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Ficha n.
o 1 – Página 148 5. POLINÓMIOS
2 2 2 2 2 3 x − 4 x + 2 − 4 x − 1 = 3 x + 6 x − 4 x − 8 − 16 x − 8 x + 1 = 3 x + 6 x − 4 x − 8 − 16 x + 8 x − 1 =
2
= − 13 x + 10 x − 9
2 2
2 x − 1 ^ x − 2 x 3 x + 2 = 2 x − 1 x − 6 x − 4 x = 2 x − 1 − 3 x − 6 x =
2 3 2 3 = − 6 x − 12 x + 3 x + 6 x = − 12 x + 3 x
2 3 2 3 2
x x x x x x x x x x x
2 3 2 4 3 2
x x 3 x 1 4 x x 3 x x 4 x 4 x 12 x 4 x
+ − × = + − = + −
2. Opção correta: (A)
2 2 x + 3 x − 4 , porque num polinómio o expoente da variável x tem que ser natural, o que não
acontece com x.
3. Opção correta: (A)
2 2 2 2 P x = x + 1 x − 1 − x − 3 = x − 1 − x − 6 x + 9 = x
2 − 1 − x + 6 x − 9 = 6 x − 10
O grau de P ( x )é 1
4. Opção correta: (C)
Se B x ( )tem grau 3 e C x ( )tem grau 4, então B x ( ) + C x ( )tem grau menor ou igual a 4, logo no
máximo B x ( ) + C x ( )terá grau 4.
Se A x ( )tem grau 2 e B x ( ) + C x ( ) tem, no máximo, grau 4, então A x ( ) B x ( ) + C x ( )
terá, no
máximo, grau 2 + 4 = 6.
5. Opção correta: (C)
Ficha n.
o 1 – Página 149
a)
2
b
AB BC x x x x
A
× +
b)
2 2 2
2
l
A AB BE BE BC AC BE
x x x x x x
x x x x x x x x
x x
= × + × + ×
c)
2
3 2 2
3 2
b
x x
V A h x
x x x x
x x
x
= × = + × +
6.2. Como o triângulo [ ABC ]é retângulo, aplicando o Teorema de Pitágoras:
2 2 2
2 2 2
2
x x x
x x x x x
x x
x
x x
x x
Como x represente um comprimento, conclui-se que x = 3.
3 2
V = × + × + × = u.v.
Ficha n.
o 2 – Página 150 5. POLINÓMIOS
1. Opção correta: (C)
Repare que x + 2 = x − −( 2 ). Aplicando a regra de Ruffini,
O resto da divisão de
2 x + x + 4 por x + 2 é 6.
2.1. Aplicando a regra de Ruffini,
Logo, (^) ( )
2 Q x = 4 x − 7 e R (^) ( x (^) ) = − 50.
2.2. (^) ( )
4 3 4 3 2 A x = 3 x − 5 x − 11 x = 3 x − 5 x + 0 x − 11 x + 0 e B x ( (^) ) = x + 3 = x − (^) ( − (^3) )
Aplicando a regra de Ruffini,
Logo, (^) ( )
3 2
Q x = 3 x − 14 x + 42 x − 137 e R (^) ( x (^) ) = 411
2.3. (^) ( )
2 2 A x = 2 x + 9 x = 2 x + 9 x + 0 e (^) ( )
B x = x −.
Aplicando a regra de Ruffini,
Logo, Q x ( (^) ) = 2 x + 10 e R (^) ( x (^) ) = 5
2.4. (^) ( )
5 4 5 4 3 2 A x = x − 16 x − 16 x − 7 = x − 16 x + 0 x + 0 x − 16 x − 7 e (^) ( )
B x x x
Aplicando a regra de Ruffini,
Logo, (^) ( )
4 3 2
Q x = x − x + x − x − e (^) ( )
R x = −
2.5. (^) ( )
3 2
A x = 3 x − 13 x + 22 x − 7 e (^) ( )
B x x x
Repare que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A x B x Q x R x x Q x R x x Q x R x
= × + = − × + = − × +
Aplicando a regra de Ruffini,
Assim, (^) ( )
2
3 × Q x = 3 x − 12 x + 18 , logo, (^) ( )
2
Q x = x − 4 x + 6 e R (^) ( x (^) ) = − 1
2.6. ( )
2 3 4 3 2
A x = 2 x + 5 x − 4 x + 5 = 2 x + 5 x + 0 x − 4 x + 5 e ( )
B x x x x
^
Repare que (^) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A x B x Q x R x x Q x R x x Q x R x
= × + = + × + = + × +
Aplicando a regra de Ruffini:
Assim, (^) ( )
3
2 Q x = 2 x − 4 , logo (^) ( )
3
Q x = x − 2 e R (^) ( x (^) ) = 15
2.7. (^) ( )
4 3 4 3 2 A x = 2 x − 6 x − 16 x + 18 = 2 x − 16 x + 0 x − 6 x + 18 e (^) ( ) ( )
x
B x = − = x − = x −
Repare que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
A x B x Q x R x Q x R x x Q x R x x Q x R x
= × + = − × + = − × + = − × +
Aplicando a regra de Ruffini,
Assim, (^) ( )
3
Q x = x − , logo (^) ( )
3
Q x = 4 x − 12 e R (^) ( x (^) ) = − 30.
2.8. (^) ( )
5 4 3 2 A x = x + x − 6 x − x − x + 2 e B x ( (^) ) = (^) ( x − (^2) ) (^) ( x + (^3) )
Repare que A x ( (^) ) = B x Q x ( ) ( (^) ) + R (^) ( x (^) ) = (^) ( x − (^2) ) (^) ( x + (^3) ) Q x ( (^) ) + R (^) ( x )
Aplicando a regra de Ruffini,
Assim, (^) ( ) ( )
4 3 x + 3 Q x = x + 3 x − x − 3 e R (^) ( x (^) ) = − 4
Logo, ( ) ( ) ( )
4 3 2
3 2
x x x x
Q x x x x x
x
Deste modo, ( ) ( ) ( )
3 2 A x = x − 1 ^ x − 1 x + 4 x + 8 x + 11 + 12 + 3 ⇔
3 2 ⇔ A x = x − 1 x − 1 x + 4 x + 8 x + 11 + x − 1 × 12 + 3 ⇔
(^2 3 )
⇔ A x = x − 1 x + 4 x + 8 x + 11 + 12 x − 12 + 3 ⇔
2 3 2
⇔ A x = x − 1 x + 4 x + 8 x + 11 + 12 x − 9
Logo, ( )
3 2
Q x = x + 4 x + 8 x + 11 e R ( x ) = 12 x − 9
Ficha n.
o 2 – Página 151
3.1. A afirmação é verdadeira. Aplicando a regra de Ruffini,
3.2. A afirmação é falsa. Aplicando a regra de Ruffini,
O polinómio-quociente e o polinómio-resto são, respetivamente,
2 3 x + 6 x − 1 e
3.3. A afirmação é falsa.
D = d × q + r , logo ( ) ( )( )
2 3 2 3 2
P x = 3 x + 4 x + 1 + 5 = 3 x + 3 x + 4 x + 4 + 5 = 3 x + 4 x + 3 x + 9
3.4. A afirmação é falsa.
Se P ( x ) = Q x ( ), então
a a a
a b b b
b c c c
=^ =^ =
, logo a = 3 , b = − 1 e c = 3.
3.5. A afirmação é falsa. Repare que
x x
. Aplicando a regra de Ruffini,
O resto da divisão de P ( x )por
x − é 0, logo o polinómio P ( x )é divisível por
x −.
4. Como o polinómio é divisível por x − a , c = 0. Mas
2
− 4 + 3 a − a = c , logo,
2 2
a a a a a
a a a a a
Como a ∈ ℤ , a = − 1.
Por outro lado, b + 2 a = 3 ⇔ b + 2 × −( 1 ) = 3 ⇔ b = 5.
Ficha n.
o 2 – Página 152
6. Aplicando a regra de Ruffini,
O quociente da divisão inteira de A x ( (^) )por B x ( (^) )é
2
2 x −5.
7. Aplicando a regra de Ruffini,
O resto da divisão inteira de D x ( )por d ( x )é 10.
8. ( ) ( )
3 2
P x = a − 1 x − x − 18 x + 9
Aplicando a regra de Ruffini,
( a − 1 )
3 3 a − 3 9 a − 12 27 a − 90
a − 1 3 a − 4 9 a − 30 27 a − 81
Como P ( x )é divisível por x − 3 , então o resto é zero, logo,
a − = ⇔ a = ⇔ a = ⇔ a =
9. Repare que x + 2 = x − −( 2 ). Aplicando a regra de Ruffini,
3 5 b + 2 – 1^ – 5
- 2 – 6^ − 10 b + 8 20 b − 14
3 5 b^ −^4 −^10 b +^720 b^ +^19
O termo de grau 1 do quociente da divisão inteira dos polinómios apresentado é 5 b − 4. Sabendo que
este é zero, então,
b − = ⇔ b = ⇔ b =
Ficha n.
o 2 – Página 153
10. Aplicando a regra de Ruffini,
1 – 1 – 1 2 c − 5
1 0 – 1 2 c − 6
O resto da divisão inteira dos polinómios apresentados é 2 c − 6.
Sabendo que este é 3, então,
c − = ⇔ c = ⇔ c =
11. P ( x ) = ( 2 x − 2 ) Q x ( ) + R x ( ) = ( 2 x − 2 ) ( 3 x − 1 ) − 5 = 2 ( x − 1 ) ( 3 x − 1 ) − 5 = ( x − 1 ) × 2 3( x − 1 ) − 5 =
= ( x − 1 ) ( 6 x − 2 ) − 5
Logo, o quociente e o resto da divisão inteira de P ( x )por x − 1 são, respetivamente, 6 x − 2 e – 5
2 2 2
P x x Q x R x x x x x x x
= − + = − − + = − − + = − × − + =
2
x x
Logo, o quociente e o resto da divisão inteira de P ( x )por
x − são, respetivamente,
2 2 x − 4 e 1.
Se A x ( ) = B x ( ), então ( )
V
a a
b b
2
A x = x − 6 x + 5 e ( )
2 2
B x = x − 2 ax + a − b. Se A x ( ) = B x ( ), então
2 2
V
a
a a
b
a b b
−^ = −^ ⇔^ =^ ⇔
Ficha n.
o 3 – Página 155
4 3
A 1 = 1 − 1 − 2 × 1 + 2 = 1 − 1 − 2 + 2 = 0
2.2. x + 2 = x − −( 2 )
3 2 4 B − 2 = 2 × − 2 + 7 × − 2 + 2 × − 2 − 8 = − 2 + 7 × 4 − 4 − 8 = − 16 + 28 − 4 − 8 = 0
4 3 2
C 4 = 4 − 6 × 4 + 5 × 4 + 18 × 4 − 24 = 256 − 6 × 64 + 5 × 16 + 72 − 24 = 256 − 384 + 80 + 72 − 24 = 0
Logo C x ( )é divisível por x − 4
4 3 2 C 2 = 2 − 6 × 2 + 5 × 2 + 18 × 2 − 24 = 16 − 6 × 8 + 5 × 4 + 36 − 24 = 16 − 48 + 20 + 36 − 24 = 0
Logo, C x ( ) é divisível por x − 2
Se C x ( )é divisível por x − 1 e por x − 2 , então é divisível pelo seu produto.
2.4. x ( x − 5 ) = ( x − 0 )( x − 5 )
4 3 2
D = − × + × − = Logo, D x ( ) é divisível por x.
4 3 2 4 4
D = − × + × − = − + − = − =
Logo, D x ( )é divisível por x − 5. Se D x ( )é divisível por x e por x − 5 também é divisível pelo seu
produto.
( ) (^ )(^ )(^ )^ (^ )(^ )^ (^ )
2 x x − 4 = x − 0 x − 2 x + 2 = x − 0 x − 2 x − − 2
2 3 2 E 0 = 2 × 0 − 3 × 0 − 8 × 2 + 12 × 0 = 0
Logo, E ( x )é divisível por x.
4 3 2
E 2 = 2 × 2 − 3 × 2 − 8 × 2 + 12 × 2 = 2 × 16 − 3 × 8 − 8 × 4 + 24 = 32 − 24 − 32 + 24 = 0
Logo E ( x )é divisível por x − 2.
4 3 2
E − 2 = 2 × − 2 − 3 × − 2 − 8 × − 2 + 12 × − 2 = 2 × 16 + 3 × 8 − 8 × 4 − 24 = 32 + 24 − 32 − 24 = 0
Logo E ( x )é divisível por x + 2.
Assim, se E ( x )é divisível por x , por x − 2 e por x + 2 então também é divisível pelo seu produto.
2.6. ( x − 1 ) ( x + 2 ) ( x − 3 ) = ( x − 1 ) x − −( 2 ) ( x − 3 )
3 2 F 1 = 1 − 2 × 1 − 5 × 1 + 6 = 1 − 2 − 5 + 6 = − 1 + 1 = 0
Logo, F ( x )é divisível por x − 1.
3 2
F − 2 = − 2 − 2 × − 2 − 5 × − 2 + 6 = − 8 − 2 × 4 + 10 + 6 = − 8 − 8 + 10 + 6 = − 16 + 16 = 0
Logo, F ( x )é divisível por x + 2.
3 2 F 3 = 3 − 2 × 3 − 5 × 3 + 6 = 27 − 18 − 15 + 6 = 0
Logo, F ( x ) é divisível por x − 3.
Assim, se F ( x )é divisível por x − 1 , x + 2 e x − 3 , então é divisível pelo seu produto.
P x a x x x x
e x + 2 = x − −( 2 )
P a a a
− = ⇔ − + − + − − − − = ⇔ × × − × − × − = ⇔ − =
⇔ a = −
Logo, ( ) ( )( ) ( )
P x x x x x
Ficha n.
o 3 – Página 157
8.1. H ( x ) = x + 2 = x − ( − 2 )
V ( − 2 )= 0
3 2
V − 2 = − 2 − 2 × − 2 − 4 × − 2 + 8 = − 8 − 8 + 8 + 8 = 0
prisma base
V = A ×altura
Seja A x ( ), a expressão, em função de x , que representa a área da base do prisma, então
V x
V x A x H x A x
H x
= × ⇔ =
Sabe-se por 8.1. que V ( x )é divisível por H ( x ), utilizando a regra de Ruffini,
Logo, ( )
2 A x = x − 4 x + 4.
8.3. A área total do prisma é dada pela soma da área dos quatro retângulos correspondentes às faces
laterais com a área das duas bases, que têm a forma de quadrados.
Repare que ( ) ( ) ( )( )
2 2
base
A = A x = x − 4 x + 4 = x − 2 = x − 2 x − 2
Ou seja, a aresta da base pode ser dada, em função de x , por x − 2.
Assim, a área total do prisma,
2 2 2 2 2 2 4 × x − 2 x + 2 + 2 × x − 2 = 4 x − 4 + 2 x − 4 x + 4 = 4 x − 16 + 2 x − 8 x + 8 = 6 x − 8 x − 8
Pelo Teorema do Resto, para f ( x )ser divisível
por x − a , f ( a ) = 0. Por observação do gráfico
da figura ao lado,
f ( a ) = 0 ⇔ a ≃ −4,94 ∨ a ≃−1,
8.4. A área lateral do prisma é igual à soma das áreas dos 4 retângulos, logo a expressão, em função de
x , da área lateral do prisma é dada por ( )( ) ( )
2 2
4 x − 2 x + 2 = 4 x − 4 = 4 x − 16
Assim, sendo a área lateral igual a 20,
2 2 2 2
x − = ⇔ x = ⇔ x = ⇔ x = ⇔ x = =
As dimensões do prisma são x + 2 = 3 + 2 = 5 e x − 2 = 3 − 2 = 1 , logo, a altura será 5 e a aresta da
base é igual a 1.
9. P a ( ) + P ( − a )=
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 (*)
n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a
= − − + + − − − − − + = + − − − − − + + + =
Como 2 n + 1 representa um número ímpar, ( )
2 1 2 1
n n a a
− = −.
Como 2 n representa um número par, ( )
2 n (^) 2 n
− a = a.
Assim,
2 1 2 1 2 2 2 2
(*) 2 2 2 2 2
n n n n n n
a a a a a a
= − − − + = − + = −
1.5. Aplicando a regra de Ruffini:
2 4 3 2 2 x − 10 x + 24 x + 10 x − 25 = x − 5 x − 1
2 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇔ x = ± 1 ⇔ x = ± 1
Logo, ( ) ( )( )
4 3 2 2
x − 10 x + 24 x + 10 x − 25 = x − 5 x + 1 x − 1
1.6. Repare que
2
x x x
. Aplicando a regra de Ruffini:
Logo, ( )
3 2
x x x x x x
2.1. Aplicando a regra de Ruffini,
Logo, ( ) ( )
3 2 2
x + 5 x + 3 x − 9 = x + 3 x − 1 , sendo – 3 uma raiz dupla, ou seja, tem multiplicidade 2.
2.2. Aplicando a regra de Ruffini,
Como o polinómio admite a raiz 2, aplicando a regra de Ruffini,
Logo, ( ) ( ) ( )
4 3 2 2
x + x − 7 x − x + 6 = x + 3 x − 2 x − 1 , sendo – 3 uma raiz simples.
2.3. Aplicando a regra de Ruffini,
Logo, (^) ( ) ( )
2 4 3 2 x + 10 x + 36 x + 54 x + 27 = x + 3 x + 1 , sendo – 3 raiz de multiplicidade 3.
