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Localização Geométrica das Raízes: Determinação de Pólos e Zeros de Sistemas de Controle, Notas de estudo de Informática

Universidade Estácio de Sá (Estácio)Informática

Este documento explica o processo de determinação dos pólos e zeros de um sistema de controle usando a função de transferência aberta g(s)h(s) e o localização geométrica das raízes (lgr). O texto aborda as regras gerais para traçar o lgr, a determinação de pólos e zeros de malha aberta, a localização de zeros no infinito e assíntotas, e a determinação do ponto de quebra.

Tipologia: Notas de estudo

2012

Compartilhado em 04/09/2012

vanderci-curvelo-junior-1
vanderci-curvelo-junior-1 🇧🇷

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Lugar Geométrico das Raízes
•Construído diretamente a partir dos pólos e zeros da
função de transferência de malha aberta G(s)H(s).
•Os pólos de malha fechada são solução da equação
1 + G(s)H(s) = 0, ou:
→arg( G(s)H(s) ) = ±180o (2k+1), k = 0, 1, 2, ...
→|G(s)H(s) | = 1
uPara cada ponto so(do plano complexo s) que satisfaz a
condição de ângulo, arg( G (so)H(so) ), há um ganho K
correspondente que satisfaz a condição de módulo.
Lugar Geométrico das Raízes
•LGR: Gráfico dos pólos de malha fechada para todos
os valores do ganho K de 0 a ∞.
•Para traçarmos o gráfico, vimos que precisamos apenas
achar os pontos que satisfazem a condição angular (a
aplicação da condição do módulo dirá que valor de K
corresponde a uma dada localização no LGR).
•Primeiro passo: localizar os pólos (pontos de partida do
LGR) e zeros (pontos de chegada do LGR) de malha
aberta (ou seja, da função de transferência G(s)H(s) ).
•A seguir: determinar que porções do eixo real
pertencem ao LGR (ponto de teste so).
Lugar Geométrico das Raízes
→Regra geral 1: Os pontos no eixo real que encontram-
se à esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros
são parte do LGR. (por que?)
•Próximo passo:determinar o número de ramos do LGR.
→Regra geral 2: Um ramo do LGR parte de cada pólo de
malha aberta do sistema (correspondente a K = 0). Para
K →∞, cada ramo irá terminar em um zero de malha
aberta. Se o sistema tiver n pólos e mzeros finitos, com
n≥m, mramos irão terminar nos mzeros finitos, e os
n–mramos restantes irão terminar nos n–mzeros no
infinito. (→Mas onde estão estes zeros no infinito?)
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  • Construído diretamente a partir dos pólos e zeros da função de transferência de malha aberta G ( s ) H ( s ).
  • Os pólos de malha fechada são solução da equação

1 + G(s)H(s) = 0, ou: → arg( G ( s ) H ( s ) ) = ± 180 o^ (2 k +1), k = 0, 1, 2, ... → | G ( s ) H ( s ) | = 1

u Para cada ponto so (do plano complexo s ) que satisfaz a condição de ângulo, arg( G ( so )H( so ) ), há um ganho K correspondente que satisfaz a condição de módulo.

Lugar Geométrico das Raízes

  • LGR: Gráfico dos pólos de malha fechada para todos os valores do ganho K de 0 a ∞.
  • Para traçarmos o gráfico, vimos que precisamos apenas achar os pontos que satisfazem a condição angular (a aplicação da condição do módulo dirá que valor de K corresponde a uma dada localização no LGR).
  • Primeiro passo: localizar os pólos (pontos de partida do LGR) e zeros (pontos de chegada do LGR) de malha aberta (ou seja, da função de transferência G ( s ) H ( s ) ).
  • A seguir: determinar que porções do eixo real pertencem ao LGR (ponto de teste so ).

Lugar Geométrico das Raízes

→ Regra geral 1: Os pontos no eixo real que encontram- se à esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros são parte do LGR. (por que?)

  • Próximo passo:determinar o número de ramos do LGR.

→ Regra geral 2: Um ramo do LGR parte de cada pólo de malha aberta do sistema (correspondente a K = 0). Para K → ∞, cada ramo irá terminar em um zero de malha aberta. Se o sistema tiver n pólos e m zeros finitos, com n ≥ m , m ramos irão terminar nos m zeros finitos, e os n – m ramos restantes irão terminar nos n – m zeros no infinito. (→ Mas onde estão estes zeros no infinito?)

  • Zeros no infinito e assíntotas – Regra geral 3:

→ Vimos que as assíntotas originam-se no eixo real no ponto:

→ e partem ao longo dos ângulos:

n m

pólos zeros −

σ =

θ = k n m

o k

Lugar Geométrico das Raízes

  • Exemplo:

→ Passo 1: Determinar os pólos e zeros de malha aberta

  • não há zeros de malha aberta;
  • pólos de malha aberta:

→ Passo 2: Determinar o LGR no eixo real ⇒ o eixo real negativo (por que?)

→ Passo 3: Zeros no infinito ⇒ 3 zeros no infinito e, portanto, 3 assíntotas (por que?)

= Hs ss s

Gs

s = 0 e s =− 1 ± j

Lugar Geométrico das Raízes

  • Assíntotas:
    • ponto de partida:
    • ângulos:

→ Passo 4: Cada ramo do LGR parte de um pólo de malha aberta e termina em um zero finito (nenhum, neste caso) ou em um zero no infinito.

  • Um ramo inicia-se em s = 0 e percorre o eixo real negativo (→ − ∞);
  • E os outros dois ramos?

σ = j j

θ =

o k

  • Condição angular: ⇒ θ = − 45 °
  • Assim, o LR parte do pólo em s = – 1 + j com um ângulo de − 45 °
  • Como as raízes complexas ocorrem em pares conjugados ⇒ ângulo de partida a partir do pólo em s = – 1 – j é + 45°.

( ) ( ) ( ) ( ) 135 o^90 o 1 1

= =

n

j

i

m

i

Gso Hso s zi s p

∠ ( ) ( )=−θ− 225 o^ =− 180 o Gso Hso

Lugar Geométrico das Raízes

  • Uma questão permanece: como os pólos de malha fechada partem dos pólos de malha aberta (K = 0) e atingem as assíntotas (K → ∞)?
  • Considere a reta a − 45 ° a partir do pólo em s = – 1 + j.
  • Se nos movermos ao longo desta linha: → As contribuições ao argumento dos pólos em s = 0 e s = – 1 + j não irão mudar. → No entanto, a contribuição do pólo em s = – 1 – j irá diminuir. ⇒ Portanto, a fase será menos negativa do que – 180° ao longo desta linha.

Lugar Geométrico das Raízes

  • Assim, como θ deve variar para que a condição de ângulo continue sendo satisfeita?
  • Próximas considerações:
    • Em que ponto o LR corta o eixo imaginário?
    • Em que ponto sobre o eixo real os ramos partindo de pólos de malha aberta reais separam-se?
  • Para isto, considere o sistema dado por:

• LGR?

  • Pólos e zeros de malha aberta;
  • Porção do eixo real pertencente ao LGR;
  • Zeros no infinito: ângulo e ponto de partida das assíntotas.

ss s

GsHs

Lugar Geométrico das Raízes

  • Nenhum zero de malha aberta;
  • Pólos de malha aberta em: s = 0; s = – 1 e s = – 2;
  • Zeros no infinito: n – m = 3 ⇒
  • Pólo em s = – 2: LGR parte de – 2 e move-se para a esquerda, na direção – ∞;
  • E nos pólos em s = 0 e s = – 1?

ss s

KGsHs K

θ = k 1 3 0

σ= +− +−

Lugar Geométrico das Raízes

  • Pólos em s = 0 e s = – 1 → Um ramo parte de 0 e outro de – 1 ⇒ em algum ponto sobre o eixo real, os ramos se encontram e, a seguir, os pólos tornam-se complexos. ⇒ Como determinar este ponto em que os ramos se separam?
  • Voltando ao exemplo:
    • Para um ponto s pertencer ao lugar das raízes, deve- se ter:
    • Pode-se definir K ( s ) como:

ss s

KGsHs K

ss + s +

K (^) → equação característica do sistema

K ( s )= − s ( s + 1 ) ( s + 2 )

( )^3 322 =−^2 + + =

= − + + ⇒ s s s

Ks Ks s s s

2 s^2 + s + = ⇒ s =− ± − ⋅ ⋅ =−±

Lugar Geométrico das Raízes

  • Como podemos saber qual é o valor de s correspon- dente ao ponto de quebra?

⇒ Somente s 1 pertence ao LGR!!!

  • Realmente, substituindo s 1 e s 2 para determinar o respectivo valor de K :

s = − 1 ± ⇒ s 1 =− s 2 =−

Lugar Geométrico das Raízes

  • Portanto, o LGR para o sistema é da forma:
  • O que o LGR nos diz a respeito do sistema?
  • Qual é o erro de regime estacionário para uma entrada degrau unitário? - Como há um pólo em s = 0, ess = 0 para a entrada degrau.
  • Suponha que K = 0,35. O sistema é sobreamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido? - Como o ponto de quebra só ocorre para K = 0,38 , o sistema para o K dado possui 3 raízes reais → 2 muito mais lentas do que a terceira, por estarem mais próximas do eixo jω: são portanto pólos dominantes. ⇒ Com dois pólos dominantes reais, o sistema é sobreamortecido.
  • Como determinar o valor de K para o qual o sistema irá cruzar o eixo imaginário?

Lugar Geométrico das Raízes

  • Valor de K para o qual o sistema cruza o eixo imaginário: ⇒ Pode-se utilizar o critério de Routh-Hurwitz.

s s s K

K

GsHs

Gs Rs

Cs

3 2

⇒ K > 0

⇒ K < 6

⇒ 0 < K < 6 para o sistema ser estável^ ⇒^ K^ = 6 : as raízes da equação característica (pólos de malha fechada) são imaginárias.

Lugar Geométrico das Raízes

  • Para K = 6, o sistema será oscilatório, sem amortecimento. Qual é a freqüência de oscilação? → Para tanto, é necessário achar os pólos de malha fechada para este valor de K :

→ O polinômio é cúbico, mas sabemos que a raiz é imaginária. Assim, s = j ω e:

→ Assim, tanto a parte real quanto a imaginária devem ser iguais a zero:

s^3 + 3 s^2 + 2 s + 6 = 0

− j ω^3 − 3 ω^2 + 2 j ω+ 6 = 0

− ω^3 + 2 ω= 0 e− 3 ω^2 + 6 = 0