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Exercícios Introdução à Quântica
Tipologia: Exercícios
1 / 14
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Exercícios
Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios.
Os conteúdos das Aulas de 4 a 9 desta disciplina.
Introdução à Mecânica Quântica | Exercícios
INTRODUÇÃO Nesta aula, faremos uma revisão das Aulas 4 a 9 do Módulo 2. Para tal, formulamos uma lista de exercícios na qual você poderá aplicar seus conhecimentos e rever alguns conceitos.
1.1. Mostre que se Ψ 1 ( x , t ) e Ψ 2 ( x , t ) são soluções da equação de Schrödinger dependente do tempo em uma dimensão, Ψ ( x, t ) = C 1 Ψ 1 ( x , t ) + C 2 Ψ 2 ( x , t ) (onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias) também é solução.
RESPOSTA COMENTADA Se Ψ 1 ( x , t ) e Ψ 2 ( x , t ) são soluções da equação de Schrödinger, então:
Se multiplicarmos a primeira equação por C 1 e a segunda por C 2 , e depois somarmos as duas equações, obtemos:
como queríamos demonstrar. Este resultado revela uma propriedade das equações diferenciais lineares: uma combinação linear de duas soluções é também uma solução.
i x t t m
x t x
V x t x t
i x t
h h
h
1 2 2 1 2 1
2
e
t m
x t x
h V x t x t (^2 ) 2 2 2
i
C x t C x t t m
C x t x t x
h h
∂ (^) [ + ] ∂
∂ (^) [ + ] ∂
1 1 2 2 2
2 1 1 2 2 2 2
++ (^) [ + ]
V x t C x t C x t
i x t t m
x t
1 1 2 2
2 2 2
h Ψ^ h Ψ xx 2 +^ V x t ( , )^^ Ψ( , )^ x t ,
Introdução à Mecânica Quântica | Exercícios
2.2. Na Atividade Final 4 da Aula 5, utilizamos o Princípio da Incerteza para estimar a energia cinética de partículas quânticas confinadas em determinadas regiões do espaço. Este procedimento é bastante útil quando queremos obter rapidamente uma estimativa da energia de uma partícula, sem termos que necessariamente resolver a equação de Schrödinger. Vamos utilizar novamente esse procedimento neste exercício, em que vamos usar o Princípio da Incerteza para estimar a energia do estado fundamental do oscilador harmônico.
(a) A energia do oscilador harmônico é dada por , em que o primeiro termo é a energia cinética e o segundo é a energia potencial. Sabendo que e , e que o estado funda- mental é um estado ligado, usando o resultado do exercício 2.1 escreva uma expressão para o valor esperado da energia em termos das incertezas ∆ p e ∆ x. Note que, por simetria,.
(b) Usando o Princípio da Incerteza e impondo que o estado deva ter incerteza mínima, elimine ∆ x da expressão obtida no item (a), obtendo
relação a ∆ p e encontre a energia estimada do estado fundamental.
Pelo resultado encontrado no item anterior, ou seja, podemos escrever:
Na última passagem usamos que
ψ ( ) ψ^ ( )^ ψ ( ) ψ( ) ,
x d^ x dx
x d^ x dx
p i x x p
p i^ x x
−∞
∞
−∞
∞
h h
ψ ψ
ψ ψ
lim x →∞ ψ( ) x = (^) x lim→−∞ ψ( ) x = 0.
E p m
= + m x
(^22 ) 2
ω
∆ p = p^2 − p^2 ∆ x = x^2 − x^2
x = 0
AULA
MÓDULO 2
2.3. Vimos na Aula 6 que uma função de onda ψ é autofunção
do operador O com autovalor λ apenas se a igualdade O ψ ( x ) =
λψ ( x ) for satisfeita. Se ψ não for autofunção do operador O, teremos
O ψ ( x ) = f ( x ) ψ ( x ), onde f ( x ) é uma função e não um número. De forma
qualitativa, podemos associar f ( x ) ao valor local (ou seja, no ponto x )
da grandeza representada pelo operador O****.
(a) Em uma região do espaço, uma partícula de massa m possui
uma função de onda dada por e uma energia dada por
, onde a é um comprimento. Determine, como função de
x , a energia potencial V ( x ) e a energia cinética K ( x ) da partícula. Faça
gráficos de V ( x ) e K ( x ).
RESPOSTA COMENTADA
(a) O valor esperado da energia será dado por:.
Sabendo que e , e usando
e , obtemos
(b) O Princípio da Incerteza diz que. Se impusermos incer- teza mínima, temos a igualdade , de modo que podemos
(c) Minimizando, ou seja, impondo que , obtemos:
expressão para a energia do estado fundamental do oscilador harmônico simples:
.
Nesse caso, nossa estimativa foi perfeita! O valor correto da energia do estado fundamental do oscilador harmônico é precisamente , e encontramos este valor sem precisarmos resolver a equação de Schrödinger.
E
p m
= + m x
2 2 2 2
1 2
ω
∆ p = p^2 − p^2 ∆ x = x^2 − x^2
p m
= (^ )^ + m (^) ( x )
2 2 2 2
ω.
∆ ∆ x p ≥ h / 2
p = 0
x = 0
∆ ∆ x p = h / 2 E p m
m p
= (^ )^ + ( )
(^2 2 )
2 8 2
h ω (^).
d E d (^) (∆ p )
p ∆ ∆ m
m p
− p m^ p m ( )
h (^) = ⇒ ( ) = h (^) ⇒ ( ) = h 2 2 3
4 2 2 2 2 4
ω ω ω
E = h^ ω^ + h^ ω^ =hω 4 4 2
hω / 2
ψ( ) x = Ae − x^^ / a
2 2
E = h^2 / ma^2
AULA
MÓDULO 2
Figura 12.1 : Gráficos das energias cinética, potencial e total do exercício 2.3.
2.4. A função de onda de uma partícula livre é dada por
ψ ( x ) = A sen( kx ).
(a) Encontre o valor de A que normaliza a função de onda em
uma caixa de comprimento L.
(b) Calcule o valor esperado do momento da partícula. (c) Calcule a energia total da partícula.
K ( x )
V ( x )
E
− a 2
a 2
x − a 2
a 2
x
K ( x )
E = 0
V ( x )
RESPOSTA COMENTADA
(a) Para achar o valor de A, impõe-se a condição de normalização:
(b) O valor esperado do momento é dado por:
A sen kx dx A L^ A L
(^2 ) 2
(^2 ) 1 2 ( ) =^ ⇒^ =^1 ⇒^ =^2 −L∫
L
/
/ .
p x i d dx
x dx i A sen kx kA kx L
L
L
= − (^) ( ) ( ) − ∫ −
ψ* ψ /
/ *
/
( ) h ( ) h cos 2
2
22
2
L
L
L
dx
ki A kx kx dx
/
/ cos
∫
= − (^) ∫ ( ) ( ) = −
h sen
a b
Introdução à Mecânica Quântica | Exercícios
Podemos entender esse resultado da seguinte forma. A função de onda pode ser escrita como. Veja que a
função de onda é uma combinação linear de ondas planas propagando-se para a direita e para a esquerda, com a mesma amplitude. Desta forma, o momento linear efetivo é nulo.
(c) Como se trata de uma partícula livre, a energia total é igual a energia cinética. Seu valor esperado é:
3.1 (a) Mostre que a função de onda Ψ ( x, t ) = Aeik ( x-vt )^ satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
3.1 (b) Mostre que a função de onda Ψ( x, t ) = Aek ( x-vt )^ não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
ψ ( ) x A ( kx ) A i
= sen = (^) ( e ikx^ − e − ikx ) 2
RESPOSTA COMENTADA (a) Vamos substituir a função de onda na equação de Schrödinger e tomar as derivadas:
Cancelando o fator comum , chegamos à seguinte igualdade:
h kv h k m
= + V x t
2 2 2
Ae ik x (^^ − vt )
K x m
d dx
x dx m
A sen kx k A k L
L = −
=^ (^ ) −
∫^ ψ ψ
/
/ * ( ) h^ ( ) h
2 2 2 2
(^2 ) 2 2
sen xx dx
k m
A kx dx k m
L
L
L
L
( )
= ( ) =
−
−
∫
∫
/
/
/
/ .
2
2
(^2 2 2 )
2
2 2 2 2 2
h (^) sen h
i
Ae t m
Ae x
V x t Ae
ik x vt ik x vt h ∂ ^ h ik x ∂
− − −
( ) ( ) (^2) ( , ) ( 2 2 2
vvt
i ikv Aeik x vt^ ik x^ vt m
k Ae V
)
⇒ h − −^ = − h − − +
(^22) 2
(( , ) x t Ae ik x (^^ − vt ).
Introdução à Mecânica Quântica | Exercícios
RESPOSTA COMENTADA (a) Procedendo de forma idêntica à que fizemos no exercício anterior, chegamos à seguinte igualdade:
Mais uma vez, é impossível satisfazer a igualdade dessa equação com um potencial real, de modo que a função proposta não satisfaz a equação de Schrödinger. E vale aqui também o comentário que fizemos no item (b) do exercício anterior: Ψ (x, t) = A sen(kx – ω t) seria uma solução perfeitamente válida da equação de onda.
(b) Poderíamos resolver este item da mesma forma que o anterior, mas vamos proceder de forma diferente. A solução geral da equação de Schrödinger para a partícula livre foi escrita na Equação (7.8) da Aula 7:
.
Vamos mostrar que a solução proposta pode ser escrita na forma , se escolhermos de forma conveniente as constantes complexas A e B. Para tanto, basta notarmos que , de modo que a solução proposta nada mais é do que. Ou seja, é um caso particular (correspondendo a B = 0), mas perfeitamente válido, da solução geral.
4.1. Uma partícula livre de massa m e número de onda k 1 está viajando para a direita. No ponto x = 0, o potencial muda bruscamente de 0 para V 0 e permanece com este valor para todos os valores positivos de x****. Se a energia inicial da partícula é :
(a) Calcule o número de onda k 2 na região x > 0 como função de k 1. (b) Calcule o coeficiente de reflexão R do degrau de potencial. (c) Qual é o valor do coeficiente de transmissão T? Para cada milhão de partículas com número de onda k 1 que incidem no degrau de potencial, quantas continuam a viajar no sentido positivo do eixo x? Como se compara este valor com a previsão clássica?
− (^) ( − ) = +
i h (^) sen( − ) ω cos kx ω t h k ( , ) ω m
V x t kx t
2 2 2
Ψ( , ) x t = Ae i kx (^^ −^ ω t^ )^^ + Be − i kx^ (^^ +ω t )
Ψ ( x t , ) = A cos ( kx −ω t ) + i sen( kx −ω t ) Ψ (^) ( x t , (^) ) = A cos ( kx −ω t (^) ) + i sen( kx −ω t ) Ψ ( , ) x t = Ae i kx (^^ −^ ω t^^ )^ + Be −^ i kx (^^ +ω t )
cos ( kx −ω t ) + i sen( kx −ω t ) = e i kx (^^ −ω t ) Ψ( , ) x t = Ae i kx (^^ −ω t )
E = h^2 k 1^2 / 2 m = 2 V 0
AULA
RESPOSTA COMENTADA MÓDULO 2^
(a) Trata-se do caso E > V 0 estudado na Aula 9. O número de onda k 2 é dado por. Usando ,
temos.
(b) Pela Equação (9.9) da Aula 9, temos:
(c) Como T + R = 1, então. Assim, de cada milhão de partí- culas que incidem sobre o degrau, 971.000 continuam a viajar no mesmo sentido, as demais são refletidas. De acordo com a mecânica clássica, todas as partículas passariam pelo degrau.
4.2. Repita o exercício anterior, mas agora o degrau de potencial
é definido por V = 0 para x < 0 e V = – V 0 para x > 0. Como no exercício
anterior, a energia total da partícula vale. Ou seja,
ao passar pelo degrau, a velocidade da partícula aumenta em vez de
diminuir. Responda às questões (a), (b) e (c) do exercício anterior,
discutindo os resultados obtidos.
RESPOSTA COMENTADA
(a) O número de onda k 2 é dado agora por.
Usando , temos.
(b) Da mesma forma que no exercício anterior, temos:
(c) Novamente, como T + R = 1 , então. Assim, de cada milhão de partículas que incidem sobre o degrau, 990.000 continuam a viajar no mesmo sentido, as demais são refletidas. Novamente, de acordo com a mecânica clássica, todas as partículas passariam pelo degrau.
E = h^2 k (^) 12 / 2 m = 2 V 0
k (^) 2 = 2 mV 0 (^) h = k 1 / 2
k k k k
( − ) ( + )
( − )
( + )
2
1 2
2
2 2
E = h^2 k 1^2 / 2 m = 2 V 0
k 2 (^) = 2 m E ( + V 0 ) h
E = h^2 k (^) 12 / 2 m = 2 V 0 k (^) 2 6 mV (^) 0 3 k 1 2
= h=
k k k k
( − ) ( + )
( − ) ( + )
2
1 2
2
2 2
k (^) 2 = 2 m E ( −− V 0 ) h
AULA
MÓDULO 2
Na próxima aula, iniciaremos nosso estudo sobre a barreira de potencial e conheceremos um dos efeitos mais interessantes da Física: o efeito túnel.
R E S U M O
Exercitamos o que aprendemos nas Aulas 4 a 9 do Módulo 2 desta disciplina.
Introdução à Mecânica Quântica | Exercícios
