UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
EM REDE NACIONAL
LANA PRISCILA SOUZA
CRIPTOGRAFIA RSA: A TEORIA DOS NÚMEROS POSTA EM PRÁTICA
FORTALEZA
2015
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Artigo de Matematica, Resumos de Matemática
Artigo de matematica sobre criptografia RSA
Tipologia: Resumos
Antes de 2010
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
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EM REDE NACIONAL
LANA PRISCILA SOUZA
CRIPTOGRAFIA RSA: A TEORIA DOS NÚMEROS POSTA EM PRÁTICA
FORTALEZA
LANA PRISCILA SOUZA
CRIPTOGRAFIA RSA: A TEORIA DOS NÚMEROS POSTA EM PRÁTICA
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional do Departamento de Matemática, da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de concentração: Ensino de Matemática. Orientador: Prof. Dr. José Othon Dantas Lopes
FORTALEZA
Dedico este trabalho à minha família e aos meus amigos pelo apoio de sempre em todos os meus projetos.
“ – É sobre criptografia...
- Como mensagens secretas?
- Não secretas. Essa é a parte brilhante. Mensagens que todos podem ver, mas ninguém sabe o que são, a menos que tenha a chave.
- Como isso é diferente de falar?
- Falar?
- Quando as pessoas conversam, nunca dizem o que querem. Dizem outra coisa... E esperam que você saiba o que querem dizer. Só que eu nunca sei. Então, como isso é diferente? ” (JOGO..., 2014)
RESUMO
Desde o advento da escrita, o envio de mensagens secretas tem sido uma importante maneira de guardar sigilo de informações confidenciais. A arte de elaborar mensagens a partir de códigos secretos surge na figura da criptografia que, com o passar do tempo, estende os seus serviços às transações comerciais realizadas pela internet. O principal algoritmo utilizado pela internet recebe o nome de RSA. Assim, a criptografia RSA codifica números de cartões de créditos, senhas de bancos, números de contas e utiliza para isso elementos de uma importante área da Matemática: a Teoria dos Números.
Palavras-chave : Primos. Criptografia. RSA.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Eratóstenes ....................................................................................................... 17 Figura 2 – Figura 3 – Figura 4 – Figura 5 – Figura 6 – Figura 7 – Figura 8 – Figura 9 – Figura 10 – Figura 11 –
Euclides de Alexandria .................................................................................... Pierre de Fermat ............................................................................................... Marin Mersenne ............................................................................................... Leonhard Euler ................................................................................................ Carl Friedrich Gauss ........................................................................................ Augustin-Louis Cauchy ……………………………………………………... Georg Friedrich Bernhard Riemann …………….…………………………... Máquina Enigma ………………………………………………..…………… Computador Colossus ……………………………………………………….. O trio do MIT – Rivesr, Shamir e Adleman ……………………………........
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Quantidade de primos em potências de 10 ...................................................... 27 Tabela 2 – Tabela 3 – Tabela 4 – Tabela 5 – Tabela 6 – Tabela 7 – Tabela 8 –
Matriz de substituição para o algoritmo RSA ................................................. Encriptação da palavra ALUNO ...................................................................... Desencriptação da palavra ALUNO ................................................................ Encriptação da palavra PROFMAT ................................................................. Desencriptação da palavra PROFMAT ........................................................... Encriptação da frase CRIPTOGRAFIA É ARTE ............................................ Desencriptação da frase CRIPTOGRAFIA É ARTE ......................................
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1 INTRODUÇÃO
Possuindo apenas dois divisores, os números primos têm a importante propriedade de gerar todos os outros números e, por isso, são considerados os átomos da aritmética. A história é cercada de peças que parecem pertencer e/ou ajudar a montar o gigante e incompleto quebra-cabeça dos primos. Diversos matemáticos marcaram seu nome nessa história, seja estudando a primalidade dos números, provando ideias deixadas por outros matemáticos ou tentando encontrar uma fórmula para ordená-los. A esse respeito, Sautoy (2007, p. 14) destaca:
a questão tem atormentado as mentes matemáticas de todas as épocas. Depois de mais de dois mil anos de esforços, os primos parecem resistir a qualquer tentativa de encaixá-los em um padrão reconhecível. O tambor dos primos tem tocado sua sequência de números ao longo de gerações: duas batidas, seguidas por três batidas, cinco, sete, onze. O ritmo segue em frente, e torna-se fácil acreditar que seja causado por ruído branco aleatório, sem qualquer lógica interna. No centro da matemática, que é a busca pela ordem, só escutávamos o som do caos.
Fora a ordenação dada por impossível, nos deparamos com outra questão que atormenta as mentes dos estudiosos de todos os tempos: a fatoração em primos. Já que os primos atuam como blocos para a construção de todos os outros números, como determinar os primos que compõem determinado número composto? Não que toda decomposição em primos seja impossível, longe disso! Aprendemos a utilizar fatoração de primos na escola para determinar, entre outras coisas, o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC), mas nossos trabalhos restringem-se a números didáticos e de simples compreensão. A grande questão que envolve a decomposição ou fatoração em primos diz respeito ao trabalho com números extensos (números com uma quantidade grande de algarismos). Não se tem notícia até hoje de um algoritmo que apresente baixo custo computacional e que permita a fatoração em primos de números extensos e isso, em plena era da informática, onde encontramos computadores tão potentes, é, no mínimo, questionável. Pensando nisso, Lovász, Pelikán e Vesztergombi (2013, p. 92) colocam:
é claro que supercomputadores poderosos e sistemas massivamente paralelos podem ser usados para encontrar decomposições por meio da força bruta para números um tanto grandes; o recorde atual é cerca de 140 dígitos, e a dificuldade cresce muito rapidamente (exponencialmente) com o número de dígitos. Encontrar a decomposição prima de um dado número com 400 dígitos, por qualquer dos
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métodos conhecidos, está muito além das possibilidades dos computadores no futuro previsível.
É importante destacar que o problema do custo computacional que impossibilita a fatoração de números extensos (como esses que o autor menciona) não deixou os estudiosos parados, ao contrário. A busca por um algoritmo com baixo custo que permita tal fatoração continua. E enquanto tal algoritmo não é encontrado, os números extensos difíceis de ser fatorados atendem às necessidades da codificação de informações importantes (como números de catão, senhas, contas bancárias, etc.) enviadas pela internet. Assim, graças a uma importante descoberta feita por um trio de integrantes do MIT (Instituto de Tecnologia de Massachusetts), a utilização dos primos e o “problema da fatoração de números extensos” apresentam uma aplicação prática que se estendeu à internet
- a criptografia RSA. O nascimento da criptografia na internet marca um período de avanços notórios na fase emergente da célere comunicação global. Desse modo, o trabalho objetiva a compreensão da criptografia RSA que tem por base a escrita e envio de mensagens por meio de um algoritmo que faz uso dos números primos e de outros elementos fundamentais da Teoria dos Números. Nesse contexto, o trabalho consta da apresentação do histórico da criptografia até o desenvolvimento da RSA, ponto onde a matemática passa a ter um papel de grande destaque. Com caráter bibliográfico, o trabalho procura basear-se em diversos autores como Sautoy, Hefez e Coutinho, que tratam do assunto e procuram apresentar perspectivas, visões críticas e exemplos concretos que, quando combinados, geram possibilidades para o uso da criptografia RSA. De acordo com Gil (2008, p. 50):
a pesquisa bibliográfica é desenvolvida a partir de material já elaborado, constituído principalmente de livros e artigos científicos. [...] Parte dos estudos exploratórios podem ser definidos como pesquisas bibliográficas, assim como certo número de pesquisas desenvolvidas a partir da técnica de análise de conteúdo. A principal vantagem da pesquisa bibliográfica reside no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenômenos muito mais ampla do que aquela que poderia pesquisar diretamente.
Além disso, a pesquisa bibliográfica “também é indispensável nos estudos históricos. Em muitas situações, não há outra maneira de conhecer os fatos passados senão com base em dados secundários” (GIL, 2008, p. 51). Consequentemente, a pesquisa procura realizar uma revisão bibliográfica objetivando situar o leitor no histórico dos números primos
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2 NÚMEROS PRIMOS: DEFINIÇÃO, HISTÓRICO E O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA
Os números primos vêm se mostrando desde sempre como um mistério para o mundo matemático. Como podem números definidos de forma tão simples revelar problemas tão complexos? A história desses números é cercada de quebra-cabeças, aparentemente indissolúveis, muitos dos quais só foram provados séculos depois de serem descobertos. Nesse sentido, o capítulo apresenta o conceito de números primos e uma perspectiva histórica de seu estudo, além de destacar um importante teorema que exibe os números primos como os elementos básicos à construção de todos os outros números – o teorema fundamental da aritmética.
2.1 Definição
Daremos início ao tópico definindo o nosso principal objeto de estudo: os números primos. Um inteiro positivo p 1 é primo se seus únicos divisores positivos forem 1
e p. Um inteiro p 1 que não é primo é dito composto. Assim, por exemplo, os números 2,
3, 5, 7, 11 e 13 são primos e os números 6, 8, 10, 15 e 20 são compostos. O número 1 não é considerado nem primo e nem composto. Apesar da simplicidade e naturalidade enunciadas na definição, o conjunto dos números primos surge envolto de mistérios e enigmas que, apesar de terem premissas deveras despretensiosas, são capazes de dar um trabalho de extensas proporções ao matemático mais proeminente. Questões de simples elaboração e ideias de aparência elementar permanecem incógnitas até hoje. É claro que a busca por desvendar esses mistérios continua, mesmo porque:
os matemáticos não suportam admitir a possibilidade de que talvez não exista uma explicação para o modo como a natureza escolheu os primos. Se a matemática não tivesse uma estrutura, uma simplicidade bela, não valeria a pena estudá-la. Escutar ruído branco nunca foi um passatempo muito apreciado. [...] Os números primos representam para os matemáticos um dos dilemas mais estranhos de sua disciplina. (SAUTOY, 2007, p. 14-15)
Desse modo, uma vez definido o principal ponto do trabalho, trataremos a seguir de uma breve trajetória sobre esses números tão instigantes, apontando alguns matemáticos que deram importantes contribuições à busca histórica por números primos.
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2.2 Histórico
Tendo sua história tão antiga quanto a história da descoberta dos números, o conjunto denominado de números primos apresenta-se como um dos objetos mais misteriosos de que se tem notícia no mundo matemático. Diversos matemáticos ocuparam-se com a observação e a descoberta de propriedades sobre o conjunto dos primos. Os antigos gregos já desenvolviam estudos nessa área, que mais tarde ficou conhecida como Teoria dos Números, mas, de acordo com Sautoy (2007, p. 31):
algumas pessoas acreditam que os chineses tenham sido a primeira cultura a escutar o ritmo do tambor dos primos. Eles atribuíam características femininas aos números pares e masculinas aos ímpares. Além dessa divisão conservadora, também existiam os números afeminados, formados pelos números ímpares que não são primos, como
- Há indícios de que em 1000 a.C. os chineses já haviam desenvolvido um método bastante físico de entender o que torna os primos tão especiais em relação a todos os demais números. [...] Para os chineses, os primos eram os números machões que resistiam a qualquer tentativa de separação em um conjunto de números menores.
Foram os gregos que, já suspeitando da infinidade dos primos, descobriram que eles podiam gerar todos os outros números. Uma descoberta deveras fascinante já que o conjunto dos primos se mostra, por vezes, impenetrável. Sautoy (2007, p. 31), a esse respeito, destaca:
os gregos da antiguidade também gostavam de atribuir qualidades sexuais aos números, mas foram eles que descobriram, no quarto século a.C., a capacidade dos primos de servir como blocos de construção para todos os números. Eles perceberam que todo número podia ser gerado pela multiplicação de números primos.
A descoberta grega abriu as portas para a compreensão de vários pontos estudados posteriormente na Teoria dos Números, mas não foi o bastante para que pudéssemos identificar a chamada primalidade dos números. Sautoy (2007, p.31) completa: “Apesar do rápido sucesso dos gregos na identificação dos blocos de construção da aritmética, os matemáticos ainda têm dificuldades para entender a tabela de números primos”. Acredita-se que várias tentativas foram desenvolvidas com o objetivo de identificar números primos e de criar uma tabela para representá-los. Eratóstenes (Figura 1) é um dos matemáticos mais importantes nesse estudo e a quem deve-se destaque.
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O crivo que Eratóstenes nos deixou lista os números primos menores ou iguais a um natural n. Além disso, Eratóstenes também forneceu um método para determinar se um dado número n é primo. Para tanto, basta-nos verificar que o número em questão não é
divisível por nenhum primo p que não supere n. A proposição a seguir mostra-nos tal fato.
Proposição 2.1.1 Se n é composto, o seu menor divisor diferente de 1 não é maior que n. Demonstração. Queremos mostrar que se n não possuir divisores diferentes de 1, menores ou
iguais a n , então n é primo. Para isso, considere p como o menor divisor de n diferente de
- Portanto, n pq com q p. Multiplicando ambos os membros da desigualdade por p ,
obtemos n pq p^2 e, consequentemente, (^) n p.
Apesar disso, somos levados a repetir que mesmo que a proposição tenha auxiliado no trabalho com a determinação de um primo, até ela tem um limite e esse limite é dado pela quantidade de dígitos de um dado número. Para uma grande quantidade de dígitos, a busca pela primalidade, por meio do crivo e da proposição, mostra-se impraticável. Mesmo assim, a descoberta de números primos tornou-se o passatempo preferido de muitos matemáticos e curiosos. Seja programando o crivo de Eratóstenes em computador, seja utilizando outros métodos, a descoberta de primos parece, apesar de exaustiva, verdadeiramente excitante. Euclides de Alexandria (Figura 2) também deu sua contribuição na busca incansável pelos números primos.
Figura 2
Fonte: Disponível em: < http://www.geometriaanalitica.com.br/artigos/euclides.html>. Acesso em: 25/02/2015.
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Mestre, escritor de origem provavelmente grega, matemático da escola platônica e conhecido como o Pai da Geometria, Euclides nasceu na Síria e realizou seus estudos em Atenas. É até hoje, na história da Matemática, considerado como um dos mais significativos estudiosos deste campo na antiga Grécia. Suas fábulas são contadas pelos gregos que acompanharam suas peripécias pelo mundo matemático. Euclides integrava o instituto de pesquisa estabelecido por Ptolomeu I em Alexandria e lá escreveu uma das obras mais importantes da história. Os elementos , obra de Euclides, estabelecia axiomas (verdades autoevidentes) da geometria, além de tratar das propriedades dos números, isto é, além dos volumes destinados à geometria, alguns dos volumes ocupavam-se de uma espécie de versão grega da Teoria dos Números. Assim, sobre a obra escrita pelo matemático, pode-se afirmar que:
a parte central dos Elementos de Euclides lida com as propriedades dos números; nela se encontra o que talvez seja o primeiro momento brilhante do raciocínio matemático. Na proposição 20, Euclides explica uma verdade simples, porém fundamental, sobre os números primos: há um número infinito deles. A ideia começa pelo fato de que todo número pode ser gerado pela multiplicação de primos. (SAUTOY, 2007, p. 45)
Desta forma, ressaltamos que a primeira demonstração que garante a existência de infinitos primos deve-se a Euclides e foi formulada há cerca de 300 a.C. Euclides toma por base o argumento grego que diz que os primos são os blocos de construção de todos os outros números e questiona-se sobre a quantidade de blocos existentes. Euclides acreditava não ser possível construir todos os números multiplicando as diferentes combinações de um bloco fixo de primos, pois pensou nos outros números que não poderiam ser gerados pelo bloco em questão. Não se sabe se a ideia foi do próprio Euclides ou se ele registou a ideia de algum pensador de Alexandria, mas o matemático demonstrou a maneira de construir primos que não fizessem parte de nenhuma lista fixa. Seu toque de mestre permitiu que ele pegasse uma lista de, por exemplo, 4 primos e adicionasse 1 ao seu produto. O número gerado pelo produto sempre deixava resto 1 quando dividido por qualquer um dos primos da lista, ou seja, o novo número era ele próprio primo ou era gerado por primos que não estivessem na lista fixada inicialmente. O Teorema de Euclides, bem como sua demonstração, é apresentado a seguir.
Teorema 2.1.1 (Teorema de Euclides) A quantidade de números primos é infinita.