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Derivadas I
Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x Reveja o capítulo introdutório de LIMITES, clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu BROWSER. Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais.
Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x0 para x0 + x0 :
Se você não entendeu porque o quociente acima é igual à tg , revise TRIGONOMETRIA, clicando AQUI. Para RETORNAR, clique em VOLTAR no seu BROWSER. Define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0, como sendo o limite da
razão incremental acima, quando x0 tende a zero, e é representada por f ' (x0) , ou seja:
Nota: a derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y ' ou dy/dx.
Observe que quando x0 0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com
o ponto P da mesma figura., definindo a reta r , que forma um ângulo com o eixo horizontal (eixo das abcissas), e, neste caso, o ângulo S P Q = .tende ao valor do ângulo . Ora, quando x0 0 , já vimos que o quociente y0 / x0 representa a derivada da função y = f(x) no ponto x0. Mas, o quociente y0 / x0 representa , como sabemos da Trigonometria, a tangente do ângulo S P Q = , onde P é o vértice do ângulo. Quando x0 0 , o ângulo S P Q = ,
tende ao ângulo . Assim, não é difícil concluir que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0 , é
igual numericamente à tangente do ângulo . Esta conclusão será muito utilizada no futuro. Podemos escrever então: f '(x0) = tg
Guarde então a seguinte conclusão importante: A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x = x0. Estou falando há muito tempo em DERIVADAS, e ainda não calculei nenhuma! Vamos lá! Existem fórmulas para o cálculo das derivadas das funções - as quais serão mostradas no decorrer deste curso - mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma função simples, usando a definição. Isto servirá como um ótimo exercício introdutório, que auxiliará no entendimento pleno da definição acima.
Calcule a derivada da função y = x2 , no ponto x = 10. Temos neste caso: y = f(x) = x f(x + x) = (x + x)2 = x2 + 2x. x + ( x) f(x + x) - f(x) = x2 + 2x. x + ( x)2 - x2 = 2x. x + ( x)
y = f(x + x) - f(x) = x2 + 2x. x + ( x)2 - x2 = 2x. x + ( x) Portanto,
Observe que colocamos na expressão acima, x em evidencia e, simplificamos o resultado obtido. Portanto a derivada da função y = x2 é igual a y ' = 2x.
