades elementares

Proposi¸c˜ao 3 Para todo z, z 1

, z

2

∈ C temos

1. |z| = |z|
2. z + z = 2<z
3. z − z = 2i=z
4. z = z
5. z = z ⇐⇒ z ∈ R
6. z 1

• z 2

= z 1

• z 2

7. λz = λz se λ ∈ R.

Exerc´ıcio 2 Prove as propriedades acima.

6

3

y

x

i

O 1

z

s

z¯

Tamb´em temos

Proposi¸c˜ao 4 Para todo z, z 1

, z

2

∈ C temos

1. |z|

2

= zz

2. z

1

z

2

= z

1

z

2

3. |z

1

z

2

| = |z

1

||z

2

Exemplo 3 Determine todos os valores a ∈ R para que

a + i

1 + ai

seja real.

Temos

a + i

1 + ai

a + i

1 + ai

1 − ai

1 − ai

a − a

2

i + i + a

1 + a

2

2 a

1 + a

2

• i

1 − a

2

1 + a

2

Assim,

a + i

1 + ai

= 0 ⇐⇒ a

2

= 1 ⇐⇒ a = 1 ou a = − 1.

Exemplo 4 Dados θ ∈ R e z = cos θ + i sen θ, encontre |z|.

Temos

|z|

2

= zz = (cos θ + i sen θ)(cos θ − i sen θ) = cos

2

θ + sen

2

θ = 1.

Logo, | cos θ + i sen θ| = 1. §

Exemplo 5 Resolva a equa¸c˜ao iz + 2z + 1 − i = 0.

Colocando x = <z e y = =z, vemos que z satisfaz a equa¸c˜ao acima se e somente se

i(x + iy) + 2(x − iy) = −1 + i ⇐⇒ 2 x − y + i(x − 2 y) = −1 + i

2 x − y = − 1

x − 2 y = 1

⇐⇒ x = y = − 1.

Exemplo 6 Determine todos os n´umeros complexos cujo quadrado seja igual ao conjugado.

Um n´umero complexo z = x + iy, x, y ∈ R ´e solu¸c˜ao deste problema se e somente se

z

2

= z ⇐⇒ (x + iy)

2

= x − iy ⇐⇒ x

2

− y

2

• 2xyi = x − iy

x

2

− y

2

= x

2 xy = −y ⇔ y = 0 ou x = − 1 / 2

Se y = 0 a primeira equa¸c˜ao acima ´e equivalente a x

2

= x cujas solu¸c˜oes s˜ao x = 0 ou x = 1.

Se x = − 1 /2 a primeira equa¸c˜ao acima ´e equivalente a y

2

= 3/4 cujas solu¸c˜oes s˜ao y =

3 /2 ou y =

Assim, o conjunto das solu¸c˜oes do problema ´e dado por

1 + i

1 − i

Cap´ıtulo 4

Forma polar de um n´umero complexo

Dado um n´umero complexo z 6 = 0, podemos represent´a-lo em coordenadas polares como

z = r cos θ + ir sen θ = r(cos θ + i sen θ), (4.1)

onde r = |z| e θ ´e o ˆangulo que o vetor representado por z faz com o eixo real medido no sentido

anti-hor´ario em radianos. Devido `a periodicidade das fun¸c˜oes seno e cosseno, ´e evidente que a

equa¸c˜ao 4.1 continua v´alida se substituirmos θ por θ + 2kπ, k ∈ Z. Um ˆangulo θ que satisfaz

4.1 ´e chamado de argumento do n´umero complexo z e ´e denotado por arg z. Enfatizamos que

existem infinitos argumentos para um mesmo n´umero complexo. Por´em, dado um intervalo de

n´umeros reais da forma I = [θ 0

, θ

o

• 2π), existe apenas um argumento em I para cada z 6 = 0.

6

θ

z

r

i

x

y

Colocando z = x + iy 6 = 0, x, y ∈ R, vemos que r =

x

2

• y

2

. Vejamos como se comporta

o arg z ∈ [0, 2 π). Se z for um n´umero real ent˜ao arg z = 0 se 0 e arg z = π se <z < 0. Se

z ´e um n´umero imagin´ario puro ent˜ao arg z =

π

2

se =z > 0 e arg z =

3 π

2

se =z < 0. Finalmente,

se <z 6 = 0 e =z 6 = 0 ent˜ao θ = arg z fica determinado pela equa¸c˜ao

tan θ =

=z

<z

e pelo quadrante onde se encontra o vetor que representa z.

Observa¸c˜ao 1 Dois n´umeros complexos coincidem se e somente se tˆem o mesmo m´odulo e

seus argumentos diferem por um m´ultiplo inteiro de 2 π.

A representa¸c˜ao 4.1 continua v´alida quando z = 0, tomando r = 0 e θ ∈ R arbitr´ario.

Prova: Basta notar que

z 1

z 2

= [r 1

(cos θ 1

• i sen θ 1

)][r 2

(cos θ 2

• i sen θ 2

)]

= r

1

r

2

(cos θ

1

cos θ

2

− sen θ

1

sen θ

2

• i(cos θ

1

sen θ

2

• cos θ

2

sen θ

1

= r 1

r 2

(cos(θ 1

• θ 2

) + i sen(θ 1

• θ 2

Corol´ario 1 Se r j

e θ

j

representam o m´odulo e um argumento, respectivamente, de z

j

∈ C,

para j = 1, 2 , z 2

= 0, ent˜ao r

1

/r

2

e θ

1

− θ

2

representam o m´odulo e um argumento de z

1

/z

2

Prova: Temos

z

1

z

2

z

1

z

2

|z

2

2

r

2

2

r 1

r 2

(cos(θ 1

− θ 2

) + i sen(θ 1

− θ 2

r

1

r 2

(cos(θ

1

− θ

2

) + i sen(θ

1

− θ

2

Observa¸c˜ao 2 Seja z o

= cos θ

o

• i sen θ

o

, θ

o

1. Dado z ∈ C, temos que z

o

z ´e a rota¸c˜ao do

vetor que representa z pelo ˆangulo θ o

no sentido anti-hor´ario. Se θ

o

< 0 a rota¸c˜ao ´e no sentido

oposto.

A observa¸c˜ao acima segue imediatamente da proposi¸c˜ao 6 e do corol´ario 1 notando-se que

|z o

A proposi¸c˜ao 6 se estende, por indu¸c˜ao finita, da seguinte maneira:

Proposi¸c˜ao 7 Se r j

e θ

j

representam o m´odulo e um argumento, respectivamente, de z

j

∈ C,

para j = 1,... , n ent˜ao r 1

· · · r

n

e θ

1

• · · · + θ

n

representam o m´odulo e um argumento de

z 1

· · · z

n

Tomando z = z

1

= · · · = z

n

obtemos o seguinte

Corol´ario 2 Se r e θ representam o m´odulo e um argumento, respectivamente, de z ∈ C, ent˜ao

para todo n ∈ N temos

z

n

= r

n

(cos(nθ) + i sen(nθ)).

Al´em do mais, se z 6 = 0, a f´ormula acima ´e valida para todo n ∈ Z.

Corol´ario 3 (De Moivre) Para todo θ ∈ R e todo n ∈ Z temos

(cos θ + i sen θ)

n

= cos(nθ) + i sen(nθ).

Prova: Basta notar que | cos θ + i sen θ| = 1.

Exemplo 9 Mostre que

{i

n

; n ∈ Z} = {− 1 , 1 , −i, i}.

Como i = cos

π

2

• i sen

π

2

, obtemos i

n

= cos

nπ

2

• i sen

nπ

2

. Agora, se n ∈ Z, podemos escrever

n = 4k + r onde r ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } e ent˜ao

i

n

= cos

(4k + r)π

• i sen

(4k + r)π

= cos

rπ

• i sen

rπ

1 , se r = 0

i, se r = 1

− 1 , se r = 2

−i, se r = 3.