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“ApostilaPolosZeros” — 2006/9/25 — 14:26 — page 1 — #
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Cap´ıtulo 1
C´alculo da resposta no dom´ınio do
tempo: o papel dos p´olos e zeros
1.1 Introduc¸˜ao
O c´alculo da resposta no dom´ınio do tempo y(t) de um sistema g(t) pode ser calculado atrav´es da integral de convoluc¸˜ao:
y(t) =
0 g(τ)u(t − τ)dτ,
onde u(t) ´e o sinal de excitac¸˜ao do sistema. Usualmente, utiliza-se a transformada de Laplace para a convers˜ao do sistema para o dom´ınio da freq¨uˆencia: Y (s) = G(s)U(s).
Posteriormente, para o c´alculo de y(t), pode-se realizar a anti-transformada de Laplace. Para isto, ´e mais f´acil transformar Y (s) utilizando a t´ecnica de expans˜ao em frac¸˜oes parciais, j´a que cada frac¸˜ao parcial tem anti-transformada facilmente conhecida. Neste caso, ´e poss´ıvel evidenciar o efeito de cada p´olo do sistema e do sinal de entrada u(t). Os zeros de Y (s) desaparecem na expans˜ao em frac¸˜oes parciais. O efeito dos zeros afeta apenas os coeficentes das frac¸˜oes parciais. A conclus˜ao que devemos chegar ´e que os zeros do sistema atuam como filtros evidenciando ou anulando o efeito dos p´olos do sistema.
1.2 Algumas quest˜oes b´asicas
Seja um sistema linear e invariante no tempo representado por:
any(n)(t) + an− 1 y(n−^1 )(t) +... + a 1 y(^1 )(t) + a 0 y(t) = bmu(m)(t) + bm− 1 u(m−^1 )(t) +... + b 1 u(^1 )(t) + b 0 u(t),
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2 Cap´ıtulo 1. C´alculo da resposta no dom´ınio do tempo: o papel dos p´olos e zeros
onde,
y(i)(t)^ , d
(i)y(t) dt(i)^ ,^ u
(i)(t) , d(i)u(t)
dt(i)^ , Podemos definir:
D(p) , anpn^ + an− 1 pn−^1 +... + a 1 p + a 0 ,
e
N(p) , bmpm^ + bm− 1 pm−^1 +... + b 1 p + b 0 ,
onde,
p(i)^ , d
(i) dt(i).
Utilizando esta notac¸˜ao podemos escrever: D(p)y(t) = N(p)u(t). (1.7) A soluc¸˜ao para y(t) envolve dois termos. O primeiro, corresponde a resposta do sis- tema D(p)y(t) = N(p)u(t) considerando uma entrada nula, i.e., u(t) = 0. Neste caso, a Equac¸˜ao 1.7 se reduz a equac¸˜ao denominada Homogˆenea , D(p)y(t) = 0.
A sua transformada de Laplace pode ser expressa como:
Y (s) = (^) D(s) I(s),
onde I(s) ´e um polinˆomio cujos coeficientes dependem das cond´ıc¸˜oes iniciais. D(s) ´e deno- minado polinˆomio caracter´ıstico de 1.7 porque caracteriza a resposta denominada livre, n˜ao forc¸ada ou resposta natural. As ra´ızes de D(s) s˜ao denominadas modos do sistema. Por exemplo, se D(s) = (s − 2 )(s + 1 )^2 (s + 2 − j 3 )(s + 2 + j 3 ).
Os modos do sistema nesse caso s˜ao: 2, −1, − 2 + j3, 2 − j3. Os p´olos tem multiplicidade unit´aria, com execec¸˜ao de −1 que possui multiplicidade igual a dois. Desta forma, para quaisquer condic¸˜oes iniciais Y (s) pode ser expandido em frac¸˜oes parciais como:
Y (s) = (^) (s K−^1 2 ) + (^) (s + K 2 2 − j 3 ) + (^) (s + K 2 3 + j 3 ) + (^) (s C+^1 1 ) + (^) (s +C^2 1 ) 2. (1.11)
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4 Cap´ıtulo 1. C´alculo da resposta no dom´ınio do tempo: o papel dos p´olos e zeros
1.3 Classificac¸˜ao das func¸˜oes de transferˆencia Considere a seguinte func¸˜ao racional:
G(s) = N(s)D(s) ,
onde N(s) e D(s) s˜ao polinˆomios com coeficientes reais. Tais func¸˜oes de transferˆencia s˜ao classificadas de acordo com o grau do polinˆomio do numerador degN(s) e do grau do polinˆomio do denominador degD(s). A Tabela 1.1 a seguir resume a classificac¸˜ao.
Tabela 1.1. Classificac¸˜ao das func¸˜oes de transferˆencia. degN(s) > degD(s) impr´opria degN(s) ≥ degD(s) pr´opria degN(s) < degD(s) estritamente pr´opria degN(s) = degD(s) bi-pr´opria
Se G(s) ´e bi-pr´opria ent˜ao G−^1 (s) tamb´em ´e bi-pr´opria. Em geral, trabalhamos com func¸˜oes pr´oprias ou estritamente pr´oprias, j´a que, func¸˜oes de transferˆencia impr´oprias des- crevem sistemas n˜ao causais.
1.4 Expans˜ao em frac¸˜oes parciais Nesta sec¸˜ao, detalha-se a t´ecnica de expans˜ao em frac¸˜oes parciais. Suponha a seguinte func¸˜ao de transferˆencia:
G(s) =
∏m ∏q l=^1 (s^ +^ zi) i= 1 (s^ +^ zi)(s^ +^ pm)r^
whre i = 1 ,... , q and n = q + r. A expans˜ao em frac¸˜oes parciais de G(s) pode ser escrita como:
∑^ q i= 1
Ki (s + pi) +^
A 1
(s + pm) +^
A 2
(s + pm)^2 + +^...^ +^
Ar (s + pm)r^ ,
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1.5. P´olos e zeros 5
onde:
Ki = (s + pi)G(s) |s=−pi , Ar = [(s + pm)r^ G(s)] |s=−pm , Ar − 1 = (^) ds d[(s + pm)r^ G(s)] |s=−pm
Ar − 2 = (^) 2!^1 d
2 ds^2 [(s^ +^ pm)
r (^) G(s)] |s=−pm .. . A 1 = (^) (r −^1 1 )!^ d
r − 1 dsr^ −^1 [(s^ +^ pm)
r (^) G(s)] |s=−pm.
A func¸˜ao no dom´ınio do tempo pode ser escrita como:
g(t) =
∑^ q i= 1
Ki exp−pit^ +A 1 exp−pm^ t^ +A 2 t exp−pm^ t^ +... + Ar tr^ −^1 exp−pm^ t^.
1.5 P´olos e zeros A seguir, uma definic¸˜ao formal para p´olos e zeros ´e estabelecida.
Definic¸˜ao 1 (P´olo) n´umero real ou complexo finito λ tal que |G(λ)| = ∞. ♦
Definic¸˜ao 2 (Zero) n´umero real ou complexo finito λ tal que |G(λ)| = 0_._ ♦
Um primeiro questionamento de ordem te´orica que pode ser feito ´e se todas as ra´ızes do polinˆomio D(s) s˜ao polos de G(s). Considere a seguinte func¸˜ao de transferˆencia:
G(s) = N(s)D(s) = 2 (s
(^3) + 3 s (^2) − s − 3 ) (s − 1 ). Para λ = 2 temos: G(− 2 ) = 60 = ∞.
Portanto, λ = −2 ´e um p´olo e tamb´em λ = −2 ´e uma raiz de G(s). Agora vamos fazer λ = 1, dessa forma: G( 1 ) = N(D( 11 )) = 00 ,
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1.5. P´olos e zeros 7
onde os coeficientes podem ser calculados como:
K 1 = Y (s)(s + 1 )|s=− 1 = (^) (s^3 s+^ − 2 1 )s
s=− 1
= ( 1 )( ×− 4 ()− 1 ) = 4 ,
K 2 = Y (s)(s + 1 )|s=− 2 = (^) (s^3 s+^ − 1 1 )s
s=− 2
= (− 1 ()− ×^7 ()− 2 ) = − 3. 5 ,
K 3 = Y (s)s|s= 0 = (^) (s +^3 1 s)(s^ −^1 + 2 )
s= 0
Y (s) pode ent˜ao ser representada como: Y (s) = (^) (s + 31 s)(s^ −^1 + 2 )s = (^) (s +^4 1 ) + (^) (s− +^3. 52 ) + −^0 s. 5 ,
A resposta no tempo pode ent˜ao ser calculada como:
y(t) = 4 exp ︸ −t^ −︷︷ 3 .5 exp−^2 t︸ Devido aos p´olos de G(s)
Devido aos p´olos de U(s)
Podemos observar atrav´es do Exemplo 1 que os termos relativos aos p´olos do sistema podem ser divididos em duas partes, uma relativa aos p´olos do sistema G(s) e um relativo aos p´olos de U(s). A resposta deste sistema poderia ser escrita genericamente como: y(t) = K 1 exp−t^ +K 2 exp−^2 t^ +termos devidos aos p´olos de U(s).
Uma quest˜ao importante ´e que dependendo de u(t), os p´olos de G(s) podem n˜ao ser excitados. O exemplo a seguir ilustra esta quest˜ao.
Exemplo 2 Considere por exemplo U(s) = s + 1. Neste caso,
Y (s) = G(s)U(s) = (^) (s +^3 1 s^ )(s−^1 + 2 ) (s + 1 ),
= (^) (s^3 s +− 2 1 ) = 3 (s (s^ + +^2 ) 2 )− 7 = 3 − (^) (s +^7 2 ).
O que implica em: y(t) = 3 δ(t) − 7 exp−^2 t^.
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8 Cap´ıtulo 1. C´alculo da resposta no dom´ınio do tempo: o papel dos p´olos e zeros
Exemplo 3 Vamos supor agora que:
u(t) = 13 + 23 exp − 3 t,
A transformada de Laplace ´e dada por:
U(s) = (^) s(s(s^ ++^1 3 )) ,
dessa forma,
Y (s) = (^) (s +^3 2 s^ )(s−^1 + 1 ) s(ss^ + +^1 3 ) = (^) (s + 32 s)(s^ −^1 + 3 )s
= (^2) (s 7 + 2 ) − (^3) (s^10 + 3 ) − (^61) s.
A resposta do sistema no dom´ınio do tempo y(t) ´e dada por:
y(t) = 72 exp−^2 t^ − 103 exp−^3 t^ − 16.
Neste exemplo, ´e poss´ıvel observar que a excitac¸˜ao ou n˜ao do p´olo depende se U(s) possui um zero para cancel´a-lo.
1.6 P´olos e suas caracter´ısticas no dom´ınio do tempo A seguir apresenta-se os casos principais dos tipos de termos que comumente aparecem numa expans˜ao em frac¸˜oes parciais em conjunto com sua descric¸˜ao anal´ıtica e gr´afica.
- P´olo real negativo s = −σ :
- Func¸˜ao de transferˆencia: K (s + σ ).
- Resposta no tempo: K exp−σ t^.
A figura 1.1 ilustra a localizac¸˜ao do p´olo e a resposta impulsiva para o sistema:
G(s) = (^) (s +^1 2 ).
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10 Cap´ıtulo 1. C´alculo da resposta no dom´ınio do tempo: o papel dos p´olos e zeros
- P´olos complexos conjugados com parte real negativa s = −σ ± jω:
- Func¸˜ao de transferˆencia: Ki (s + σ − jω) +^
Ki+ 1 (s + σ + jω).
Onde Ki = K∗ i+ 1.
- Resposta no tempo: Ki exp−(σ^ −jω)t^ +Ki+ 1 exp−(σ^ +jω)t^ , A exp−σ t^ sin(ωt + Φ).
A figura 1.3 ilustra a localizac¸˜ao do p´olo e a resposta impulsiva para o sistema: G(s) = (^) (s − 0. 5 − j 3. 1225 )(s^1 − 0. 5 + j 3. 1225 ).
−4−1.5 −1 −0.5 0 0.
−
−
−
0
1
2
3
4
σ
jω
Polos Complexos Conjugados Estaveis
−0.2 0 5 10 15
−0.
−0.
−0.
0
Polos Complexos Conjugados Estaveis 0.
Tempo (seg)
g(t)
Figura 1.3. Localizac¸˜ao dos p´olos e resposta impulsiva do sistema G(s).
- P´olos complexos conjugados com parte real positiva s = +σ ± jω:
- Func¸˜ao de transferˆencia: Ki (s − σ − jω) +^
Ki+ 1 (s − σ + jω). Onde Ki = K∗ i+ 1.
- Resposta no tempo: Ki exp−(−σ^ −jω)t^ +Ki+ 1 exp−(−σ^ +jω)t^ , A expσ t^ sin(ωt + Φ).
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1.6. P´olos e suas caracter´ısticas no dom´ınio do tempo 11
A figura 1.4 ilustra a localizac¸˜ao do p´olo e a resposta impulsiva para o sistema:
G(s) = (^) (s − 0. 5 − j 3. 1225 )(s^1 − 0. 5 + j 3. 1225 ).
−0.5^ −4 0 0.5 1 1.
−
−
−
0
1
2
3
4
σ
jω
Polos Complexos Conjugados Instaveis
−120 0 5 10 15
−
−
−
−
−
0
20
40
60
Polos Complexos Conjugados Instaveis 80
Tempo (seg)
g(t)
Figura 1.4. Localizac¸˜ao dos p´olos e resposta impulsiva do sistema G(s).
- P´olos reais negativos com multiplicidade 2 s = −σ :
- Func¸˜ao de transferˆencia:
Ki (s + σ ) +^
Ki+ 1 (s + σ )^2.
Ki exp−σ t^ +Ki+ 1 t exp−σ t^.
A figura 1.5 ilustra a localizac¸˜ao do p´olo e a resposta impulsiva para o sistema:
G(s) = (^) (s + 1 )(s^1 + 2 ) 2.
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1.6. P´olos e suas caracter´ısticas no dom´ınio do tempo 13
−2−1 −0.5 0 0.5 1
−1.
−
−0.
0
1
2
σ
jω
Polos imaginarios s=−j2,+j
−0.5 0 5 10 15
−0.
−0.
−0.
−0.
0
0.5^ Polos imaginarios s=−j2, +j
Tempo (seg)
g(t)
Figura 1.6. Localizac¸˜ao dos p´olos e resposta impulsiva do sistema G(s) = 1 /(s − j 2 )(s + j 2 ).
- P´olos imagin´arios duplos s = ±jω:
- Func¸˜ao de transferˆencia:
K (s^2 + ω^2 )^2 = K (s + jω)^2 (s − jω)^2 = K 1 (s + jω) +^
K 2
(s + jω)^2 +^
K 3
(s − jω) +^
K 4
(s − jω)^2.
g(t) = A 1 sin(ωt + Φ 1 ) + A 2 t sin(ωt + Φ 2 ).
A figura 1.7 ilustra a localizac¸˜ao do p´olo e a resposta impulsiva para o sistema:
G(s) = (^) (s − j 2 ) (^21) (s + j 2 ) 2.
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14 Cap´ıtulo 1. C´alculo da resposta no dom´ınio do tempo: o papel dos p´olos e zeros
−2−1 −0.5 0 0.5 1
−1.
−
−0.
0
1
2
σ
jω
Polos imag. multiplos s=−j2, +j2 (m=2)
−1.5 0 5 10 15
−
−0.
0
1
1.5^ Polos imag. multiplos s=−j2, +j2 (m=2)
Tempo (seg)
g(t)
Figura 1.7. Localizac¸˜ao dos p´olos e resposta impulsiva do sistema G(s) = 1 /(s − j 2 )^2 (s + j 2 )^2_._
1.7 O efeito dos zeros O efeito dos zeros sobre a resposta do sistema ´e mais dif´ıcil de ser inferido. Apesar da localizac¸˜ao dos p´olos determinar a natureza dos modos do sistema, ´e a localizac¸˜ao dos ze- ros que determina a proporc¸˜ao que os modos s˜ao combinados. Estas combinac¸˜oes podem fazer com que os resultados sejam bastante diferentes quando comparados com os modos individuais relativos a cada p´olo. Da mesma forma como nos p´olos, tamb´em podemos definir zeros r´apidos e zeros len- tos. Zeros r´apidos s˜ao aqueles que est˜ao bastante afastados em relac¸˜ao ao eixo imagin´ario quando comparado com os p´olos dominantes. Por outro lado, zeros lentos s˜ao aqueles que est˜ao bem mais pr´oximos do eixo imagin´ario do que os p´olos dominantes.
Exemplo 4 Para ilustrar a influˆencia dos zeros na resposta do sistema a resposta a degrau de v´arios sistemas com p´olos iguais mas com zeros diferentes s˜ao compa- rados. Os sistemas definidos pelas func¸˜oes de transferˆencia G 1 (s), G 2 (s), G 3 (s) e G 4 (s) e suas respectivas expans˜oes em frac¸˜oes parxiais podem ser observados na Tabela 4. A expans˜ao em frac¸˜oes parciais de qualquer um desses sistemas pode ser representada por:
Y (s) = (^) (s K+^1 1 ) + (^) (s +K 12 + j) + (^) (s +K 13 − j) + K s^4.
A Figura 1.8 ilustra a resposta a degraus do sistemas G 1 (s), G 2 (s), G 3 (s), G 4 (s).
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16 Cap´ıtulo 1. C´alculo da resposta no dom´ınio do tempo: o papel dos p´olos e zeros
dois modos naturais do sistema s˜ao representados por, exp−^1 t^ e exp−^2 t^ , que s˜ao re- lacionados aos p´olos −1 e −2 respectivamente. O efeito do primeiro modo natural exp−^1 t^ pode gradativamente ser anulado a medida que c → −1. O mesmo acon- tece para exp−^2 t^ quando c → −2. Uma situac¸˜ao mais geral, pode ser observada na Figura 1.9 onde ´e apresentado a resposta a degrau do sistema H(s) considerando c = − 0. 1 , 0. 1 , − 0. 25 , 0. 25 , − 10 , 10. Pode ser observado que, para um zero r´apido, por exemplo |c| 1, n˜ao existe um impacto significativo na resposta transit´oria. Quando o zero ´e lento e est´avel o sistema possui sobresinal significativo. Quando o zero ´e lento e inst´avel ent˜ao o sistema exibe um undershoot significativo.
Respostas a degrau de H(s) para c=−0.1, 0.1, −0.25, 0.25, −10, 10
tempo (seg)
y(t)
c=−0. c=0. c=0. c=−0. c=− data
Figura 1.9. Respostas a degrau do sistema H(s) para diferentes valores de c_._
´E poss´ıvel estabelecer estimativas para o sobresinal e undershoot. a seguir alguns resul- tados desenvolvidos por Goodwin, Graebe e Salgado 1. Lema 1 (Zeros de fase n˜ao m´ınima e undershoot) Assuma um sistema linear e est´avel com
func¸˜ao de transferˆencia G(s) possuindo ganho unit´ario e um zero em s = c , onde c ∈ R+.
(^1) G.C. Goodwin, Stefan F. Graebe e M.E. Salgado, Control System Design, Prentice-Hall.
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1.7. O efeito dos zeros 17
Assuma tamb´em que a resposta a degrau unit´ario do sistema, y(t) , tem um tempo de acomodac¸˜ao ts , i.e., 1 + δ ≥ |y(t)| ≤ 1 − δ, (δ 1 ), ∀t ≥ ts , Ent˜ao y(t) exibe um undershoot Mu , que satisfaz a seguinte relac¸˜ao:
Mu ≥ (^) exp^1 ct−s^ δ− 1.
Este lema estabelece que, quando o sistema possui zeros de fase n˜ao m´ınima existe uma soluc¸˜ao de compromisso entre ter uma resposta r´apida e uma resposta com undershoot pequeno. ♦
Lema 2 (Zeros lentos e sobresinal) Assuma um sistema linear e est´avel, com func¸˜ao de trans- ferˆencia dada por G(s) possuindo ganho unit´ario e um zero em s = c, c < 0_. Al´em disso, assuma que:_
1. O sistema tem p´olos dominantes com parte real igual a −p, p > 0 _,
- O zero e o p´olo dominante s˜ao relacionados atrav´es da seguinte equac¸˜ao:_
c p
∣ ^1 ,
3. O valor de δ definindo o tempo de assentamento ts ´e escolhido tal que K > 0 resultando que: |v(t)| < K exp−pt^ , ∀t ≥ ts.
´E poss´ıvel concluir que a resposta a degrau possui um sobresinal que ´e limitado de acordo com a seguinte relac¸˜ao:
MP ≥ (^) exp−^1 cts (^) − 1
1 − 1 Kη − η
Este lema estabelece que quando um sistema est´avel possui zeros lentos, existe uma soluc¸˜ao de compromisso entre uma resposta r´apida e um sobresinal pequeno. ♦
