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objetivos
12 A U L A
Pré-requisito
Meta da aula
Barreira de potencial: exemplos e aplicações
Discutir alguns exemplos e aplicações do efeito-túnel que
podem ser modelados pela barreira de potencial, tais como o
microscópio de tunelamento, a emissão de partículas alfa,
a fusão nuclear e a emissão de elétrons por metais frios.
- explicar como funciona um microscópio de tunelamento e a emissão de
elétrons por metais frios;
- analisar a emissão de partículas alfa pelos núcleos e a fusão nuclear;
- identificar a importância conceitual e prática do efeito-túnel na Física.
Para uma melhor compreensão desta aula, é importante que
você revise a Aula 11 desta disciplina.
Mecânica Quântica | Barreira de potencial: exemplos e aplicações
O MICROSCÓPIO ELETRÔNICO DE VARREDURA POR
TUNELAMENTO (STM): ENXERGANDO OS ÁTOMOS
O físico americano Richard Feynman fez o seguinte questionamento:
Se, por algum cataclisma, todo conhecimento científico fosse destruído, e apenas uma frase pudesse ser passada às próximas gerações, qual afirmação conteria o máximo de informação no menor número de palavras? Creio que é a hipótese atômica , ou seja, que todas as coisas são feitas de átomos.
Essa afirmação de Feynman descreve bem a importância da teoria atômica da matéria, não só para a Física, mas para todas as ciências. Mas como sabemos que os átomos realmente existem? Será que podemos, por meio de um microscópio, enxergar os átomos? Bem, veremos que isso é possível, mas a verdade é que a nossa convicção sobre a existência dos átomos vem de muito antes. Nesse caso, não foi necessário “ver para crer”. O desenvolvimento da teoria atômica teve uma longa e bela história, que começou como filosofia com o grego Demócrito, no século V a.C. Depois, virou ciência com os trabalhos de Dalton, Boltzmann, Brown, Einstein, J. J. Thomson, Moseley, Chadwick e outros. Mas, ainda que soubessem da existência dos átomos e de muitas de suas características, os microscopistas nunca desistiram do que parecia o objetivo final: vê-los com os próprios olhos! Como dissemos na Aula 3, os instrumentos óticos possuem a limitação do comprimento de onda da luz visível, dada pelo critério de difração de Rayleigh. Um sistema ótico é capaz de “resolver” (ou seja, ver separadamente) duas fontes pontuais, se os diagramas de difração dessas duas fontes estão suficientemente separados para serem distinguidos. Calculando numericamente, conclui-se que só podem ser resolvidos objetos de 200 a 350 nm, ou seja, com tamanhos da ordem da metade do comprimento de onda da luz visível. Como os átomos são muito menores do que isso, como fazer para observá-los? Em 1981, Gerd Binnig e Heinrich Rohrer, da IBM de Zurique, inventaram o microscópio de varredura por tunelamento ( scanning tunneling microscope , ou simplesmente STM). O STM foi o primeiro instrumento capaz de gerar imagens reais de superfícies com resolução atômica. Em 1986, seus inventores, mostrados na Figura 12.1 , ganharam o Prêmio Nobel de Física.
Mecânica Quântica | Barreira de potencial: exemplos e aplicações
A Figura 12.2 descreve detalhadamente como surge a corrente de tunelamento. No painel à esquerda, mostramos o perfil de energia de potencial, quando não se aplica uma voltagem entre a amostra e a ponta. A região acinzentada mostra os níveis de energia de estados quânticos que estão ocupados por elétrons em um metal. A energia dos elétrons mais energéticos é conhecida como energia de Fermi ( EF ). Há níveis com energia maior que EF , mas eles não estão ocupados por elétrons. São estados vazios, cuja energia está na região branca da figura, acima do nível de Fermi. Vamos supor, por simplicidade, que tanto a amostra quanto a ponta
sejam metálicas e tenham a mesma função trabalho Φ.
Como vimos na discussão sobre o efeito fotoelétrico na Aula 8 de Física 4B e na Figura 12.2 , a função trabalho é a diferença de energia entre o nível de Fermi e o nível de vácuo. Na situação mostrada no painel da esquerda da Figura 12.2 , não há corrente de tunelamento, pois os elétrons só podem tunelar de estados ocupados para estados vazios com a mesma energia, devido ao PRINCÍPIO DE EXCLUSÃO DE PAULI. No painel à direita da Figura 12.2 , vemos como a situação se modifica quando se aplica uma voltagem igual a V entre a amostra e a ponta: as energias de Fermi ficam desbalanceadas por uma diferença de energia igual a eV , em que e é a carga elementar. Agora, os elétrons podem tunelar da amostra para a ponta, já que há estados ocupados da amostra com a mesma energia de estados vazios da ponta. Podemos também obter a dependência da corrente de tunelamento com a função trabalho e com a distância d entre a ponta e a amostra. Para isso, vamos usar o formalismo desenvolvido na aula passada. Perceba que, no entanto, a barreira mostrada na Figura 12.2 não é retangular. Porém, no limite de baixas voltagens ( eV << Φ), podemos usar a
aproximação de uma barreira retangular de altura Φ. Assim,
a corrente de tunelamento será proporcional ao coeficiente de transmissão de um elétron incidente com energia EF sobre essa barreira. Segundo o resultado aproximado obtido na Atividade 2 da aula passada, iremos mostrar (Atividade 1 desta aula) que o coeficiente de transmissão é dado por:
PRINCÍPIO DE EXCLUSÃO DE PAULI
O Princípio de Exclusão de Pauli foi formulado pelo físico austríaco Wolfgang Pauli ( Figura 12.3 ), em 1925. É um dos princípios mais importantes da Mecânica Quântica. Você pode não ter se dado conta, mas aplicou o Princípio de Exclusão em seus estudos de Química do Ensino Médio, quando estudou a distribuição dos elétrons pelos orbitais atômicos. De fato, o Princípio de Exclusão de Pauli explica a estrutura de camadas dos átomos e, portanto, a existência da Tabela Periódica dos Elementos, que norteia toda a Química. Você se lembra, de seus estudos, que cada orbital atômico só pode ser ocupado por dois elétrons, um com spin para cima e outro com spin para baixo? Pois bem, em sua formulação mais simples, essa é a essência do Princípio de Exclusão. As partículas quânticas podem se classificar em férmions (como o elétron, próton, nêutron) e bósons (como as partículas alfa, píons, dêuterons). Os férmions estão sujeitos ao Princípio de Exclusão: dois férmions não podem ocupar simultaneamente o mesmo estado quântico (e isso inclui também a orientação do spin ). É por isso que, no processo de tunelamento mostrado na Figura 12.2 , só pode haver transporte de elétrons dos estados ocupados da amostra para os estados vazios da ponta: os elétrons estão “excluídos” de entrar nos estados já ocupados. Formulações mais rigorosas do Princípio de Exclusão, e a própria noção de spin , são objeto de estudo de cursos mais avançados de Mecânica Quântica.
Figura 12.3 : O físico austríaco Wolfgang Pauli (1900-1958), agraciado com o Prê- mio Nobel de Física em 1945 pela desco- berta do Princípio de Exclusão.
AULA
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MÓDULO 2
ATIVIDADE
A corrente de tunelamento é proporcional ao coeficiente de transmissão da Equação (12.1). Além disso, deve ser proporcional ao número de estados disponíveis para tunelar. Olhando a Figura 12.2 , vemos que a quantidade desses estados será tanto maior quanto maior for a diferença de potencial V. Assim, a corrente de tunelamento é proporcional a V. Combinando esse resultado com a Equação (12.1), chegamos ao importante resultado para a corrente de tunelamento I :
, (12.2)
em que é um comprimento característico de decai- mento da corrente. Em outras palavras, poderemos observar uma corrente de tunelamento apreciável, quando a distância d entre a ponta e a amostra não for muito maior que λ. A Equação (12.2) é bastante útil na análise dos experimentos de STM.
I ∝ V − d
^
exp λ
λ = h
8 m Φ
- a. Demonstre a Equação (12.1).
- b. A função trabalho do cobre vale 4.7 eV. Calcule o comprimento de decaimento da corrente de tunelamento (λ) para o cobre.
RESPOSTA COMENTADA
1. a. Partindo do resultado obtido na Atividade 2 da Aula 11, a saber: ,
usando as definições e , e identificando d = a e λ = 1/2K , chegamos ao resultado esperado.
EF = h mk
2 2 2 Φ =^
h^2 2
K
m
T E EF m^ d
F
2
( ) exp^ h.
T k K k K
= Ka ( + )
2 2 2 e^2
AULA
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EMISSÃO DE ELÉTRONS DE METAIS FRIOS MÓDULO 2^
Um mecanismo semelhante ao funcionamento do STM é responsável pela emissão de elétrons de metais frios, observada pela primeira vez em 1922. Na ocasião, notou-se que elétrons podem ser extraídos de metais, através da aplicação de um campo elétrico alto. Para entender esse fenômeno, vamos analisar o diagrama de energias mostrado na Figura 12.5. Como no caso do STM, os elétrons mais energéticos do metal têm energia EF e estão presos a ele por um degrau de potencial de altura Φ (função trabalho). Essa situação está mostrada no lado esquerdo da figura, em que não existe nenhum campo elétrico aplicado. Ao aplicarmos um campo elétrico na região do vácuo e perpendicular à superfície do metal, temos a situação mostrada no lado direito. Veja que a energia potencial não é mais constante na região do vácuo, mas varia como , em que E é o campo elétrico aplicado e x é a distância até a superfície. Perceba que agora surge uma barreira triangular, através da qual o elétron pode tunelar. O cálculo da probabilidade de tunelamento não é tão simples quanto o da barreira retangular, que vimos na Aula 10, mas pode ser realizado usando-se a aproximação WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin), que é vista em cursos mais avançados de Mecânica Quântica. Esse cálculo foi realizado pela primeira vez por Fowler e Nordheim em 1928. Eles obtiveram a corrente de elétrons emitidos como função do campo elétrico aplicado, explicando os resultados experimentais. Essa foi uma das primeiras demonstrações claras da importância do efeito-túnel.
V x ( ) = EF + Φ− eEx
Figura 12.5 : Diagrama de energias para o problema de emissão de elétrons por metais frios. O painel da esquerda mostra a situação em que não há campo elétrico aplicado, enquanto que o painel da direita mostra o que ocorre quando um campo elétrico é aplicado.
Metal Vácuo Metal Vácuo
Estados ocupados
EF
Φ
V x ( ) = EF + Φ− eEx
E = 0^ E^ > 0
EF
Estados vazios
Mecânica Quântica | Barreira de potencial: exemplos e aplicações
A EMISSÃO DE PARTÍCULAS ALFA E A FUSÃO NUCLEAR
Uma outra situação importante em que ocorre o fenômeno de tunelamento é na emissão de partículas alfa pelos núcleos. Partículas alfa são compostas por dois prótons e dois nêutrons, ou seja, são núcleos de He. Essas partículas são emitidas quando ocorre o decaimento de núcleos radioativos. Por exemplo, o núcleo de U^238 pode sofrer o seguinte decaimento:
(12.3)
com a emissão de uma partícula alfa. Em 1928, os físicos Gamow, Condon e Gurney resolveram um problema há muito existente em relação à emissão das partículas alfa pelos núcleos. Sabia-se, desde os experimentos do físico neozelandês Ernest Rutherford em 1910, que o potencial de interação entre uma partícula alfa e o núcleo de 238 U era, para distâncias de separação r suficientemente grandes, o potencial de uma repulsão coulombiana entre a partícula alfa com carga 2 e e o núcleo com carga Ze :
(12.4)
238 U → 234 Th+α ,
V r Ze
r
2
Figura 12.6 : Energia potencial de uma partícula alfa intera- gindo com um núcleo de 238 U. A linha cheia mostra, de forma esquemática, o potencial de interação real, contendo uma região repulsiva coulombiana (linha tracejada) e uma região atrativa onde predominam as interações nucleares. Para que as partículas alfa escapem do núcleo com energia E < V , elas têm de tunelar através de uma barreira de potencial.
Esse potencial está mostrado na linha tracejada da Figura 12.. Rutherford mostrou esse resultado através de seus experimentos de espalhamento (veja uma descrição desses experimentos na Aula 10 de Mecânica). Segundo esses experimentos e outros posteriores, o potencial de interação obedece à Equação (12.4) para distâncias maiores que o raio do núcleo de urânio ( Rn ), algo em torno de 10 –14^ m. Para distâncias dessa ordem ou menores, as interações nucleares passam a ser importantes, e o potencial se torna atrativo, como se vê na Figura 12..
E
V
E
Rn r
Mecânica Quântica | Barreira de potencial: exemplos e aplicações
Ivar Giaever e Brian Josephson descobriram fenômenos intrigantes de tunelamento em junções formadas por um material isolante entre dois materiais supercondutores. Um material supercondutor é aquele em que uma corrente elétrica pode ser transmitida sem nenhuma perda, ou seja, a resistência elétrica é nula. Tais junções são conhecidas hoje em dia como junções Josephson e apresentam comportamentos que podem parecer, à primeira vista, bastante exóticos. Por exemplo, ao se aplicar uma voltagem contínua a uma junção Josephson, surge uma corrente alternada e, ao se aplicar uma corrente alternada, surge uma voltagem contínua! Ainda mais interessante, a relação entre a freqüência f aplicada e a voltagem contínua V envolve apenas constantes universais:
, (12.5)
em que h é a constante de Planck e e é a carga elementar. Por relacionar uma voltagem com uma freqüência, que é uma grandeza que pode ser medida com bastante precisão, essa relação é usada em metrologia para definir um padrão preciso de voltagem.
Como vimos, o efeito-túnel é importante em muitas aplicações. Na maioria delas, a barreira não é retangular. Às vezes, a aproximação de uma barreira retangular é suficientemente boa, segundo a análise do STM, de modo que podemos usar os resultados obtidos na Aula 10. Em outros casos, isso não é possível, e cálculos mais sofisticados (por exemplo, usando a aproximação WKB ou mesmo buscando uma solução numérica da equação de Schrödinger) devem ser feitos. Mas, como esses correspondem a cursos mais avançados de Mecânica Quântica, não foram detalhados aqui. No entanto, mesmo nesses casos, o comportamento qualitativo pode ser entendido com modelos simples como o da barreira retangular.
ATIVIDADE FINAL
Uma reação de fusão importante na produção de energia solar envolve a captura de um próton por um núcleo de carbono, que tem a carga seis vezes maior do que a carga do próton e um raio de m. (a) Faça uma estimativa do potencial coulombiano V que atua sobre o próton, se ele estiver na superfície nuclear. (b) O próton incide sobre o núcleo devido a seu movimento térmico. Podemos realisticamente supor que sua energia total seja da ordem de 10 kT , em que k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura interna do Sol, que
V = hf 2 e
Rn ≈ 2 × 10 − 15
AULA
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MÓDULO 2
RESPOSTA COMENTADA (a) Basta utilizar a expressão para a energia potencial entre duas partículas carregadas, o próton com carga e = 1,6 × 10-19^ C e o núcleo de carbono com carga 6e:
(b) Usando o valor da constante de Boltzmann, k = 1,4 × 10-23^ J/K, obtemos E = 10kT = 1,4 × 10-15^ J = 8,8 keV. Vale a pena explicar o motivo de termos usado o valor de 10 kT para a energia térmica do próton. Segundo o resultado bem conhecido da teoria cinética dos gases (Aula 7 de Física 2A), a energia cinética média do próton é de apenas. No entanto, esse é apenas o valor médio, ou seja, há prótons com energia maior e menor que esse valor. Os prótons mais energéticos, ainda que não correspondam a uma fração significativa de todo o conjunto de prótons, são os mais importantes para o nosso problema, porque eles terão maior probabilidade de participar da fusão nuclear.
(c) Usando a expressão para o coeficiente de transmissão (Equação (11.8) da Aula 11):
em que ; ; e ,
obtemos T = 0,7 %. Perceba que, mesmo para os prótons com energia cinética muito acima da média, a probabilidade de transmissão é muito baixa. Portanto, o processo de fusão de um número apreciável de átomos acontece muito lentamente, o que leva a um tempo de bilhões de anos para a vida de uma estrela como o Sol (quando terminar o processo de fusão, acabará o “combustível” que faz o Sol brilhar). Para estrelas maiores, e portanto mais quentes, esses processos são mais rápidos, e o tempo de vida dessas estrelas é consideravelmente menor.
é de aproximadamente 10^7 K. Faça uma estimativa da energia total do próton, comparando-a com a altura da barreira coulombiana. (c) Calcule a probabilidade de o próton penetrar em uma barreira retangular de altura V , que se estende de Rn a 2 Rn , ou seja, até o ponto no qual a barreira de potencial coulombiana cai a V /2.
(Eisberg-Resnick, Problema 10, Capítulo 6)
V eR
n
= 4 6 = 6 9 × 10 − =
2 0
13
π ε ,^ J^ 4,3 MeV.
2 kT
T
k K Ka
= + k K
( + ) ( )
−
2 2 2 2 2 2
1
senh
a = Rn = 2 × 10 − 15 m
k = 2 h mE^ = 2 0, × 1013 m -1^ K^^ =^2 m V^ ( h^^ −^ E )^ =^ 4 5,^ ×^1014 m^ -
