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Apontamentos 5 – Polinómios
Matemática A - 10 º ano - Ensino Secundário
Nota:
- O grau do polinómio soma 𝐴
é sempre inferior ou igual ao maior
grau dos termos de 𝑨
e de 𝑩
- O grau do polinómio produto 𝐴
× 𝐵
é igual à soma dos graus de 𝑨
e 𝑩
sendo 𝐴
e 𝐵
dois polinómios não nulos.
Polinómio na variável 𝒙
Um polinómio de grau 𝒏 (𝑛 ∈ ℕ
0
) na variável 𝒙, na forma reduzida e ordenada , é uma
expressão da forma:
𝒏
𝒏
𝒏−𝟏
𝒏−𝟏
𝟏
𝟎
, com 𝑎
𝑛
𝑛− 1
1
0
𝑛
𝑛
𝑛− 1
1
0
são os coeficientes do polinómio.
Exemplo 1 :
5
3
- 3 𝑥 + 4 é um polinómio de grau 5 , em que:
5
4
3
2
1
= 3 e 𝑎
0
Adição, subtração e multiplicação de polinómios (revisão)
- A soma algébrica de polinómios, é a soma algébrica dos monómios semelhantes
não nulos que constituem os polinómios.
- A subtração de polinómios pode ser obtida adicionando ao polinómio aditivo o
simétrico do polinómio subtrativo, ou seja, 𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥) = 𝐴(𝑥) + (−𝐵(𝑥)).
- O produto de dois polinómios obtém-se multiplicando cada termo de um
polinómio por cada termo do outro polinómio (recorrendo à propriedade distributiva
da multiplicação relativamente à adição), e de seguida, adicionam-se os
monómios semelhantes.
Exemplo 2 :
Considere os polinómios:
3
2
3
2
Determine os polinómios reduzidos e ordenados definidos por:
2
× 𝐷
Resolução:
3
3
2
2
3
3
2
3
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2. 4. 𝐵(𝑥) × 𝐷(𝑥) = (−𝑥
2
3
2
2
3
2
Exemplo 3 :
Considere os polinómios 𝐴(𝑥) = 3 𝑥
3
𝑛
Determine o valor de 𝑛, sabendo que 𝐵(𝑥) × 𝐴(𝑥) é um polinómio de grau 5.
Resolução:
× 𝐴
𝑛
3
𝑛+ 3
𝑛+ 1
𝑛
3
O grau de 𝐵
× 𝐴
é 𝑛 + 3 , portanto, 𝑛 + 3 = 5 e então, 𝑛 = 2.
Exemplo 4:
Determine a divisão inteira de 𝐴
3
2
− 3 por 𝐵
2
Resolução:
1º Passo:
Ordenar o polinómio 𝐴
pelas potências
decrescentes de 𝑥, colocando todos os
seus termos.
3
2
3
2
2º Passo:
Dividir o monómio de maior grau de 𝐴
pelo monómio de maior grau de 𝐵(𝑥)
3
2
3º Passo:
Efetuar o produto de − 2 𝑥 por 𝐵(𝑥) e
subtrair este polinómio a 𝐴(𝑥) (que
corresponde somar o simétrico desse
polinómio a 𝐴(𝑥)).
4º Passo:
Repetir o 2º passo, ou seja, dividir o
monómio 9 𝑥
2
por 3 𝑥
2
5º Passo:
Efetuar o produto de 3 por 𝐵(𝑥) e subtrair
este polinómio ao resto parcial, que é o
polinómio 9 𝑥
2
Exemplo 5 :
Determine a divisão inteira de 𝐴(𝑥) = 2 𝑥
3
2
− 2 𝑥 por 𝐵(𝑥) = 𝑥
2
Resolução:
Exemplo 6 :
Sejam 𝐴
4
− 3 𝑥 + 1 e 𝐵
2
− 2. Determine o quociente 𝑄
e o resto 𝑅
da divisão de 𝐴(𝑥) por 𝐵(𝑥).
Resolução:
em que 𝑄
2
Regra de Ruffini
A Regra de Ruffini é um algoritmo que permite determinar o polinómio quociente e o
polinómio resto da divisão inteira de polinómios, quando o polinómio dividendo tem grau
superior ou igual a um e o polinómio divisor é um polinómio da forma 𝒙 − 𝒂, com 𝑎 ∈ ℝ.
6º Passo:
O último número obtido, neste caso 5 , é o
resto da divisão; os valores anteriores
1 , 3 , − 6 e 1 são os coeficientes do
polinómio quociente, isto é,
3
2
− 6 𝑥 + 1 , que sabemos
que é de grau 3 , uma vez que o dividendo
é de grau 4 e o divisor é de grau 1.
Exemplo 8:
Considere os polinómios:
4
2
− 𝑥 + 3 e 𝐵
Determine o polinómio quociente e o polinómio resto da divisão inteira de 𝐴(𝑥) por
8.1. utilizando o algoritmo da divisão;
8.2. utilizando a regra de Ruffini.
Resolução:
Exemplo 9:
Aplique a regra de Ruffini para determinar o polinómio quociente e o polinómio resto na
divisão de 𝐴(𝑥) por 𝐵(𝑥), sendo:
3
2
- 2 𝑥 + 8 e 𝐵(𝑥) = 2 𝑥 + 4.
Resolução:
Como 𝐵(𝑥) = 2 𝑥 + 4 = 2 (𝑥 + 2 ), então:
Portanto,
2
2
A regra de Ruffini pode ser estendida à divisão inteira de polinómios em que o polinómio
divisor seja um polinómio qualquer do 1º grau, isto é, da forma 𝒂𝒙 − 𝒃, 𝒂 ∈ ℝ, 𝒂 ≠ 𝟎.
Sendo 𝑄(𝑥) e 𝑅(𝑥) o quociente e o resto, respetivamente, da divisão inteira de 𝐴(𝑥) por
𝑎𝑥 + 𝑏, tem-se:
Um polinómio 𝑃
é divisível por 𝒙 − 𝒂 se e somente se 𝑷
Exemplo 12 :
Determine para que valores de 𝑎 e de 𝑏 o polinómio 𝐴
3
2
por 𝑥 + 1 e o resto da divisão por 𝑥 − 2 é igual a 6.
Resolução:
- Como 𝐴(𝑥) é divisível por 𝑥 + 1 , então 𝐴(− 1 ) = 0.
- Se o resto da divisão de 𝐴(𝑥) por 𝑥 − 2 é igual a 6 , então 𝐴( 2 ) = 6.
Logo, tem-se:
3
2
3
2
Multiplicidade da raiz
Sendo 𝒂 uma raiz do polinómio 𝑃
, a multiplicidade de 𝒂 é o maior número natural 𝑛 tal
que existe um polinómio 𝑃(𝑥), com 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)
𝑛
Exemplo 14:
Decomponha em fatores cada um dos polinómios:
2
2
Exemplo 13 :
O polinómio 𝑃(𝑥) = 2 𝑥
3
2
- 4 𝑥 + 4 admite 2 como raiz. Determine a multiplicidade
dessa raiz.
Resolução:
Aplicando a regra de Ruffini, pode-se fazer sucessivas
divisões por 𝑥 − 2 para determinar a multiplicidade da raiz 2.
2 é uma raiz de multiplicidade 2 ( raiz dupla ).
Portanto, 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2 )
2
Fatorização e raízes de um polinómio
Se um polinómio 𝑃
, de grau 𝑛 ∈ ℕ, tem 𝑘 raízes distintas 𝛼
1
2
𝑘
, com multiplicidades
1
2
𝑘
, respetivamente, então 𝑛
1
2
𝑘
≤ 𝑛 e existe um polinómio 𝑄
, sem
raízes tal:
1
𝑛
1
(𝑥 − 𝛼
2
𝑛
2
… (𝑥 − 𝛼
𝑘
𝑛
𝑘
𝑄(𝑥).
Exemplo 16 :
Sabendo que 𝑃
4
3
2
- 𝑥 + 2 admite − 1 e 2 como raizes, fatorize o
polinómio.
Resolução:
Aplicando a regra de Ruffini, tem-se:
Assim, 𝑃
4
3
2
2
E desta forma, 𝑃
2
1
9
1
3
1
3
Resolução de equações polinomiais de grau superior ao segundo
Para resolver-se uma equação de grau superior a dois, deve ter-se em conta os seguintes
passos:
- 1º passo: Escrever a equação na forma 𝑃
- 2º passo: Decompor 𝑃(𝑥) em fatores de grau 1 e/ou grau 2.
- 3º passo: Aplicar a lei do anulamento do produto.
- 4º passo: Resolver as equações de grau 1 e/ou grau 2 obtidas.
- 5º passo: Apresentar o conjunto solução.
Exemplo 17 :
Resolva, em ℝ , a equação 2 𝑥
3
− 14 𝑥 − 12 = 0 sabendo que − 1 é uma solução
da equação.
Resolução:
Como − 1 é solução da equação, então recorrendo à regra de Ruffini, vem:
Logo, 2 𝑥
3
2
2
2
− 4 × 2 ×
2 × 2
Portanto,
Resolução de inequações polinomiais de grau superior ao segundo
Para resolver-se uma inequação de grau superior a dois, deve ter-se em conta os seguintes
passos:
- 1º passo: Transformar a condição numa das seguintes formas:
𝑃(𝑥) < 0 , 𝑃(𝑥) > 0 , 𝑃(𝑥) ≤ 0 ou 𝑃(𝑥) ≥ 0.
- 2º passo: Decompor 𝑃(𝑥) em fatores de grau 1 e/ou grau 2.
- 3º passo: Estudar num quadro o sinal de cada fator.
- 4º passo: De acordo, com o estudo feito no passo anterior, apresentar a condição que
corresponde aos valores de 𝑥 que são solução da inequação.
- 5º passo: Apresentar o conjunto solução.
Exemplo 19 :
Resolva, em ℝ ,a inequação −𝑥
4
3
2
3
𝑥
2
2
- 6 𝑥 − 6 ≥ 0 , sabendo que 1 e 2 são
raízes do polinómio − 2 𝑥
4
3
2
Resolução:
4
3
2
4
3
2
C.A.
4
3
2
Como 1 e 2 são raízes do polinómio − 2 𝑥
4
3
2
- 12 𝑥 − 12 , pode-se utilizar a regra
de Ruffini:
Portanto,
4
3
2
2
2
2
− 4 × (− 2 ) × (− 6 )
2 × (− 2 )
3 ±√− 39
− 4
(equação impossível)
2
4
3
2
𝐶. 𝑆. = [ 1 , 2 ]
Exercícios do Manual - volume 1 (que podem fazer):
Páginas: 103, 105,106,110,111, 112,113, 114,115,116, 117,118,119, 120,121, 124,
125,127,128,129, 130, 131, 134, 135, 137 (ex:143,144,145 e 146), 140, 141, 142 (ex:172 e 173).
Exercícios do Caderno de Exercícios (que podem fazer):
Páginas: 35, 36,37, 39, 40,41, 42, 43 e 44.
