Uma fun¸c˜ao polinominal ´e toda fun¸c˜ao definida pela rela¸c˜ao P (x) = anXn^ +an− 1 Xn−^1 + an− 2 Xn−^2 + ... + a 2 X^2 + a 1 X + a 0. onde: an, an− 1 , an− 2 , ..., a 2 , a 1 , a 0 s˜ao n´umeros reais chamados coeficientes. n ∈ N x ∈ C(noscomplexos) ´e a vari´avel.

grau de um polinˆomio:

Grau de um polinˆomio ´e o expoente m´aximo que ele possui. Se o coeficiente an 6 = 0, ent˜ao m´aximo n ´e dito grau do polinˆomio e indicamos gr(P ) = n. Exemplos: a) P (x) = 5 ou P (x) = 5x^0 ´e um polinˆomio constante, ou seja, gr(P ) = 0. b) P (x) = 3x + 5 ´e um polinˆomio do 1o^ grau, ou seja, gr(P ) = 1. c) P (x) = 4x^5 + 7x^4 ´e um polinˆomio do 5o^ grau, isto ´e, gr(P ) = 5. Obs.: se P (x) = 0, n˜ao se define o grau do polinˆomio.

Valor num´erico

O valor num´erico de um polinˆomio P (x) para x = a, ´e o n´umero que se obt´em substi- tuindo x por a e efetuando todas as equa¸c˜oes indicadas pela rela¸c˜ao que define o polinˆomio. Exemplo: Se P (x) = x^3 + 2x^2 + x − 4, o valor num´erico de P (x), para x = 2 ´e: P (x) = x^3 + 2x^2 + x − 4 P (x) = 2^3 + 2. 22 + 2 − 4 P (x) = 14 Observa¸c˜ao: Se P (a) = 0, o n´umero a chamado raiz ou zero de P (x). Por exemplo, no polinˆomio P (x) = x^3 − 3 x + 2 temos P (1) = 0; logo, 1 ´e raiz ou zero desse polinˆomio. Alguns exerc´ıcios resolvidos: 1 o) Sabendo-se que −3 ´e raiz de P (x) = x^3 + 4x^2 − ax + 1, calcular o valor de a. Resolu¸c˜ao: Se − 3 ´e raiz de P (x), ent˜ao P (x) = 0. P (x) = 3 ⇒ (−3)^3 + 4.(−3)^2 − a.(−3) + 1 = 0 3 a = − 10 ⇒ a = −^103

2 o) Calcular m ∈ Z para que o polinˆomio

P (x) = (m^2 − 1).x^3 + (m + 1).x^2 − x + 4 seja: a) do 3 o^ grau b) do 2 o^ grau c) do 1 o^ grau Resolu¸c˜ao: a) Para o polinˆomio ser do 3 o^ grau, os coeficientes de x^2 e x^3 devem ser diferentes do zero. Ent˜ao: m^2 − 1 6 = 0 ⇒ m^2 6 = 1 ⇒ m 6 = 1 m + 1 6 = 0 ⇒ m 6 = − 1 Portanto, o polinˆomio ´e do 3 o^ grau se m 6 = 1 e m 6 = − 1. b) Para o polinˆomio ser do 2 o^ grau, o coeficiente de x^3 deve ser igual a zero e o coeficiente de x^2 diferente de zero. Ent˜ao: m^2 − 1 = 0 ⇒ m^2 = 1 ⇒ m = ± 1 m + 1 6 = 0 ⇒ m 6 = − 1 Portanto, o polinˆomio ´e do 2 o^ grau se m = 1. c) Para o polinˆomio ser do 1 o^ grau, os coeficientes de x^2 e x^3 devem ser iguais a zero. Ent˜ao: m^2 − 1 = 0 ⇒ m^2 = 1 ⇒ m = ± 1 m + 1 = 0 ⇒ m = − 1 Portanto, o polinˆomio ´e do 1 o^ grau se m = − 1. 3 o) Num polinˆomio P (x), do 3 o^ grau, o coeficiente de x^3 ´e 1. Se P (1) = P (2) = 0 e P (3) = 30, calcule o valor de P (−1). Resolu¸c˜ao Temos o polinˆomio: P (x) = x^3 + ax^2 + bx + c Precisamos encontrar os valores de a, b, c (coeficientes) do problema: P (1) = 0 ⇒ (1)^3 + a(1)^2 + b(1) + c = 0 ⇒ 1 a + b + c = 0 P (2) = 0 ⇒ (2)^3 + a(2)^2 + b(2) + c = 0 ⇒ 8 + 4a + 2b + c = − 8 P (3) = 30 ⇒ (3)^3 + a(3)^2 + b(3) + c = 30 ⇒ 27 + 9a + 3b + c = 30 Temos um sistema de trˆes vari´aveis:  



a + b + c = - 4a + 2b + c = - 9a + 3b + c = 3 Resolvendo esse sistema encontramos as solu¸c˜oes: a = a, b = − 34 , c = 24 P (x) = x^3 + 9x^2 − 34 x + 24 O problema pede P (−1): P (−1) = −(−1)^3 + 9(−1)^2 − 34(−1) + 24 ⇒ P (−1) = −1 + 9 + 34 + 24 P (x) = 66 Resposta: P (−1) = 66