Baixe Matemática Básica - Matrizes e Determinantes e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Professor: Cassio Kiechaloski Mello Disciplina: Matemática
Aluno:____________________________________________________
N°____ Turma:____________ Data:__________
MATRIZES E DETERMINANTES
MATRIZES:
Em quase todos os jornais e revistas é possível encontrar tabelas informativas. Na Matemática
chamaremos estas tabelas de MATRIZES. Observe o exemplo:
Médias de Público 1ª Divisão 2ª Divisão 3ª Divisão
Inglaterra 34363 18221 7849
Alemanha 39109 17950 3964
Espanha 31126 8341 **
Itália 22697 5838 2869
Brasil 12401 7958 3274
Fonte: Superinteressante Setembro 2008
Esta matriz é de ordem 5x3, pois tem 5 linhas e 3 colunas.
Cada elemento de uma matriz é indicado por aij, onde i é a linha e j a coluna onde se encontra este
elemento.
Genericamente, uma matriz será representada da seguinte forma:
ijmn
m m m mn
n
n
n
a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
×
1 2 3
31 32 33 3
21 22 23 2
11 12 13 1
Exemplo: Criar a matriz A = (aij)3x2, tal que aij = i² - j.
TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES :
Matriz Linha: Quando m = 1
Ex. A = [3 5 -2]
Matriz coluna: Quando n = 1
Ex.
A
Matriz Quadrada: Quando m = n
Ex.
A
Matriz Diagonal: Quando aij = 0 se i≠j. Somente em matriz quadrada
A
Matriz Identidade: É uma matriz diagonal onde aij = 1 se i=j
Ex.
A
Matriz Transposta: Matriz obtida ao se inverter linhas e colunas de uma matriz
Ex:
M
T M
IGUALDADE ENTRE MATRIZES :
Duas Matrizes são iguais se todos os seus elementos correspondentes forem iguais
Ex. (^)
^ =
c
b
d
a , então a = 2, b = 3, c = 5 e d = 7
EXERCÍCIOS:
- Construa as seguintes Matrizes:
a) A = (aij)2x5, em que aij = 3i – 3j
b) B = (bij)1x3, em que bij = i
2
3
c) C = (cij)3x3, em que cij = i + j
- Dada a Matriz
A , ache A
T e A
- Determine a, b, c e d que verifiquem: (^)
2 3 c
b d
a
- Efetue:
a)
b)
- Dadas as matrizes
=^ −
A B
Obtenha as matrizes:
a) A 3
b) 2B c) 3A + 2B
T d) A*B
- Efetue as Multiplicações:
a) ( 0 3 5 )
×
b)
× −
- Determine a matriz inversa das seguintes matrizes
a)
b)
c)
d)
- (UFRGS) Se
A , então A² é a matriz
a)
b)
c)
d)
e)
- (PUCRS) Sendo as matrizes
A e (^)
B , então o produto A*B é igual a
a) [ 6 8 14 ] b)
c) (^)
d)
e)
- (PUCRS) Sendo I a matriz identidade e (^)
M então a matriz X, tal que XM = I é
a) (^)
b) (^)
c) (^)
d) (^)
e) (^)
DETERMINANTES:
Chamamos de determinante de uma matriz ao número real associado a ela.
Determinante de 1ª ordem
A=[a 11 ] → det A = a 11
Determinante de 2ª ordem
21 22
11 12
a a
a a A det A = a11a 22 – a12a 21
Ex. (^)
Determinante de 3ª ordem
Aplica-se a regra de Sarrus
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
A
21 22 23
11 12 13
31 32 33
21 22 23
11 12 13
det
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
A ou
31 32
21 22
11 12
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a
a a
a a
a a a
a a a
a a a
Ex.
Determinante de 4ª ordem ( esta regra pode sr aplicada em qualquer matriz quadrada )
41 42 43 44
31 32 33 34
21 22 23 24
11 12 13 14
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
A
Teorema de Laplace: Um determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila
qualquer pelos seus respectivos cofatores.
Cofator: Cof (^) ij = (-1)
i+j *Dij, onde Dij é o determinante da matriz obtida excluindo-se a linha e a
coluna do elemento aij.
Ex.
Propriedades dos determinantes:
Toda matriz quadrada que possui uma linha ou coluna nula tem determinante nulo
O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua matriz transposta
Toda matriz que possui duas linhas ou colunas iguais tem determinante nulo
O determinante muda de sinal quando se troca a posição de duas linhas ou colunas
Uma matriz quadrada que possui duas linhas ou colunas proporcionais tem seu determinante
nulo
O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes
Multiplicando uma linha ou coluna de uma matriz por um número real K, seu determinante fica
respectivamente multiplicado por K.
- Uma matriz quadrada que possui todos os elementos de um mesmo lado da diagonal principal
iguais a zero tem determinante igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
EXERCÍCIOS:
- Calcule o valor de cada um dos determinantes:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
- Se (^)
A e (^)
B , então det(AB) é:
a) -20 b) -10 c) 0 d) 10 e) 20
- Dada a matriz (^)
A , o determinante da matriz A² é igual a:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
- (UFRGS) Sendo A=(aij)mxn uma matriz onde n é igual a 2 e aij = i²-j, o determinante da matriz A
é:
a) -3 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3
