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Equações diferenciais hiperbólicas
As equações diferenciais parciais de segunda ordem hiperbólicas ocorrem principalmente em problemas de física, ligados com processos vibratórios. Por exemplo, a equação da onda em uma dimensão:
Que descreve o movimento de um fio vibrando submetido a uma tensão T 0 e a uma força externa
f(x,t). Se a densidade F 07 2 for constante, a equação acima torna-se:
Onde,
Se não há força externa, o problema torna-se homogêneo, então:
Ou em duas dimensões:
A solução numérica pode ser obtida expandindo-se cada termo de segunda ordem em termos da diferença finita central. Então, aplicando essa discretização na equação homogênea em uma dimensão:
Rearrumando para explicitar o termo U (^) i, n+
O método será estável se:
De modo análogo para uma equação homogênea em duas dimensões
Pode ser expandida usando-se diferenças centrais, como anteriormente, e obter a seguinte expressão para U (^) i, J, n+
Que será estável quando
Métodos implícitos para solução de equações hiperbólicas, podem ser desenvolvidos da mesma maneira que foram desenvolvidos para equações parabólicas. Então, aplicando-se a mesma metodologia desenvolvida anteriormente, tem-se que:
Onde 0 ≤θ≤1. Quando θ=0, obtém-se o método explicito e quando θ=1/2, obtém-se o método de Crank-Nicolson. Método implícito gera um sistema de matriz tridiagonal que pode ser resolvido usando-se o método de eliminação Gaussiana. A estabilidade do método das diferenças finitas, poderá ser estudada em detalhe no livro: Lapidus, L. and Pinder, G.F. Numerical Solution of Partial differential equation in Science and Engineering, Wiley, N.Y.1982. Nesse livro, os autores concluem que muitos métodos explícitos de diferença finita são condicionalmente estáveis, enquanto muitos métodos implícitos são incondicionalmente estáveis.
2- Equação de Laplace em duas dimensões com condições de contorno de Robbins. 3- Equação da condição de calor em estado não estacionário, e em duas dimensões, com condição de contorno de Robbins. 4- Equação da difusão em estado transiente, em duas dimensões com condição de contorno de Robbins. 5- Equação de Laplace em três dimensões com condição de contorno de Robbins. 6- Equação parabólica, não homogênea com condição de contorno de Cauchy. 7- Equação de Laplace não homogênea (eq. de Poisson) com condições de contorno de Cauchy. 8- Equação da condução de calor em três dimensões em estado estacionário com condições de contorno de Cauchy. 9- Equações da difusão em três dimensões em estado estacionário com condição de contorno de Cauchy.
Condições de contorno 1 x= 0 , x= 1, = 1 y = 0, y =1,
Condições de contorno 2 x= 0 , = 0 x= 1, y = 0, y =1,
Condições de contorno 3 x= 0 , = 0 x= 1, = 1 y = 0, y =1, Condições de contorno 4 x= 0 , = 0 x= 1, = 1 y = 0, = 0 y =1, = 1 Condições de contorno 5 x= 0 , = 0 x= 1, = 1 y = 0, y =1, = 1 Condições de contorno 6 x= 0 , = 0 x= 1, = 1 y = 0, y =1, Condições de contorno 7 x= 0 , = 0 x= 1, = 1 y = 0, y =1, Condições de contorno 8 x= 0 ,
