Atps calculo 3, Notas de estudo de Engenharia Civil

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Universidade Bandeirantes

Anhanguera – Osasco – SP

ENGENHARIA ELÉTRICA

DISCIPLINA: CÁLCULO lll

ÍNDICE

1 – INTRODUÇÃO

2 - ETAPA 1

2.1 - PASSO 1

– O SURGIMENTO DA INTEGRAL

INTRODUÇÃO

Muitas demarcações de terrenos na antiguidade, não eram figuras poligonais. Com o intuito de calcular essas áreas, foram desenvolvidos os estudos sobre integrais.

Em seguida, muitos matemáticos dedicaram seus esforços com intensão desenvolver o conceito de integração já não mais somente com o objetivo inicial de calcular áreas.

Alguns deles foram Newton-Leibniz, Cauchy, Riemann e Lebesgue os quais serão apresentados nesta ATPS

O SURGIMENTO DA INTEGRAL

O conceito de integral é mais antigo que o de derivada. Enquanto este surgiu no século XVII, à idéia de integral, como área de uma figura plana ou volume de um sólido, surge e alcança um razoável desenvolvimento com Arquimedes (285-212a.C.) na antiguidade.

Naquela época, entretanto, a matemática era muito geométrica, não havia simbologia desenvolvida, portanto, faltavam recursos para o natural desabrochar de um “calculo integral” sistematizado. Devido a isto, os problemas que se punham eram os de calcular áreas, volumes e comprimentos de arcos.

Por exemplo: suponhamos dada uma função :

f: [a; b] IR , limitada no intervalo [a; b].

Admitamos, por simplicidade, que f seja não negativa, isto é, f ( x ) ≥ 0, x IR. Consideremos o conjunto S= {( x , y ) IR ²; a x b , 0 y f ( x )}, formadas pelos pontos compreendidos entre os eixos das abscissas, o gráfico de f e as retas verticais x = a e x = b.

Qual a área deste conjunto?

Em primeiro lugar, é necessário dizer o que significa a “área” de S , e em seguida, tentar calculá-la.

A área de um subconjunto limitado S no plano IR ² deve ser um número real. Como defini-lo?

Podemos admitir que sabemos calcular a áreas de polígonos e tomar como aproximações por falta deste número as áreas dos polígonos contidos em S. Isto equivale a pôr: a área de S é o supremo das áreas dos polígonos contido em S. Poderíamos também considerar as áreas dos polígonos que contém S como aproximações por excesso para a área de S. Neste caso, definiríamos a área de S como o ínfimo das áreas dos polígonos que contém S. Porém, estes dois métodos de definir a área de S nem sempre conduzem a um mesmo resultado.

Ao considerar a área de um conjunto S podemos, por simplicidade, restringir nossa atenção a polígonos de um tipo especial, que chamaremos de polígonos retangulares , os quais são reuniões de retângulos justapostos cujos lados são paralelos aos eixos x = 0 e y = 0.

Mais particularmente ainda, se o conjunto S é determinado por uma função não negativa f: [a; b] IR , de modo que S= {( x , y ) IR ²; a x b ,0 y f ( x )}, basta considerar os polígonos retangulares formados por retângulos cujas bases inferiores estão sobre os eixos das abscissas e cujas bases superiores tocam o gráfico da função conforme a figura 1.

A área de S , por falta, será definida como integral inferior (figura 1) e a área por excesso, como integral superior de f. A teoria da integral desenvolveu-se, segundo as idéias de Newton e Leibniz como o inverso da derivada. Entretanto, Cauchy retornou a concepção de Leibniz com o estudo da integral na classe das funções contínuas em um intervalo [a; b].

INTEGRAL DE NEWTON-LEIBNIZ

Considere uma função contínua y = f ( x ), dado em um intervalo [a; b] , salvo seu sinal neste intervalo (figura 2).

A figura, limitada pelo gráfico desta função no intervalo [a; b] e as linhas retas x = a e x = b , é chamado de trapezóide curvilíneo.

Para calcular a área de trapezóides curvilíneos a seguinte propriedade é usada:

Se f é uma função contínua e não-negativa no intervalo [a; b], e F sua primitiva neste intervalo, então a área A que corresponde à área do trapezóide curvilíneo, é igual a um incremento da primitiva no intervalo [a; b], isto é A = F ( b ) - F ( a ).