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Série de Fourier e Transformada de Laplace
Matemática Aplicada
Série de Fourier
Introdução
Matematicamente, uma série de Fourier é a representação de uma função periódica em uma soma de funções
também periódicas.
Jean Baptiste Joseph Fourier
Fourier foi levado a desenvolver suas séries ao estudar a propagação de calor em corpos sólidos. Admitindo que
essa propagação deveria se dar por ondas de calor e levando em conta que a forma mais simples de uma onda é
uma função senoidal, Fourier mostrou que qualquer função, por mais complicada que seja, pode ser decomposta
como uma soma de senos e cossenos.
Esta série demonstra, por exemplo, que uma senóide pode ser decomposta em uma série de senóides com uma
freqüência original chamada de fundamental e outras que são os harmônicos ímpares.
Análise inicial
Observe a função senóide abaixo, ela é uma função periódica, pois de tempo em tempo ela se repete.
Senóide
CURIOSIDADE: Joseph Fourier (1768 – 1830) foi um matemático francês. Trabalhou para Napoleão na França e no Egito, ocupado pelos franceses.
Série de Fourier e Transformada de Laplace
Existem outras funções periódicas mais complexas.O gráfico abaixo é periódica porque se repete no tempo,
porém complexa, pois não é apenas um senóide é a soma de várias funções periódicas.
Sinal complexo
Em eletrônica e em Telecomunicações, além de outras áreas, é muito importante fazer análises destes sinais
puros, como o da senóide, e também os sinais complexos.
No gráfico abaixo, observamos que a resultante, em vermelho, é a soma de todas os outros sinais, em preto.
A resultante é a soma de todas as outras senóides
Poderíamos fazer todas estas análises matematicamente, mas nosso objetivo principal é compreender como é
feita a composição de um sinal seja ele quadrado ou não, para, compreender a decomposição destes sinais e,
finalmente, poder fazer análises com o conhecimento adquirido.
Análise de um sinal quadrado
No gráfico a seguir é possível observar como a soma da fundamental com os harmônicos 1, 3, 5 e 7 conseguem
compor um sinal já bem ao quadrado.
Composição da fundamental até o 7º harmônico
Série de Fourier e Transformada de Laplace
No gráfico abaixo, vemos a soma (curva em vermelho) de f ( x )= sen ( x ) e f ( x )= cos( x ). Essa curva é
obtida traçando-se, em cada ponto x, a soma dos valores de f ( x )= sen ( x )e f ( x )= cos( x ) nesse ponto. Por
exemplo, o ponto da curva na região x = 5,5 é zero pois o valor de sen(x) é igual e de sinal oposto ao valor de
cos(x) nesse ponto. Logo as séries de Fourier são composições de muitas curvas tipo seno e cosseno, como
veremos.
Uma função periódica pode ser bem mais complicada que uma senóide. Veja o gráfico abaixo como exemplo da
função f(x). Essa curva também é periódica, mas, não é apenas um seno ou um cosseno. Como achar uma função
matemática que descreva uma curva como essa?
Foi isso que Fourier descobriu, no início do século 19. Segundo ele, qualquer função periódica, por mais
complicada que seja, pode ser representada como a soma de várias funções seno e cosseno com AMPLITUDES ,
FASES e PERÍODOS escolhidos convenientemente.
Existem alguns requisitos para que essa afirmação seja totalmente verdadeira. Mas, eles são tão poucos e
especializados que podemos ignorá-los nesse relato simplificado.
A figura ao lado mostra a mesma curva da figura acima juntamente com duas funções seno e duas funções
cosseno. A curva original é a soma dessas 4 funções, como você pode verificar com alguma paciência. Note que
as amplitudes e períodos das ondas componentes são diferentes entre si.
Matematicamente, a decomposição da função f(x) na curva acima é a seguinte:
f ( x )= 2 sen ( x )+ 7 sen ( 2 x )+ 5 cos( 3 x )+ 4 cos( 5 x )
Em resumo, qualquer função f(x) pode, segundo Fourier, ser escrita na forma da soma de uma série de funções
seno e cosseno da seguinte forma geral:
Série de Fourier e Transformada de Laplace
... cos( ) cos( 2 ) cos( 3 ) ...
1 2 3
0 1 2 3
b x b x b x
f x a asenx asen x asen x
Resta agora achar uma forma de calcular os coeficientes a 0 (^) , a 1 , a 2 ,..., b 1 , b 2 ,...etc, de cada termo da série. Esses
coeficientes, como vemos, são as amplitudes de cada onda componente do desenvolvimento em série.
Pois foi isso que Fourier conseguiu fazer: achou uma forma simples e elegante de calcular esses coeficientes,.
Exemplos de Funções Periódicas
f ( t )= 2 sen ( t ),
onde T = 2 e 1 2
π
π π
T
w
−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
−4.
−3.
−2.
−1.
Um sinal qualquer pode ser analisado no domínio do tempo, como vimos até agora, ou no domínio da
freqüência. Nesta segunda forma, ao invés de utilizar o osciloscópio, é utilizado um instrumento chamado
ANALISADOR DE ESPECTRO
Série de Fourier e Transformada de Laplace
- Sendo o gráfico abaixo, encontre as sentenças que definem a função f ( t ).
−5.0 −4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.
−5.
−4.
−3.
−2.
−1.
t
f(t)
_________________ t 3
_________________ - 2 t 3
_________________ t 2
f ( t )
Importante
= ⇒ = −
= ⇒ =− = = + ⇒
a
b y x
x y b y fx ax b 0
0 ( )
∆ =− =−
− ± ∆ = ⇒ =
= ⇒ =
= = + + ⇒
(vértices) 4
e y 2
x
(raízes) 2
0
0
()
v v
2
a a
b
a
b y x
x y c
y f x ax bx c
Série de Fourier e Transformada de Laplace
Agora, construa o gráfico da função derivada de f ( t )ou seja f ' ( t )
_________________ x 3
_________________ - 2 x 3
_________________ x 2
f ' ( x )
Exercícios
- Sendo
t 0 t 2
2
2 t
f t , construa o gráfico de f ( t )e f ' ( t ).
Série de Fourier e Transformada de Laplace
b)
t
f(t)
A Equação da parábola no intervalo − 2 ≤ t ≤ 2
Série de Fourier e Transformada de Laplace
2) Derivadas
f (u)= sen(u ) f '(u)=u'cos(u)
f (u)= cos(u ) f '(u)=−u'sen(u) m f (u)= u
m 1 f '(u) mu
−
m f (u)= au
m 1 f '(u) amu
−
Exercícios
Calcule dt
dy das funções abaixo:
a) y =sen( 2 t)
b) (^)
π
= t
3 n y 3 sen
c) (^)
π = + 2
t 2
y sen
d) (^)
= t
n y 2
2 cos
π
e) (^)
π −
π
4
t 2
n y sen
f) t 2 3
y 2 t
4 3 = − + +
−
g) t 4 t 1 3
y
3 2 = − −
h) 2
t 3
y
2 π
π
Série de Fourier e Transformada de Laplace
Funções Periódicas
São aquelas que se repetem de período em período.
Uma função f (x) é periódica de período T quando par qualquer x ∈ D(f), temos a igualdade
f (x)=f(x+T )
Exemplos:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−
−
1
2
3
x
y
f ( 0 )=f( 0 + 4 )=f( 4 + 4 )= 3
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−
−
−
−
−
−
1
2
3
4
5
6
t
f(t)
Série de Fourier e Transformada de Laplace
−3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/
−
−
1
t
f(t)
Série de Fourier
Fourier através de estudos verificou que uma função genérica e periódica, pode ser representada por uma
somatória de cossenos e senos, ou seja:
f (x)=a 0 +a 1 sen(x)+a 2 sen( 2 x)+a 3 sen( 3 x)+....+b 1 cos(x)+b 2 cos( 2 x)+b 3 cos( 3 x)+ ...
ou
∑[^ (^ )^ (^ )]
∞
=
1
0 0
(^0) cos 2
n
an nwt bnsennwt
a f t
onde
π
T
w 0 Freqüência angular
T →Período da função
a 0 , a (^) ne b (^) n→Coeficientes de Fourier
Os coeficientes de Fourier são encontrados da seguinte forma:
L
L
f tdt T
a ()
0 =^ ∫−
L n (^) L f t nwtdt T
a ()cos( )
0 =^ ∫−
L n (^) l f t sennwtdt T
b () ( )
0
Importante:
Quanto maior for a variação de n (1, 2, 3, 4,...) mais próxima da função real que se quer representar, será a
função representada pela Série de Fourier.
Série de Fourier e Transformada de Laplace
- Sendo o período abaixo, pede-se:
t
f(t)
a) A função.
b) O período da função
c) A freqüência angular.
d) Os coeficientes de Fourier.
e) Expandir a função em Série de Fourier com n variando de 1 a 5
Obs.:Utilize o intervalo de [− 1 , 1 ].
Série de Fourier e Transformada de Laplace
Série de Fourier em Cossenos
Toda função (^) f ( t )periódica de período T pode ser representada por uma somatória de cossenos, ou seja,
∑[^ (^ )]
∞
=
1
( ) 0 .cos 0 n
f t a cn nwt θ n
onde
=
tT
t
f tdt T
a ()
0
2 2 cn = an + b n
n
n n a
b θ arctg
Exemplos
Transcreva a série abaixo em Séries de Cossenos.
a)
0 , 11 sen( 3 t) 0 , 08 sen( 4 t) 0 , 02 cos( 5 t) 0 , 06 sen( 5 t) ....
f(t) 0 , 75 0 , 20 cos( t) 0 , 32 sen( t) 0 , 16 sen( 2 t) 0 , 02 cos( 3 t)
= + π + π − π + π +
Série de Fourier e Transformada de Laplace
c)
3 cos 2
5 cos 2 6 2 cos
2 2 cos 2
3 cos 2 2
() 2 cos
^ +
^ −
−^ +
^ −
−^ +
^ +
^ −
t sen t t sen t t sen t
f t t sen t t sen t t sen t
π π π
π π π
π π π
π π π
Série de Fourier e Transformada de Laplace
Análise Espectrográfica
Espectros são gráficos de pontos discretos que mostram as amplitudes, as fases e as potencias de um sinal
periódico em função da freqüência angular.
Espectro de fase
