2aLei de Newton em Coordenadas Polares
A figura 1 exibe as coordenadas polares (r, θ) de um ponto de uma trajet´oria arbitr´aria:
θ
er
eq
v
r
dθ
x
y
Figura 1: Coordenadas Polares
Neste sistema de coordenadas, a segunda lei de Newton assume a forma
XFr=mar=m(¨r−r˙
θ2) = m(¨r−rω2)
XFθ=maθ=m(r¨
θ+ 2 ˙r˙
θ) = mµ1
r
d
dt ¡r2ω¢¶=m(rα + 2 ˙rω).
Prova:
Para a velocidade e a acelera¸c˜ao do ponto, tem-se, por defini¸c˜ao:
v=vr+vθ∴a=ar+aθ,
onde
vr=dr
dt = ˙r;vθ=ds
dt =rdθ
dt =r˙
θ=rω
Para determinar as componentes polares da acelera¸c˜ao, a figura 2 mostra o que ocorre com
o movimento do ponto entre (r, θ)e(r+dr, θ +dθ):
vr
dθ
vθ
dθ
(dvr)θ(dvr)r
(dvθ)r
(dvθ)θ
dvθ
dvr
Figura 2: Movimento do ponto
Desta figura obtem-se, para as componentes de dvr:
