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110 Computação para Engenharia Turmas EE, EM, EMP
Aula
INTRODUÇÃO À LÓGICA
ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES
Objetivo:
- Fornecer conceitos básicos da álgebra das proposições e a definição de conectivos;
- Apresentar a lógica simbólica para o tratamento de sentença;
- Mostrar a analogia entre Teoria dos Conjuntos, Álgebras das Proposições e Circuitos Eletrônicos;
- Análise e síntese de expressões lógicas e circuitos elétricos;
- O uso de circuitos eletrônicos digitais através dos conectivos lógicos.
Histórico
- Século XIX, George Boole desenvolveu sistema de álgebra (Álgebra das Proposições) onde se pode determinar se uma sentença é falsa ou verdadeira ;
- Em 1930, Alan Turing mostrou que com apenas três funções lógicas (os conectivos " E ", " OU " e " NÃO ") a álgebra de Boole pode ser utilizada para compor sentenças verdadeiras ou falsas.
ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES
Proposição é qualquer afirmação verbal que pode ser verdadeira ou falsa (nunca ambas).
Exemplo:
A frase "Choveu ontem à tarde" é proposição pois pode ser V ou F
Já a frase "Onde é que você esteve?" não é proposição
Raciocínio Pensamento Humano LÓGICA^
Fazer a máquina "PENSAR"
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O conectivo "E" - Conjunção
Duas proposições podem ser combinadas pelo conectivo "E" ou "e" para formar uma nova proposição chamada conjunção das proposições originais. Dadas duas proposições p e q , a representação da conjunção das duas proposições é indicada por:
p ∧ q (Leia-se p e q)
Exemplo Sejam as proposições:
p : "Paris está na França" é uma proposição Verdadeira q : "Paris está na Inglaterra" é uma proposição Falsa r : 2+2=5 é uma proposição Falsa s : 2+2=4 é uma proposição Verdadeira
As novas proposições obtidas pelas conjunções abaixo podem proposições V ou F :
a) p ∧ s
Significa "Paris está na França e 2+2=4" é portanto uma proposição Verdadeira
b) p ∧ r
Significa "Paris está na França e 2+2=5" é portanto uma proposição Falsa, apesar de 2+2 não é igual a 5
c) q ∧ s
Significa "Paris está na Inglaterra e 2+2=4" é portanto uma proposição Falsa, apesar de 2+2=4 ser Verdadeira
d) q ∧ r
Significa "Paris está na Inglaterra e 2+2=5" é portanto uma proposição Falsa
Uma conseqüência do uso da conjunção "E" é que, no caso da combinação de duas proposições, basta uma proposição ser FALSA para que a nova proposição seja FALSA , conforme pode ser visto na tabela abaixo:
p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F
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O "NÃO" - Negação
Dada uma proposição p qualquer, uma outra proposição pode ser obtida escrevendo " É falso que .. " antes de p , chamada negação de p ou não p , cuja representação é indicada por:
¬ p (Leia-se não p)
Exemplo Vamos utilizar as mesmas proposições apresentadas no exemplo anterior:
p : "Paris está na França" é uma proposição Verdadeira
¬ p : " É falso que Paris está na França" é uma proposição Falsa
r : "2+2=5" é uma proposição Falsa
¬ r : "2+2≠5" é uma proposição Verdadeira
Uma conseqüência do uso da negação "NÃO" é que:
- se p é VERDADEIRA então ¬ p é FALSA ;
- se p é FALSA então ¬ p é VERDADEIRA ;
Conforme pode ser visto na tabela abaixo:
p (^) ¬ p V F F V
ANALOGIA ENTRE TEORIA DOS CONUNTOS E ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES
A B
Disjunção
A ∧ B
A∪B (A união B)
A B
Conjunção
A ∧ B
A∩B (A intersecção B)
A B^ A∩B (A intersecção B)
Negação
¬ A A
(Complemento de A)
A
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Leis da Álgebra das Proposições
Lei Descrição p ∨ p ≡ p
Idempotentes
p ∧ p ≡ p
( p ∨ q )∨ r ≡ p ∨( q ∨ r )
Associativas
( p ∧ q )∧ r ≡ p ∧( q ∧ r )
p ∨ q ≡ q ∨ p
Comutativas
p ∧ q ≡ q ∧ p
p ∨( q ∧ r )≡( p ∨ q )∧( p ∨ r )
Distributivas
p ∧( q ∨ r )≡( p ∧ q )∨( p ∧ r )
p ∧ 0 ≡ 0 p ∧ 1 ≡ p
de Identidade
p ∨ 0 ≡ p p ∨^1 ≡^1 (sempre verdade)
p ∨ ¬ p ≡ 1 p ∧ ¬ p ≡ 0
Complementares
¬¬ p ≡ p ¬ 0 ≡ 1 ¬ 1 ≡ 0
¬( p ∨ q )≡¬ p ∧¬ q
de De Morgan
¬( p ∧ q )≡¬ p ∨¬ q
Exemplo4 Uso da Lei de De Morgan Sejam as seguintes proposições:
p : "Chove" q : "Faz frio"
Caso quizemos dizer: " Não é verdade que chove e faz frio". A representação simbólica da nova proposição seria:
. ¬(^ p^ ∧ q )
Aplicando Lei de Morgan obtemos:
¬( p ∧ q )≡¬ p ∨¬ q
O que equivale dizer " Não chove ou não faz frio"
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Exercícios de fixação pág. 75 a 77. Ref.: Guimarães/Lages. "Introdução à Ciência da Computação". Livros Técnicos e científicos, 1998.
