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C´aculo de Probabilidades
Uma probabilidade ´e uma quantidade utilizada para se medir a
incerteza associada a certos eventos ou caratcter´ısticas de interesse.
Tais eventos, em geral, est˜ao associados a experimentos aleat´orios.
Defini¸c˜ao: Um experimento aleat´orio ´e um ensaio cujos
resultados n˜ao podem ser precisados.
Ex.1: Arremessar uma dado e anotar o n´umero na face voltada para cima; Ex.2: Arremessar uma moeda e verificar a face voltada para cima; Ex.3: Selecionar aleatoriamente um transistor e verificar seu tempo de vida; Ex.4: Contar o n´umero de part´ıculas emitidas por uma fonte radiotiva.
C´aculo de Probabilidades
Distribui¸c˜ao de Frequˆencia
(a) Observadas: Calculada com base nos valores observados. (b) Modelo Te´orico: Proposto pelo pesquisador para representar a distribui¸c˜ao de frequˆencia populacional.
C´aculo de Probabilidades
(b) Procedimento Te´orico: Construir a distribui¸c˜ao de frequˆencia
(probabilidades) atrav´es de suposi¸c˜oes te´oricas, tais como:
(b.1) S´o podem ocorrer 6 faces (1,2,3,4,5,6); (b.2) O dado ´e perfeitamente equilibrado. Ent˜ao, cada face deve ocorrer o mesmo n´umero de vezes, ou seja, fi = 16 · Com isso, a distribui¸c˜ao de frequˆencia proposta ´e:
Face 1 2 3 4 5 6 Total
Freq. Te´orica 16 16 16 16 16 16 1
C´aculo de Probabilidades
Em geral, todo fenˆomeno aleat´orio ter´a seu modelo probabil´ıstico
especificado no momento em que estabelecemos o espa¸co amostral Ω e
probabilidade P(ω) para cada “ponto amostral”ω.
Defini¸c˜ao: O espa¸co amostral Ω ´e o conjunto de todos os
resultados poss´ıveis de um experimento aleat´orio.
Classifica¸c˜ao:
1. Espa¸co Amostral Discreto: quando for poss´ıvel contar ou
enumerar os elementos de Ω. Ex.: Ω = {ω 1 , ω 2 , ...}·
2. Espa¸co Amostral Cont´ınuo: quando Ω for um intervalo real. Ex.:
Ω = I = [a, b] ⊂ R.
C´aculo de Probabilidades
Exemplo: Considere o experimento aleat´orio que consiste em lan¸car
uma moeda honesta duas vezes. Sejam k = {cara} e c = {coroa}.
Ω = {ω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 } ω 1 = (k, k); ω 2 = (k, c); ω 3 = (c, k); ω 4 = (c, c)· Esse ´e um espa¸co amostral discreto. Temos que, P(ωi ) = 14 , ∀ i = 1, 2 , 3 , 4 · Seja o evento A = {ω 1 , ω 4 } = {obter duas faces iguais} · Ent˜ao, P(A) = P({ω 1 , ω 4 }) = P(ω 1 ) + P(ω 4 ) = 14 + 14 = 24 = 12 ·
C´aculo de Probabilidades
No ´ultimo exemplo, pode-se observar que, atrav´es das probabilidades
pontuais, ´e poss´ıvel calcular a probabilidade de ocorrˆencia de eventos que
incluem a ocorrˆencia de v´arios pontos amostrais.
Retomando o exemplo do arremesso do dado:
Ω = {ω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 , ω 5 , ω 6 }· em que ωi = {face i}, ∀ i = 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 · Esse ´e um espa¸co amostral discreto. P(ωi ) = 16 · Seja, A = {a face ´e um n´umero par} = {ω 2 , ω 4 , ω 6 } = { 2 , 4 , 6 } P(A) = P({ 2 }, { 4 }, { 6 }) = P(2) + P(4) + P(6) = 36 = 12 ·
Axiomas de Kolmogorov
Defini¸c˜ao (Axiomas de Probabilidade): Dizemos que P ´e uma
medida de probabilidade sobre Ω, se:
(i) 0 ≤ P(E ) ≤ 1, ∀ E ⊂ Ω; (ii) P(Ω) = 1; (iii) P
i=
Ei
∑^ ∞
i=
P (Ei ) onde Ei ∩ Ej = ∅, ∀i 6 = j, 1 ≤ i, j ≤ +∞·
Propriedades
Proposi¸c˜ao: Sejam E , F ⊂ Ω. Se P ´e uma medida de probabilidade
sobre Ω, ent˜ao:
(1) P (E c^ ) = 1 − P (E ) · (2) Se E ⊂ F , ent˜ao P(E ) ≤ P(F )· (3) P (∅) = 0· (4) P (E ∪ F ) = P (E ) + P (F ) − P (E ∩ F ) ·
Propriedades: Modelo Te´orico
Escolhendo um aluno ao acaso (e considerando que cada aluno tem
a mesma probabilidade de ser selecionado), definem-se os seguintes
eventos:
M = {estudante da Matem´atica Pura} A = {estudante da Matem´atica Aplicada} E = {estudante da Estat´ıstica} C = {estudante da Computa¸c˜ao} Ma = {sexo Masculino} Fe = {sexo Feminino}
Propriedades: Modelo Te´orico
Assim,
P(M) = 110200 = 0. 550
P(A) = 20030 = 0. 150
P(E ) = 20030 = 0. 150
P(C ) = 20030 = 0. 150
P(Ma) = 115200 = 0. 575 P(Fe) = 20085 = 0. 425
Uni˜ao de Eventos
Definimos agora como evento U, escolher ao acaso um aluno e ele
ser estudante de estat´ıstica ou sexo masculino.
U = E ∪ Ma, o evento U ´e uma uni˜ao dos eventos E e Ma.
P(E ∪ Ma) = P(E ) + P(Ma) − P(E ∩ Ma)
P(E ) = 10+20 200 = 0. 150
P(Ma) = 70+15+10+20 200 = 0. 575
P(E ∩ MA) = 20010 = 0. 050
Ent˜ao: P(E ∪ Ma) = 0.150 + 0. 575 − 0 .050 = 0. 675
Uni˜ao de Eventos
Note que:
P(M ∩ C ) = P(∅) = 0
Assim:
P(M ∪C ) = P(M)+P(C )−P(M ∩C ) = P(M)+P(C ) = 140200 = 0. 700
Equiprobabilidade
Defini¸c˜ao: Seja Ω = {ω 1 , ..., ωN }, satisfazendo
P (ω 1 ) = P (ω 2 ) = · · · P (ωN ) ·
Nestas condi¸c˜oes, dizemos que Ω ´e um espa¸co amostral equiprov´avel.
Propriedades: Se Ω ´e um espa¸co amostral equiprov´avel, ent˜ao:
(1) P(ωi ) = (^) N^1 , ∀ i = 1, 2 , ..., N; (2) Seja A = {ωA 1 , ..., ωAm} ⊂ Ω, com m ≤ N. Ent˜ao, P(A) = mN ·
Equiprobabilidade
Exemplo: Uma moeda honesta ´e lan¸cada uma vez.
Ω = {k, c} P(k) = P(c) = 12 · A = {k} Ent˜ao, P(A) = 12 ·
