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MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMA DE ENGENHARIA QUÍMICA
Modelagem e simulação de processos tem demonstrado ser uma ferramenta poderosa no projeto e otimização de equipamentos. Um modelo é qualquer objeto concreto ou abstrato utilizado para explicar algum fenômeno. Normalmente, em ciências humanas, utilizam-se modelos abstratos, mas em engenharia química os modelos concretos são chamados de planta piloto. Por outro lado, o mais comum em Engenharia, é utilizar um certo conjunto de dados (parâmetros) e idéias abstratas para explicar um fenômeno de interesse relacionando-os as variáveis do problema, e este tipo de modelo chama-se modelo matemático. Para modelar um processo ou equipamentyo, o engenheiro precisa dos seguintes conhecimento:
- Estar familiarizado com os aspectos físicos do seu equipamento ou processo, dessa forma, ele poderaá avaliar quais variáveis são importantes, e quais ele poderá desprezar;
- Ser capaz de fazer um balanço de massa e/ou enegia no seu equipamento ou processo, afim de obter um sistema de equaçoes diferenciais que o represente; -Resolver essas equações através de um método computacional. A estratégia geral para a simulação de processos complexos, segue os seguintes passos:
Definição do problema ↔ Modelagem matemática do problema ↔ Simulação computacional ↔ Interpretação dos resultados
-A definição do problema consiste em delimitar o equipamento ou processo de interesse e as condições operacionais do mesmo;
- A modelagem matemática refere-se a escrever as equações de balanço apropriada para o seu equipamento ou processo. Experimentos laboratoriais são requeridos para determinação de parametros e mecanismos de reação. Nessa etapa, o engenheiro deverá verificar quais os efeitos são importantes para o seu processo e quais podem ser desprezados. A análise de ordem de grandeza poderá ajudá-lo nesse sentido;
- A simulação computacional consiste em resolver através de um método numérico, um conjunto de equações deferenciais e/ou algébricas.
- A interpretação dos resultados deverá verificar se o seu modelo está coerente com a realidade física de seu equipamento, e onde o mesmo precisa de ajuste.
CLASSIFICAÇÃO E HIPÓTESES BÁSICAS DOS MODELOS MATEMÁTICOS
Modelos matemáticos podem ser classificados genericamente como teóricos ou empíricos. Modelos teóricos são desenvolvidos a partir de pressupostos teóricos (balanço de massa, energia, conservação de quantidade de movimento, etc.) que tentam descrever de forma mais fundamentais os vários aspectos envolvidos no problema. Modelos empíricos são aqueles que não estão baseados em quaisquer pressupostos teóricos, mas apenas são utilizados para descrever um certo conjunto de pontos experimentais conhecidos.
A principio os modelos empíricos são tão bons quantos os modelos teóricos, embora os modelos empíricos sejam mais limitados que os teóricos. Por exemplo,
imagine a operação de uma certa solução consiste em adicionar uma massa conhecida de reagente, M, a um tanque de seção transversal A= πR 2 e depois diluí-la com uma
certa quantidade de solvente. A questão é determinar até que altura deve-se encher o tanque para se atingir uma concentração pré-especificada.
Solvente h Sólido
Experimentalmente essa operação poderia ser feita com o seguinte tabelamento:
Amostra Dados da amostra durante diluição H (m) C ( Kg/ m^2 ) 1 2 1 2 4 0, 3 6 0, 4 8 0,
Caso um novo tanque seja completo com diâmetro duas vezes maior os dados obtidos com o tanque de menor volume não podem ser usados para aferir o novo tanque.
As hipóteses fundamentais para os modelos teóricos são: 1- A massa se conserva (Princípio de Lavoisier); 2- A energia se conserva (1º lei da termodinâmica); 3- A quantidade de movimento se conserva (3° lei de Newton);
De uma forma prática, os Princípios de conservação podem ser expressos da seguinte forma:
[Grandeza acumulada = Grandeza adicionada – Grandeza removida]
onde Grandeza é a massa, a energia ou a quantidade de movimento numa determinada região do espaço.
Os modelos podem ser dinâmicos ou estacionários. Modelos dinâmicos consideram as variações temporais das variáveis envolvidas, enquanto os modelos estacionários são aqueles que admitem que as variáveis não se modificam com o tempo. Os modelos estacionários operam continuamente, enquanto os dinâmicos são mais complexos e utilizados em operação descontínua ou batelada.
Uma outra classificação útil é a que define modelos a Parâmetros concentrados ou distribuídos. Modelos a Parâmetro concentrado são aqueles nos quais admite-se que as propriedades são uniformes no espaço, ou seja, não variam com as coordenadas de posição. Por exemplo, o tanque bem misturado, onde se admite que em qualquer lugar do tanque as propriedades são as mesmas. Modelos a Parâmetros distribuídos, por sua
Observe que a equação acima só é válida para fluidos incompressíveis e tanque agitador, ou seja, bem misturado.
BALANÇO DE MASSA DO COMPONENTE A:
Dividindo-se por ∆t e tomando-se o limite em que ∆t→0, chega-se a:
Supondo-se que o volume do reator é mantido constante, então:
e que
Então,
Essa relação expressa o balanço de massa do componente A, consumido num reator de 1º ordem, num tanque contínuo bem agitado.
BALANÇO DE MASSA DO COMPONENTE B:
Procedendo da mesma forma para o componente B fica:
Então,
MB = VCB → e dessa forma:
Essa equação expressa balanço de massa do componente B, produzido do componente A numa reação de 1º ordem, num tanque contínuo bem agitado.
BALANÇO DE MASSA DO SOLVENTE (S)
Diz-se que o último balanço é redundante, pois como a soma dos balanços individuais tem que dar o balanço global, este último balanço pode sair simplesmente como uma diferença dos demais. Como a concentração molar total deve ser a densidade da mistura, então:
C (^) SP (^) MS + C (^) A PMA + C (^) BP (^) MB = ρ
Onde PM é o peso molecular do componente. Dessa forma,
BALANÇO DE ENERGIA:
Aplicando-se um balanço de energia no reator tem-se:
[Energia acumulada] = [Energia adicionada] – [Energia removida][Energia produzida ou consumida pela reação]
Onde: ET → Energia térmica do reator num determinado instante;
C (^) Te → Energia da corrente de entrada por unidade de massa; C (^) Ts→ Energia da corrente de saída por unidade de massa; → taxa de calor fornecido ao sistema pelo trocador de calor (J/s); → Taxa de trabalho executado sobre a massa do fluido pelo agitador (J/s); T →^ Taxa de liberação de energia térmica pela reação química.
No limite quando ∆t→0 tem-se que:
Por outro lado, como o fluido é incompressível, reator bem misturado e volume constante, tem-se que: ET =ρVC (^) T → Fluido incompressível
qeρ (^) e C (^) Te = qρC (^) Te Reator bem misturado, Fluido incompressível e volume constante. qsρ (^) sC (^) Ts = qρC (^) Ts
Por outro lado, da termodinâmica, o conteúdo energético de um material é dado por:
C (^) T = C (^) p (T – T R) onde TR^ é uma temperatura de referência.
Dessa forma,
Então,
Como: ; γ =; θ = e
Tem-se: (*) e
Onde = = θ
Então, = × × θ → = ×
Substituindo esses valores em (*) fica:
×=––KCA com K = Koexp( -∆E/RT)
=1– XA – K0X (^) A θexp( -∆E/RγT (^) e)
Procedendo-se da mesma forma para a substância B fica:
= – XB– K (^) 0X (^) Aθexp( -∆E/RγTe )
Agora admensionaliza-se a concentração do solvente:
Com, ; ;
Para admensionalizar a equação da energia procede-se da seguinte forma:
γ =; θ = e
onde e
e
Então,
Com, K = Koexp( -∆E/RT (^) e ) e
Com isto chega-se a :
Dessa forma, o sistema adimensionalizado torna-se:
Um modelo a Parâmetro Distribuído – O reator tubular tipo Plug-Flow:
O mesmo é apresentado esquematicamente na figura abaixo:
Nesse tipo de reator diz que se estabelece um escoamento empistonado ou plug- flow, ou seja, não há varição radiais de propriedades e o perfil radial de velocidade é uniforme. L y
; ; ; K = Koexp( -∆E/RT (^) e)
γ =; ;
Fazendo-se esse processo para a equação do componente A, tem-se que:
Como, e
Então, = × ×
e
Então,
Procedendo da mesma forma para as outras equações, chega-se a:
Problema Proposto:
Considere a transferência de calor em uma placa quadrada bidimensional, 0<x<L e 0<y<L, de condutividade térmica constante, k, com condições de contorno adiabáticas em duas faces (x=0 e y=0), de terceiro tipo em outra face (y=2, com coeficiente de convecção h) e de primeiro tipo na última face (x=2). Além disso, o meio gera uma taxa volumétrica de calor proporcional à diferença entre a sua temperatura e a do meio externo, T∞. Este problema de contorno é descrito pelas seguintes equações.
0 < x ; y < L
X=0,
Y=0,
Y=L, x=L, T=T (^1)
Sendo q e T 1 constante. Adimensionalize a s equações ( sugestão: consulte o Bird para ver as novas variáveis admensionais).
4. Modelagem da Cristalização: Problema de Stefan Aplicado ao
Crescimento de Cristais
Problemas em que o domínio da condição de contorno da
equação diferencial parcial não é conhecido a priori, mas deve ser
determinado como parte da solução do problema, são denominados de
problema de fronteira móvel. Os problemas de fronteira móvel são
aqueles em que a posição da fronteira depende do tempo e do espaço.
Problema de fronteira móvel é, freqüentemente, chamado de
problema de Stefan, com referência ao trabalho de Stefan (1889)
nessa área. No esforço de se obter um modelo teórico para o
crescimento do cristal, esse processo de separação é associado
ao problema de Stefan. Aparentemente, o primeiro trabalho que
pode ser associado ao problema matemático da fronteira móvel foi
proposto por Lamé e Clapeyron em 1831. Nesse trabalho, eles
determinaram a espessura do sólido gerado pelo resfriamento do
líquido. Em 1889, Stefan resolve um problema mais geral para o
crescimento de um sólido pelo resfriamento do líquido.
Normalmente, o problema de Stefan é associado à
cristalização de sólidos fundidos, um caso no qual a difusão de
calor ou a transferência de energia é importante (Stefan,1889;
Myers e Hammond,1999). No presente trabalho, é proposta a
resolução de um problema de Stefan para o caso onde a
transferência de massa é o fator determinante do fenômeno, por
isso, o mesmo é associado à cristalização de solução.
Deriva-se um modelo unidimensional por dois motivos:
primeiramente, por gerar um problema matemático com solução
analítica, o que possibilita uma interpretação física instantânea
para o mesmo e segundo por que o crescimento do cristal em
solução é da ordem de alguns milímetros (Nyvlt, 1985), o que
A equação da continuidade para uma mistura binária ou pseudobinária
(Bird et al.,1960) é:
Considerando-se que não há reação química (R (^) A =0) e que a difusão
seja constante, a equação acima pode ser simplificada para:
Para a determinação da condição de Stefan, deve-se partir da
concentração do cristal dada por :
Derivando-se essa expressão com relação ao tempo, tem-se:
Essa variação é igual à taxa difusiva que chega à parede do
cristal (-NA .A), de forma que se obtém a seguinte relação (Bird et al.,
1960):
Combinando-se as equações anteriores, tem-se que :
e, finalmente, chega-se à condição de Stefan:
Desta forma, o problema com as condições de contorno é dado por :
esse problema é definido para todo.
Este problema de Stefan, para cristalização de solução, que considera
a transferência de massa como força motriz do fenômeno, é inédito na
literatura. Para o caso unidimensional, o mesmo apresenta solução
analítica e, desta forma, será buscada a solução para o problema. Vale
ainda salientar que, do ponto de vista industrial, o problema
unidimensional é uma boa aproximação, haja vista que o crescimento
do cristal é da ordem de milímetros (Nyvlt, 1985).
4.1 Solução do Problema de Stefan
Definindo-se concentração e comprimento adimensional,
respectivamente, tem-se:
e, rescrevendo-se as equações nas variáveis adimensionais, tem-se que:
e fazendo-se: ; e 4.
-Apresentar seminário sobre solução numérica de sistemas lineares e não lineares de equações algébricas.
Métodos Diretos: Eliminação Gaussiana Eliminação de Gauss-Jordan: inversão matricial- decomposição LU- etc.
Métodos iterativos: -Iteração de jacobi -itereção de Gauss-Seidel -Sobrerelaxação sucessiva -Relaxação por linhas(LSOR) -Método implícito de direção alternada.
Bibliografia:
- Numerical Methods and Modeling for chemical engineers Mark E. Davis, John Wiley & Son
- Numerical Analysis (Fourth edition) Richard L. Burden , J. Douglas Faires
Saída de produto
Saída do fluido refrigerante
QS ,ρ (^) S
Entrada
do fluido refrigerado
Alimentação
A B
R B= – R A = KCA
Alimentação
Do reagente
Remoção
De produto
Saída do fluido refrigerante
Entrada do fluido refrigerante
