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objetivos
13 A U L A
Pré-requisitos
Meta da aula
O poço de potencial finito
Aplicar o formalismo quântico ao caso de um potencial V(x) que tem a forma de um poço (tem um valor V 0 para x < - a/2 e para x > a/2, e um valor 0 para – a/2 < x < a/2).
- mostrar que no caso de a partícula ter uma energia E > V 0 , a partícula é transmitida ou refletida, como no caso da barreira de potencial com energia maior que a altura da barreira (Aula 11 desta disciplina);
- explicar que, se 0 < E < V 0 , existem soluções para a equação de Schrödinger para apenas alguns valores da energia (estados ligados);
- identificar a paridade dos estados ligados; e
- mostrar que, quanto maior o número de nodos das funções de onda correspondentes a estados ligados, maior o valor da energia da partícula.
Para uma melhor compreensão desta aula, é importante que você revise a Aula 11 desta disciplina.
Introdução à Mecânica Quântica | O poço de potencial finito
O POÇO DE POTENCIAL FINITO
Até agora, estudamos a equação de Schrödinger com o degrau e a barreira de potencial. Esses perfis de potencial dão origem a soluções propagantes , ou seja, funções de onda que representam partículas quânticas se movimentando livremente para a direita ou para a esquerda. Nesta aula, iniciaremos nosso estudo de uma outra classe importante de soluções da equação de Schrödinger: os estados ligados. Essas soluções representam partículas que estão presas ou confinadas a uma região do espaço, pela ação de um potencial atrativo, usualmente conhecido como poço de potencial. Veremos, nas próximas aulas, que inúmeros sistemas físicos apresentam poços de potencial contendo estados ligados. Como usual, iniciaremos nosso estudo com um modelo de poço de potencial que é bastante simplificado, mas que incorpora muitos aspectos qualitativos que são comuns aos poços reais. Trata-se do poço de potencial finito , também conhecido como poço quadrado, em uma dimensão. O poço finito está mostrado na Figura 13.1 e é definido por:
(13.1)
onde V 0 é uma constante positiva que define a profundidade do poço. Dependendo do valor da energia, teremos dois casos fisicamente aceitáveis, como no caso da barreira de potencial: E > V 0 e 0 < E < V 0. Vamos estudar primeiro o caso E > V 0 , já que é muito semelhante à situação considerada na Aula 10 para a barreira de potencial.
Figura 13.1 : O poço de potencial finito de profundidade V 0.
V x V x a V x a x a V x V x a
0
0
V ( x )
V 0
–a/2 0 a/2 x
Introdução à Mecânica Quântica | O poço de potencial finito
- Obtenha a Equação (13.6) a partir da (13.5).
RESPOSTA COMENTADA A partir das duas Equações (13.5), basta dividir a de cima pela de baixo, obtendo: .
A partir daí, com algumas manipulações algébricas, chega-se ao resultado esperado.
Da mesma forma, em x = – a /2 teremos,
(13.7)
que levam a
. (13.8)
As Equações (13.6) e (13.8) permitem calcular o quociente B/A e, a partir deste, o coefi ciente de refl exão R. De forma análoga, pode-se calcular C/A e o coefi ciente de transmissão T. Deixamos como exercício opcional a realização dos passos intermediários, sendo o resultado dos cálculos dados pelas expressões:
. (13.9)
F G e F G e
k k
ika ika
− −
F G e F G e
k k
A B e A B e
ika ika
ik a ik a
" "
R
B
A
k k k k ka
T
C
A
k
( −^ ′′) (^ )
2 − 2
2 2 2 2 2 2
1
2 2
2
sen
kk ka k k
2 2 2 2 2
1
4
( ) (^ ) ′′
− sen
Fe Ge Ae Be ik Fe Ge ik
ika ika ik a ik a ika ika
− − −
( − ) =
/ / " / " / / /
2 2 2 2 (^2 2) "" (^) ( Ae − ik a " / (^2) − Beik a " / (^2) )
ATIVIDADE
AULA
^13
MÓDULO 2
ATIVIDADE
- Obtenha a Equação (13.10) a partir da Equação (13.9).
RESPOSTA COMENTADA Basta fazer as substituições e e fazer algumas manipulações algébricas.
Veja como a Equação (13.9) é parecida com a Equação (10.10),
que obtivemos na Aula 10. Podemos escrever a Equação (13.9) em
termos de E e V 0 :
. (13.10)
R E E^ V
V ka
T
V ka E E V
( )
= + (^ ) −
− 1 4
0 0
2 2
1
0
2 2
0
sen sen
− 1
k = 2 mE / h
A partir das Equações (13.9) ou (13.10), podemos verifi car que
R + T = 1, como era de se esperar, exatamente como fizemos na Atividade
3 da Aula 10. Observamos também que o coefi ciente de transmissão
T é, em geral, menor do que 1, em contradição com a situação clássica,
em que a partícula é sempre transmitida. De forma esquemática, o
comportamento de T como função da energia é bem semelhante ao
mostrado na Figura 10.4 da Aula 10, na região E > V 0 dessa fi gura.
Um ponto interessante para se chamar a atenção é que, mais uma vez,
ocorrem oscilações no coefi ciente de transmissão e que T = 1 quando
ka = n π, ou seja, quando a espessura do poço de potencial é igual a um
múltiplo inteiro da metade do comprimento de onda para a partícula
dentro do poço, λ = 2π/ k.
k " = 2 m E ( − V 0 )/h
AULA
^13
MÓDULO 2
. (13.14)
Na região interna, - a /2 < x < a /2, nada muda em relação ao caso
E > V 0 , ou seja:
(13.15)
com. A partir das condições de continuidade de ψ( x ) e da
sua derivada nos pontos x = - a /2 e x = a /2, determinamos as constantes
A , D , F e G. A continuidade em x = a /2 leva às equações:
, (13.16)
enquanto que a continuidade em x = - a /2 leva a
(13.17)
A partir da Equação (13.17), podemos calcular F e G como
função de A:
(13.18)
que, quando substituídas na Equação (13.15), levam a uma expressão
para a função de onda ψ ( x ) na região – a /2 < x < a /2:
. (13.19)
ψ ψ
’ ’
x Ae x a x De x a
K x K x
ψ ( ) x = Fe ikx^ + Ge − ikx^ , − a / 2 < x < a / 2
k = 2 mE / h
Fe Ge De ik Fe Ge K De
ika ika K a ika ika K a
/ / ’ / / / (^) ’ ’ /
2 2 2 2 2 2
( − ) = −
− − − −
Ae Fe Ge K Ae ik Fe Ge
K a ika ika K a ika
− − − −
= (^) ( − )
’ / / /
’ ’^ /^ /^ /
2 2 2 2 ika 2 2
F i K k
Ae e
G i K k
Ae e
K a ika
K a ik
^
^
−
− −
2 2
2
’ / /
’ / aa / 2
ψ ( ) x Ae ’^ / cos k x ( a / ) K ’^ ( / ) k
= K a + + k x + a ^
− (^2 2) sen 2
Introdução à Mecânica Quântica | O poço de potencial finito
Através das fórmulas para o seno e o cosseno de uma soma de ângulos, podemos reescrever ψ ( x ) como:
. (13.20)
De forma semelhante, a partir da Equação (13.16), podemos calcular F e G como função de D ,
, (13.21)
que, quando substituídas na Equação (13.15), levam a
. (13.22)
Usando agora as fórmulas para o seno e o cosseno da diferença entre dois ângulos, obtemos:
. (13.23)
Observe que as Equações (13.20) e (13.23) devem representar a mesma função de onda. Portanto, os coeficientes de sen( kx ) e cos( kx ) devem ser necessariamente idênticos. A igualdade entre os coeficientes de cos( kx ) leva a
(13.24)
que tem por soluções
, (13.25)
ψ ( )
cos cos x Ae /
ka K k
k a kx
k a
= K a
( ) +^
( ) ^
^
( ) +
− (^) ( ) + ′
− ′ 2
sen
sen KK k
cos (^) ( k a (^2) ) sen kx ^
^
( )
F i K k
De e
G i K k
e
K a ika
K a ik
^
^
− −
−
2 2
2
’ / /
De ’^ / aa^ / 2
ψ ( )
cos cos x De /
ka K k
k a kx
k a K
= K a
( ) +
( ) ^
^
( ) +
( ) −
− ′ 2
sen
sen kk
cos ( k a 2 ) sen kx ^
^
( )
A = D ou k cot (^) ( ka (^2) ) = − K ′
A ka K k
ka D ka K k
cos (^) ( / (^2) ) + ’^ ( / (^2) ) cos / 2 ’^ ka / 2 ^
= ( ) + (^) ( ) ^
sen sen (^)
ψ ( ) x De ’^ / cos k x ( a / ) K ’^ ( / ) k
= K a − − k x − a ^
− (^2 2) sen 2
Introdução à Mecânica Quântica | O poço de potencial finito
Para uma determinação completa das soluções, nos restaria agora determinar os valores de k ou, equivalentemente, os valores de energia E possíveis para a partícula dentro do poço. Para isso, teríamos que resolver as equações (para as soluções pares) e (para as soluções ímpares). Estas são equações trans- cendentes , ou seja, a incógnita, neste caso a energia E , aparece no argumento de uma função não-polinomial. Em geral, essas equações somente podem ser resolvidas por métodos numéricos ou gráficos. Em particular, no Apêndice G do livro de Eisberg e Resnick é mostrada a solução gráfica para estas equações. Não nos preocuparemos tanto com a solução dessas equações, o mais importante para o nosso estudo é discutir os seguintes aspectos qualitativos dessas soluções: (I) Tanto no caso das soluções pares quanto no caso das soluções ímpares, as equações transcendentes são satisfeitas por apenas um número finito de valores da energia E. Isto está esquematizado na Figura 13.2 , que mostra as três energias mais baixas ( E 1 , E 2 e E 3 ) de um poço quadrado. Nessa situação, que será observada novamente em exemplos a serem estudados nas próximas aulas, dizemos que a energia está quantizada ou, ainda, que para essa região de energias ( E < V 0 ) o espectro é discreto. Perceba como esta situação é distinta do caso E > V 0 , em que qualquer energia é permitida (desde que seja maior que V 0 ). Neste último caso ( E > V 0 ), temos um espectro contínuo.
k tan( ka / 2 ) = K ’ k cot( ka / 2 ) = − K ’
Figura 13.2 : O poço de potencial e três valores possíveis da energia E.
V ( x )
–a/2 V 0 a/
E 3
E 2
E 1
AULA
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(II) As funções de onda associadas às energias E MÓDULO 2^ 1 ,^ E 2 e^ E 3 têm as formas indicadas na Figura 13.3. Observe que, à medida em que
aumenta o valor da energia, é maior o número de oscilações (ou nodos)
da função de onda. Isso ocorre porque , ou seja, quanto
maior a energia, maior o número de onda que aparece no argumento dos
cossenos ou senos da função de onda na região entre – a /2 e + a /2.
(III) Note que o estado de mais baixa energia (estado fundamental)
é par (cosseno), o primeiro estado excitado é ímpar (seno), e o segundo
estado excitado é novamente par (cosseno). Como veremos novamente
nas próximas aulas, existe sempre uma alternância entre as soluções pares
e ímpares da equação de Schrödinger à medida que aumenta a energia
e a função de onda do estado fundamental é sempre par.
Figura 13.3 : Soluções para o poço de potencial quadrado correspondentes às energias E 1 (estado fundamental, par), E 2 (primeiro estado excitado, ímpar) e E 3 (segundo estado excitado, par).
k = 2 mE / h
Pode-se mostrar que o número de estados ligados de um poço de potencial é dado por , onde representa
o maior número inteiro menor que x. Note que, portanto, há no mínimo um estado ligado no poço de potencial em uma dimensão, o estado fundamental. A ocorrência de estados excitados vai depender da largura e da profundidade do poço: quanto mais largo e mais profundo, maior o número de estados excitados.
N = mVa
(^2) + 1 2 πh
[ x ]
E 1 E 2 E 3
–a/2 a/2^ –a/2 (^) a/
AULA
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MÓDULO 2
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, vamos conhecer mais um perfil de potencial em uma dimensão que dá origem a estados ligados: o poço infinito.
R E S U M O
Uma partícula incidente em um poço de potencial com E > V 0 pode ser transmitida ou refletida, exatamente como no caso da barreira de potencial. Os coeficientes de reflexão e transmissão apresentam oscilações com a energia da particula incidente. Em particular, para alguns valores da energia incidente, a partícula é transmitida com probabilidade de 100%, o que é conhecido como efeito Ramsauer. Já se 0 < E < V 0 , existem soluções para a equação de Schrödinger para apenas alguns valores da energia (estados ligados). Essas soluções podem ser pares ou ímpares, e quanto maior o número de nodos das funções de onda, maior o valor da energia da partícula.
