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objetivos
A U L A
Pré-requisitos
Meta da aula
A barreira de potencial: casos E < V 0 e E > V 0
Aplicar o formalismo quântico ao caso de uma partícula que incide sobre uma barreira de potencial, em que a energia potencial tem um valor 0 para x < 0 e para x > a , e um valor V 0 > 0 para 0 < x < a.
Esperamos que, após esta aula, você seja capaz de:
- mostrar que, no caso de a energia E da partícula ser menor do que a altura da barreira, existe a possibilidade de a partícula atravessar a barreira ( efeito túnel), em contraste com o comportamento de uma partícula clássica;
- comprovar que, no caso de a energia E da partícula ser maior do que a altura da barreira, existe a possibilidade de a partícula ser refletida, o que também está em contraste com as previsões clássicas;
- aplicar as regras da mecânica quântica para calcular as probabilidades de reflexão e transmissão em cada caso.
Para uma melhor compreensão desta aula, é importante que você revise as Aulas 8 e 9 desta disciplina e, também, os conceitos de reflexão e transmissão de ondas na interface entre duas regiões com índices de refração diferentes (Aula 6 de Física 4A).
Introdução à Mecânica Quântica | A barreira de potencial: casos E < V 0 e E > V 0
A BARREIRA DE POTENCIAL
Barreiras de potencial são muito comuns no dia-a-dia. Pense em um carro de montanha-russa prestes a subir uma ladeira. Ele somente chegará ao cume se tiver energia cinética suficiente para vencer a barreira de energia potencial gravitacional imposta pela ladeira. Caso contrário, será refletido pela barreira, movimentando-se no sentido oposto ao inicial. Na Física Quântica, a transmissão e a reflexão de partículas por barreiras de potencial são também muito importantes, sendo responsáveis por diversos fenômenos interessantes e aplicações práticas. Trataremos o caso de uma partícula quântica de massa m que incide sobre uma barreira, definida pelo seguinte perfil de energia potencial:
(11.1)
em que o valor de V 0 é positivo. Esta barreira está mostrada na Figura 11.1. A energia potencial V 0 define a altura da barreira e a distância a define sua largura. Trata-se de um modelo bastante simplificado para as barreiras reais, conhecido como “barreira retangular”. No entanto, veremos que é possível extrair deste modelo simples todos os comportamentos físicos mais relevantes, e que são comuns a todas as barreiras de potencial existentes na natureza, com a vantagem de que a barreira retangular apresenta uma simplicidade matemática muito maior.
Figura 11.1 : Uma partícula quântica de massa m que incide sobre uma barreira de potencial. A figura mostra os dois casos possíveis: E < V 0 (energia menor que a altura da barreira) e E > V 0 (energia maior que a altura da barreira).
V x x V x V x a V x x a
0
V
V 0
E > V 0
E < V 0
m
0 a^ x
Introdução à Mecânica Quântica | A barreira de potencial: casos E < V 0 e E > V 0
Até agora, estudamos a solução da equação de Schrödinger nas regiões x < 0 e x > a , e tudo que dissemos é válido tanto para o caso da energia total da partícula ser menor do que a altura da barreira, E < V 0 , ou maior do que a mesma, E > V 0. Para completar nosso estudo, teremos de buscar as soluções também na região interna à barreira, 0 < x < a. Para tanto, será necessário considerar separadamente os casos E < V 0 e E > V 0. Antes de iniciarmos, vamos lembrar mais uma vez o que acontece no domínio da Física Clássica, ou seja, para sistemas macroscópicos. No primeiro caso (energia menor que a barreira), a partícula clássica deveria ser simplesmente refletida pela barreira. Já no segundo caso (energia maior que a barreira), a partícula clássica passaria sem ser refletida, diminuindo sua energia cinética quando estivesse na região da barreira, mas recuperando sua velocidade inicial depois de atravessá-la. Mais uma vez, veremos que a Física Quântica nos leva a resultados diferentes dos previstos classicamente.
SOLUÇÃO COMPLETA NO CASO 0 < E < V 0
Lembrando que em 0 < x < a a energia potencial vale V ( x ) = V 0 e definindo, como na Aula 8, , escrevemos a solução da equação de Schrödinger na região da barreira:
(11.5)
Combinando as Equações (11.2) e (11.5), podemos relacionar as constantes A , B , C , F e G pelas condições de continuidade de ψ( x ) e de sua derivada nos pontos x = 0 e x = a. Para x = 0, encontramos:
A + B = F + G ik ( A – B ) = K ( F – G ). (11.6)
Já para x = a , temos:
Ceika^ = FeKa^ + Ge–Ka ikCeika^ = K ( FeKa^ – Ge–Ka ). (11.7)
K = 2 m V (^) ( 0 (^) − E )/ h
ψ ( ) x = Fe Kx^ + Ge −^ Kx , 0 < x < a
AULA
^11
MÓDULO 2
ATIVIDADES
Podemos eliminar F e G das Equações (11.6) e (11.7) e calcular
as relações B/A e C/A. O resultado, cuja obtenção sugerimos como
uma exercício opcional, nos leva aos seguintes coefi cientes de refl exão
e transmissão:
. (11.8)
R B
A
k K k K Ka
T
C
A
k K
( + ) (^ )
( + )
2 − 2
2 2 2 2 2 2
1
2 2
2 2 2
senh
ssenh 2 2 2
1
4
Ka k K
( )
−
- Verifi que, a partir da Equação (11.8), que R + T = 1.
RESPOSTA COMENTADA
Note que as expressões para R e T são da forma e
em que, nesse caso em particular, e Efetuando a soma de R e T, temos:
- Mostre que, no limite em que Ka >> 1 , o coeficiente de transmissão
se simplifica:
R a b
^
− 1
1 T = + ^
− 1 b^1 a
a = 4 k K 2 2
R T a b
b a
b a b
a a b
^
^
^
^
− − 1 1 1
1 1 .
T k K k K
= e Ka ( + )
2 2
b = (^) ( k^2 + K^2 ) ( Ka )
2 senh 2.
AULA
^11
O fato de o coeficiente de transmissão ter um valor diferente MÓDULO 2^
de zero demonstra que uma partícula pode atravessar uma barreira de
potencial que seria completamente intransponível se prevalecesse o ponto
de vista da Mecânica Clássica! Esse fenômeno, que já foi mencionado no
estudo do degrau de potencial, é chamado de penetração de barreira , ou
efeito túnel , e aparece com frequência em vários ramos da Física, como
veremos na próxima aula.
SOLUÇÃO COMPLETA NO CASO E > V 0
Neste caso, na região interna, a solução da equação de Schrödinger
é dada por
(11.9)
em que, como no estudo do degrau de potencial,.
Repetindo o tratamento de impor a continuidade de ψ( x ) e da sua derivada
nos pontos x = 0 e x = a , determinamos as constantes A , B , C , F e G.
Eliminando F e G , calculamos B/A e C/A e podemos, a partir deles, calcular
os coeficientes de reflexão e transmissão:
- Verifi que que os valores de R e T da Equação (11.10) satisfazem a relação de conservação da densidade de fl uxo de probabilidade, R + T = 1.
k ’ = 2 m E (^) ( − V 0 )/ h,
R B
A
k k k k k
T
C
A
k k
( −^ ′) (^ ′)
2 − 2
2 2 2 2 2 2
1
2 2
2 2
sen a
(( ) (^ ′ ) ′
2 2 − 2 2
1
4
sen k k k
a . (11.10)
ψ ( ) x = Fe ik x ’^^ + Ge − ik x^ ’, 0 < x < a ,
ATIVIDADE
Introdução à Mecânica Quântica | A barreira de potencial: casos E < V 0 e E > V 0
RESPOSTA COMENTADA
As expressões para R e T no caso E > V 0 também são da forma
e , exatamente como no caso E < V 0 , de modo que a
relação R + T = 1 fica automaticamente demonstrada.
Figura 11.3 : Densidade de probabilidade para uma partícula quântica incidente em uma barreira de potencial, vinda da esquerda com energia E < V 0.
A Equação (11.10) mostra que o coeficiente de transmissão T é em geral menor do que 1, o que difere do resultado clássico em que T = 1 quando E > V 0. Em outras palavras, uma partícula quântica que incide sobre uma barreira de potencial com uma energia maior que a altura da barreira pode ser refletida! Por outro lado, vemos que T = 1 ocorre quando k’a = n π, em que n é um número inteiro positivo. Assim, a partícula é transmitida com 100% de probabilidade, quando a espessura da barreira é igual a um múltiplo inteiro da metade do comprimento de onda para a partícula dentro da barreira, λ’ = 2π/ k ’. Esse é um fenômeno de interferência quântica análogo ao que acontece na ótica ondulatória com lâminas de espessura igual a meio comprimento de onda (ou múltiplos deste valor) da radiação eletromagnética incidente: toda a radiação é transmitida nesse caso. Esse fenômeno está relacionado ao efeito Ramsauer, que discutiremos futuramente. A Figura 11.3 mostra a densidade de probabilidade no caso E > V 0. Note que, além do padrão de interferência entre as ondas incidente e refletida na região x < 0 (que já aparecia no caso E < V 0 ), também surgem oscilações desse tipo na região da barreira, porém com um comprimento de onda maior.
T b a
^
− 1
1
V 0
0 a (^) x
p
R a b
^
− 1
1
Introdução à Mecânica Quântica | A barreira de potencial: casos E < V 0 e E > V 0
Na Figura 11.4 , mostramos, de forma esquemática, o compor- tamento dos coeficientes de transmissão e reflexão como função de E/V 0. Perceba a existência de probabilidade de transmissão para E < V 0 (tunelamento). Note ainda as oscilações no coeficiente de transmis- são para E > V 0 , dando T = 1 para alguns valores bem precisos de energia, como discutimos anteriormente.
CONCLUSÃO
Vimos nesta aula, de maneira formal, como se comporta uma partícula quântica que incide sobre uma barreira de potencial. Mas nosso estudo desse assunto não termina aqui. Como dissemos, a Física é rica em exemplos, e os fenômenos descritos aqui são importantes e podem, inclusive, ser usados em aplicações práticas, como veremos na próxima aula.
Figura 11.4 : Coeficientes de transmissão e reflexão de uma partícula quân- tica por uma barreira de potencial. Consideramos , o que dá um coeficiente de transmissão igual a 0,5 quando E = V 0.
ATIVIDADES FINAIS
- No caso considerado na Figura 11.4 , ou seja, uma barreira de potencial em que , calcule os valores de E / V 0 para os quais a probabilidade de transmissão é igual a 1.
0,
R e T
E / V 0
T
R 1
mV a 0 2 2 h 2 =^1
1
mV a 0 2 2 h 2 =^1
AULA
^11
MÓDULO 2 RESPOSTA COMENTADA Para que o coeficiente de transmissão seja igual a 1, a relação deve
ser satisfeita. Como , temos:
Usando a condição , obtemos:
, em que n = 1, 2, 3 etc.
k a ′ = n π
k^ ′ = 2 m E (^) ( − V 0 ) h
k ′ = a m E ( − V (^) ) = n ⇒ E = + V
n mV a
2 2 2 0 2
h π π^ h.
E
V
n 0
2 2 1 4
= + π
- (a) Calcule o coeficiente de transmissão para um elétron de energia total igual
a 2 eV, incidente sobre uma barreira de potencial de altura 4 eV e largura 10–10^ m,
usando a Equação (11.8) e, depois, usando a fórmula aproximada demonstrada
na Atividade 2 desta aula. (b) Repita o cálculo para uma barreira com largura
de 10–9^ m.
(Eisberg-Resnick, Problema 8, Capítulo 6).
RESPOSTA COMENTADA (a) Substituindo os valores numéricos nas fórmulas indicadas e lembrando que a massa do elétron vale 9,1 × 10 –^31 kg, obtemos T = 62%, usando a Equação (11.8), e T = 94%, usando a expressão aproximada obtida na Atividade 2. Note que, nesse caso, a barreira é bastante estreita, de modo que a probabilidade de tunelamento é alta. É por isso que não estamos no limite de validade da expressão da Atividade 2 desta aula (decaimento exponencial). (b) Já no caso de uma largura 10 vezes maior, o valor obtido com ambas as fórmulas é de T = 2,02 × 10 –^6_. Veja como esse aumento na largura da distância causa uma redução drástica na probabilidade de tunelamento! Nesse caso, a expressão aproximada obtida na Atividade 2 é certamente válida. Esse exemplo tem conexões com o mecanismo de funcionamento do microscópio de tunelamento, que discutiremos na próxima aula._
mV a 0 2 2 h^2 =^1
