Apostila Variáveis Complexas, Notas de estudo de Cultura

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VARI ´AVEIS COMPLEXAS

Prof. Daniel Brand˜ao

Sum´ario

Cap´ıtulo 1

N´umeros Complexos

1.1 Introdu¸c˜ao

Nos primeiros dias da Matem´atica moderna, as pessoas ficavam perplexas diante de equa¸c˜oes como esta: x^2 + 1 = 0. A equa¸c˜ao parece bastante simples, mas no s´eculo sexto as pessoas n˜ao faziam id´eia de como resolvˆe-la. Isso se dava porque, para a mente do senso comum, a solu¸c˜ao parecia n˜ao ter sentido: x = ±

Por esta raz˜ao, os matem´aticos chamaram

−1 de um n´umero imagin´ario. N´os o abreviamos escrevendo “i” em seu lugar, ou seja:

i =

1.2 A ´Algebra dos N´umeros Complexos

N´umeros complexos mais gerais podem ser simplificados. Na verdade, usando os n´umeros reais a e b n´os podemos formar um n´umero complexo:

c = a + bi.

N´os chamamos a de parte real(Re(c)) do n´umero complexo e b de parte imagin´aria(Im(c)) de c. Os N´umeros a e b s˜ao n´umeros reais ordin´arios. Agora, sejam c = a + ib e k = m + in dois n´umeros complexos. Podemos encontrar a soma e a diferen¸ca de dois n´umeros complexos adicionando (sub- traindo) suas partes reais e imagin´aria independentemente:

c + k = (a + ib) + (m + in) = (a + m) + i(b + n)

c − k = (a + ib) − (m + in) = (a − m) + i(b − n) Para multiplicar dois n´umeros complexos, n´os simplesmente multiplicamos as partes reais e imagin´arias termo a termo e usamos i^2 = −1, depois agrupamos as partes real e imagin´aria: ck = (a + ib)(m + in) = (am − bn) + i(an + bm)

Para dividir dois n´umeros complexos e escrever o resultado na forma de c = a + ib, n´os vamos precisar de um novo conceito, chamado conjugado complexo. N´os encontramos o conjugado complexo de qualquer n´umero complexo fazendo i 7 → −i. Usamos ¯c para indicar o conjugado de um n´umero complexo c. Ent˜ao

¯c = a − ib

Da defini¸c˜ao, segue que:

• c = a ⇒ ¯c = ¯a = a
• c = ib ⇒ ¯c = ib¯ = −ib = −c
• c¯¯ = a −¯ ib = a + ib = c
• cc¯ = a^2 + b^2

Chamamos a quantidade cc¯ de m´odulo de c e escrevemos

|c|^2 = c¯c

O m´odulo de um n´umero complexo tem significˆancia geom´etrica como veremos mais a frente. Agora, Podemos encontrar o resultado de c/k, desde que k 6 = 0. Temos:

c k

am + bn m^2 + n^2

• i

bm − an m^2 + n^2

ck |k|^2

Dizemos que dois n´umeros complexos s˜ao iguais se, e somente se, suas partes reais e imagin´arias forem iguais. Isto ´e, c = a + ib e k = m + in s˜ao iguais se, e somente se:

a = m e b = n.

1.3 Vari´aveis Complexas

O primeiro passo na dire¸c˜ao de um c´alculo baseado em n´umeros complexos ´e a abstra¸c˜ao da no¸c˜ao de um n´umero complexo numa vari´avel complexa. N´os usaremos z para representar uma vari´avel complexa. Suas partes real e imaginaria s˜ao representadas pelas vari´aveis reais x e y, respectiva- mente. Assim, n´os escrevemos

z = x + iy. O conjugado complexo ´e, ent˜ao

¯z = x − iy.

Se z ´e raiz de um polinˆomio com coeficientes reais, ent˜ao ¯z tamb´em ´e uma raiz do polinˆomio. O m´odulo da vari´avel complexa z ´e dado por

|z|^2 = x^2 + y^2 ⇒ |z| =

x+y^2

∣z z^12

∣ = ||zz^12 ||

Uma rela¸c˜ao chamada de desigualdade triangular merece aten¸c˜ao especial:

• |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 ||z 2 |
• |z 1 + z 2 + ... + zn| ≤ |z 1 | + |z 2 | + ... + |zn|
• |z 1 + z 2 | ≥ |z 1 | − |z 2 |
• |z 1 − z 2 | ≥ |z 1 | − |z 2 |

1.6 A Representa¸c˜ao Polar

Usando coordenadas polares, n´os podemos fazer uma representa¸c˜ao polar equivalente de um n´umero complexo. Para escrever a representa¸c˜ao polar, n´os come¸caremos com a defini¸c˜ao das coordenadas polares (r, θ): x = r cos θ e y = r sin θ Sabendo que r = |z| =

x^2 + y^2 Podemos ent˜ao escrever z = x + iy como:

z = x + iy = r cos θ + ir sin θ = r(cos θ + i sin θ)

O valor de θ para um dado n´umero complexo ´e chamado de argumento de z ou arg z.

1.7 F´ormula de Euler

A f´ormula de Euler nos permite escrever a express˜ao cos θ + i sin θ em termos de uma exponencial complexa. eiθ^ = cos θ + i sin θ e−iθ^ = cos θ − i sin θ Essas f´ormulas podem ser invertidas usando-se a ´algebra para se obter as seguintes rela¸c˜oes:

cos θ =

eiθ^ + e−iθ 2

sin θ =

eiθ^ − e−iθ 2 i Essas rela¸c˜oes nos permitem escrever um n´umero complexo na forma exponencial complexa, ou mais comumente, na forma polar. Esta ´e dada por:

z = reiθ

Como os exponenciais s˜ao muito simples de se trabalhar, essa forma pode nos ajudar em alguns c´alculos, tais como:

• zw = rρei(θ+φ)
• (^) wz = (^) rhor ei(θ−φ)
• zn^ = rneinθ
• z¯ = re−iθ

Exemplo 1.7.1. Demonstre que cos z = cos x cosh y − i sin x sinh y.

Exemplo 1.7.2. Demonstre que eln^ z^ = reiθ.

1.8 O Teorema de Moivre

Sejam z 1 = r 1 (cos θ 1 +i sin θ 1 ) e z 2 = r 2 (cos θ 2 +i sin θ 2 ). Usando identidades trigonom´etricas e alguma ´algebra n´os podemos demonstrar que

• z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 ))
• z z^12 = r r^12 (cos(θ 1 − θ 2 ) + i sin(θ 1 − θ 2 ))

A f´ormula de De Moivre ´e a seguinte:

zn^ = [r(cos θ + i sin θ)]n^ = rn(cos nθ + i sin nθ)

1.9 Ra´ızes de N´umeros Complexos

Um m´umero ´e dito uma ra´ız n-´esima de um n´umero complexo z se wn^ = z, e escrevemos w = z^1 /n. Do teorema de De Moivre podemos mostrar que, se n ´e um inteiro positivo,

z^1 /n^ = {r(cos θ + i sin θ)}^1 /n

= r^1 /n

cos

θ + 2kπ n

• i sin

θ + 2kπ n

k = 0, 1 , 2 , ..., n − 1.

donde se segue que existem n valores diferentes para z^1 /n, ist´o ´e, n diferentes ra´ızes n- ´esimas de z, desde que z 6 = 0.

1.10 As n-´esimas Ra´ızes da Unidade

Considere a equa¸c˜ao zn^ = 1

onde n ´e um inteiro positivo. As en´esimas ra´ızes da unidade s˜ao dadas por

zn^ = cos 2kπ/n + i sin 2kπ/n = e^2 kπi/n, k = 0, 1 , 2 , ..., n − 1.

Se w = e^2 πi/n, ent˜ao as n ra´ızes s˜ao 1, w, w^2 , ..., wn−^1.

Exemplo 1.10.1. Encontre as quartas ra´ızes de 2.

Exemplo 1.10.2. Encontre todas as ra´ızes c´ubicas de i.

15. Prove que |z| ≤ |x| + |y| ≤

2 |z|, onde z = x + iy.

16. Prove que |z 1 | − |z 2 | ≤ |z 1 − z 2 |, quaisquer que sejam os n´umeros complexos z 1 e z 2.
17. Reduza `a forma r = eiθ^ cada um dos n´umeros complexos dados abaixo:

a. 1 + i b. 1 − i c. 1 + i

d. −

3 − i e. (^) 1+ii

f. 1+i

√ 3 √ 3 −i

18. Estabele¸ca as f´ormulas de Euler:

cos θ =

eiθ^ + e−iθ 2

e sin θ =

eiθ^ − e−iθ 2 i

19. Sendo z = reiθ, prove que |eiz^ | = e−r^ sin^ θ.

Cap´ıtulo 2

Fun¸c˜oes, Limites e Continuidade

2.1 Fun¸c˜oes Complexas

N´os definimos uma fun¸c˜ao de uma vari´avel complexa w = f (z) como sendo uma regra que atribui a cada z ∈ C um n´umero complexo w. Se a fun¸c˜ao for definida somente para um conjunto restrito S, ent˜ao w = f (z) atribuir´a a cada z ∈ S o n´umero complexo w e n´os chamaremos S de dom´ınio da fun¸c˜ao. O valor da uma fun¸c˜ao em z = a ´e indicada escrevendo-se f(a).

Exemplo 2.1.1. Considere a fun¸c˜ao f (z) = z^3 e calcule seus valores para z = i, z = 1+i.

Exemplo 2.1.2. Suponha que f (z) = z^2 z¯. Encontre f (1 + i).

Exemplo 2.1.3. Qual o dom´ınio de defini¸c˜ao para f (z) = (^) 1+^1 z 2.

Da mesma forma que um n´umero complexo, podemos escrever uma fun¸c˜ao complexa em termo das partes real e imagin´aria. Podemos escrever f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). A parte real de f ´e dada por

Re(f ) = u(x, y).

E a parte imagin´aria de f ´e dada por

Im(f ) = v(x, y).

Note que podemos simplificar o conjugado complexo de uma fun¸c˜ao. Com f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), o conjugado complexo ´e dado por

f (¯z) = f¯ (x + iy) = u(x, y) − iv(x, y)

E f´´ acil provar que

u(x, y) =

f (z) + f (¯z) 2 e

v(x, y) =

f (z) − f (¯z) 2 i .

Exemplo 2.1.4. Qual o conjugado complexo de f (z) = 1/z?

Seja f = u + iv, z = x + iy, z 0 = x 0 + iy 0 e w 0 = u 0 + v 0. Ent˜ao

lim z→a f (z) = w 0

Se, e somente se,

lim z→a u(x, y) = u 0 e lim z→a v(x, y) = v 0

2.3 Discos Abertos

Frequentemente na an´alise complexa, n´os queremos considerar uma regi˜ao circular no plano complexo. N´os chamamos tal regi˜ao de disco. Suponha que o raio seja a. Se os pontos na borda do disco, isto ´e, os pontos que se encontram na curva circular que define a borda do disco n˜ao estiverem inclu´ıdos na regi˜ao considerada, n´os diremos que o disco ´e aberto. Considere, por exemplo, um disco de raio 1, centrado na origem. N´os o indicamos escrevendo |z| < 1. Se o disco de raio r estiver centrado, ao inv´es, num ponto a, ent˜ao n´os escrevemos |z − a| < r.

Exemplo 2.3.1. Calcule limz→ 3 (iz − 1)/ 2 no disco aberto |z| < 3

Exemplo 2.3.2. Calcule limz→i(z^2 )(z + i).

Exemplo 2.3.3. Demonstre que o limite limz→ 0 z/z¯ n˜ao existe.

2.4 Limites Envolvendo Infinito

Um limite limz→a f (z) colapsa ou tende para o infinito limz→a f (z) = ∞ se, e somente se,

lim z→a

f (z)

O limite a medida que z tende para o infinito ´e igual a L se, e somente se,

lim z→ 0 f (1/z) = L

Se a equa¸c˜ao acima for verdadeira, ent˜ao n´os podemos escrever limz→∞ f (z) = L. Finalmente, lim z → ∞f (z) = ∞ se, e somente se,

lim z→ 0

f (1/z)

Exemplo 2.4.1. Demonstre que

lim z→− 2

z + 5 z + 2

2.5 Continuidade

Uma fun¸c˜ao f (z) ´e cont´ınua, em um ponto z = a, se as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas:

• limz→a f (z) existir;
• f (a) existe;
• limz→a f (z) = f (a).

Exemplo 2.5.1. Suponha que

f (z) =

z^2 para z 6 = i 0 para z = i

Demonstre que a fun¸c˜ao n˜ao ´e cont´ınua.

Exemplo 2.5.2. Demonstre que f (z) = z^3 ´e cont´ınua em z = i.

2.6 Exerc´ıcios

1. Determine as partes real e imagin´aria de cada uma das fun¸c˜oes abaixo:

a. w = z^2 − 5 z + 3 b. w = (^) z−^35 c. w = z z+2− 2 d. w = zz−+3^4 ii e. w = z−z−^3 ii¯z f. w = ez^ (z − i)

2. Calcule os limites das fun¸c˜oes de vari´aveis complexas abaixo:

a. limz→ 3 i(z^2 − 5 z) b. limz→i (^) z (^27) + c. limz→i (^4) zz+1+i = (^) 1+^5 ii d. limz→∞ z + 1/z^2 + 7 e. limz→ 0 z^2 /|z|^2 f. limz→ 0 z^2 /z¯ g. limz→ 0 Re(z)/¯z h. limz→ 0 [Im(z)]^2 /z i. limz→i 62 zz+7− 3

j. limz→i z

(^3) − 27 z− 3 l. limz→ 0 (1+z)

1 / (^4) − 1 z− 3

Cap´ıtulo 3

As Fun¸c˜oes Derivadas e Anal´ıtica

3.1 A Derivada Definida

Considere um ponto z 0 no plano complexo que f (z) seja uma fun¸c˜ao tal que seu dom´ınio contenha uma vizinhan¸ca de z 0. A derivada de f (z) no ponto z 0 ´e definida pelo limite

f ′(z 0 ) = lim z→z 0

f (z) − f (z 0 ) z − z 0

• Se esse ponto existir para todos os pontos num dom´ınio D, n´os diremos que f (z) ´e diferenci´avel em D.
• No ponto dado, se o limite existir, n´os diremos que f (z) ´e diferenci´avel no ponto z 0.

Podemos reescrever esse limite, fazendo h = z − z 0 e h → 0, da seguinte forma

f ′(z 0 ) = lim h→ 0

f (z 0 + h) − f (z 0 ) h

Defini¸c˜ao 3.1.1. Suponha que f (z) ´e diferenci´avel em uma vizinhan¸ca  do ponto z 0. Isto ´e, n´os definimos o dom´ınio D tal que |z − z 0 | <  para qualquer  > 0. Se f ′(z) existir para todo z ∈ D, ent˜ao n´os dizemos que f (z) ´e anal´ıtica no ponto z 0. Se f (z) for anal´ıtica em todo o plano complexo, ent˜ao n´os diremos que a fun¸c˜ao f (z) ´e inteira.

Exemplo 3.1.1. Sendo f (z) = z^2 , encontre sua derivada em qualquer ponto z.

Tendo em vista a defini¸c˜ao de derivada, quando f ′(z) existe, temos

lim ∆→ 0

[f (z 0 + ∆) − f (z 0 )] = lim ∆→ 0

f (z 0 + ∆) − f (z 0 ) ∆z

lim ∆→ 0

∆z = 0

Assim, f ´e necessariamente cont´ınua em todo ponto z 0 onde sua derivada existe. A continuidade da fun¸c˜ao, por´em, n˜ao implica na derivabilidade da mesma, como por exemplo a fun¸c˜ao f (z) = |z|^2. Ela ´e cont´ınua em todos os pontos, mas sua derivada s´o existe no ponto z = 0.

3.2 Regras para Diferencia¸c˜ao

• (^) dzd a = 0, onde a ´e uma constante complexa;
• (^) dzd af (z) = af ′(z);
• (^) dzd zn^ = nzn−^1
• (^) dzd (f + g) = f ′^ + g′
• Se f (z) =

n=0 anz

n, ent˜ao f ′(z) = ∑∞ n=1 nanz

n− 1

Exemplo 3.2.1. Encontre a derivada de f (z) = 5z^2 + 3z − 2.

• (^) dzd ez^ = ez
• (^) dzd sin z = cos z
• (^) dzd cos z = − sin z
• (^) dzd sinh z = cosh z
• (^) dzd cosh z = sinh z

3.3 As Regras do Produto e do Quociente

As regras do produto e do quociente tamb´em se mantˆem para o caso de vari´aveis com- plexas. Temos:

• (^) dzd (f g) = f ′^ + g′
• (^) dzd

f g

= f^

′g−g′f g^2

Exemplo 3.3.1. Encontre as derivadas de f (z) = 2 zz+1+.

Teorema 3.3.1. Sejam f (z) e g(z) duas fun¸c˜oes anal´ıticas no ponto z 0. Ent˜ao, desde que g′(z 0 ) 6 = 0, se f (z 0 ) = g(z 0 ) = 0, ent˜ao

lim z→z 0

f (z) g(z)

= lim z→z 0

f ′(z) g′(z)

Exemplo 3.3.2. Encontre o seguinte limite

lim z→i

z − i z^2 − z + 1 + i

Sejam f (z) e g(z) duas fun¸c˜oes anal´ıticas, em algum dom´ınio D. Ent˜ao:

• f ± g tamb´em s˜ao anal´ıticas em D.
• f (z)g(z) ´e anal´ıtico em D.
• Se g(z) 6 = 0 para todo ponto de D, ent˜ao f (z)/g(z) ser´a anal´ıtico em D.
• A composi¸c˜ao de duas fun¸c˜oes anal´ıticas g(f (z)) ou f (g(z)) ´e anal´ıtica em D.
• Se f ′(z) = 0 em toda a parte de um dom´ınio D, ent˜ao f (z) dever´a ser constante em D.

Exemplo 3.5.3. Determine se a fun¸c˜ao f (z) = (z^3 +1)/[(z +2)(z^2 +3)] ´e ou n˜ao anal´ıtica e determine suas singularidades.

3.6 Fun¸c˜oes Harmˆonicas

Uma importante classe de fun¸c˜oes conhecidas como fun¸c˜oes harmˆonicas desempenham um importante papel em muitas ´areas da matem´atica, f´ısica e engenharia aplicadas. Dizemos que uma fun¸c˜ao u(x, y) ´e uma fun¸c˜ao harmˆonica se ela satisfizer a equa¸c˜ao de Laplace em algum dom´ınio do plano x-y: ∂^2 u ∂x^2

∂^2 u ∂y^2

Aqui, n´os presuminos que u(x, y) tem a primeira e segunda derivadas parciais cont´ınuas, tanto em rela¸c˜ao a x quanto a y. Vˆe-se que as equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann podem nos ajudar a encontrar fun¸c˜oes harmˆonicas, como o pr´oximo teorema ilustra.

Teorema 3.6.1. Suponha que f (z) = u(x, y) + iv(x, y) seja uma fun¸c˜ao anal´ıtica em um dom´ınio D. Segue-se que u(x, y) e v(x, y) s˜ao fun¸c˜oes harmˆonicas.

Defini¸c˜ao 3.6.1. Suponha que u e v sejam duas fun¸c˜oes harmˆonicas em um dom´ınio D. Se suas derivadas parciais de primeira ordem satisfazem as equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann, ent˜ao diremos que v ´e o conjugado harmˆonico de u.

Teorema 3.6.2. Uma fun¸c˜ao f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ser´a anal´ıtica se, e somente se, v(x, y) for o conjugado harmˆonico de u(x, y).

Exemplo 3.6.1. A fun¸c˜ao u(x, y) = e−y^ sin x ´e uma fun¸c˜ao harmˆonica? Se sim, escreva uma fun¸c˜ao anal´ıtica f (z) tal que u seja a parte real.

3.7 Exerc´ıcios

1. Mostre que o produto de duas fun¸c˜oes anal´ıticas f e g ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica, com derivada (f g)′^ = f ′g + f g′.
2. Prove que o quociente de duas fun¸c˜oes anal´ıticas f e g num ponto z, onde g(z) 6 = 0, ´e fun¸c˜ao anal´ıtica e (f /g)′^ = (gf ′^ − f g′)/g^2.
3. Calcule as derivadas das fun¸c˜oes dadas abaixo:

a. f (z) = 1 − z^2 + 4iz^5 b. f (z) = (z^2 − i)^2 (iz + 1)^2 c. f (z) = zz−+3^3 ii d. f (z) = (^1) z

4. Use as equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das fun¸c˜oes dadas abaixo. Em caso positivo, calcule a derivada f ′(z).

a. w = z^3 b. w = ¯ez c. w = ¯z d. w = (ey^ + e−y) sin x + (ey^ − e−y) cos x e. w = ey(cos x + i sin x) f. w = e−y(cos x + i sin x) g. w =

z =

r[cos(θ/2 + i sin(θ/2)], 0 < θ < 2 π h. w = (z^4 − 2 i)/(z + 2i) i. w = z^2 (1 − secz) j. w =

4 − z^2 k. w = 1/(z − 2

l. w =

ez