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A U L A
Descobrindo medidas
desconhecidas (III)
Já dissemos que a necessidade de descobrir medidas desconhecidas é uma das atividades mais comuns na área da Mecânica. Por isso, torneiros, fresadores, retificadores, ajustadores e ferramenteiros têm de dominar esse conhecimento com muita segurança para poder realizar bem seu trabalho. Você já aprendeu que, usando o Teorema de Pitágoras, é possível descobrir a medida que falta, se você conhecer as outras duas. Porém, às vezes, as medidas disponíveis não são aquelas adequadas à aplicação desse teorema. São as ocasiões em que você precisa encontrar medidas auxiliares e dispõe apenas de medidas de um lado e de um ângulo agudo do triângulo retângulo. Nesse caso, você tem de aplicar seus conhecimentos de Trigonometria. Por sua importância, esse assunto sempre está presente nos testes de seleção para profissionais da área de Mecânica. Vamos supor, então, que você esteja se candidatando a uma vaga numa empresa. Uma das questões do teste é calcular a distância entre os furos de uma flange, cujo desenho é semelhante ao mostrado abaixo.
Você sabe resolver esse problema? Não? Então vamos lhe ensinar o caminho.
A U L A
O problema
R
10 furos,10 furos, ∆1/2 " 1 2
"
A U L A
6
RelaÁ„o seno
Seu problema é encontrar a distância entre os furos. Você já sabe que, para achar medidas desconhecidas, pode usar o triângulo retângulo, porque o que lhe dará a resposta é a análise da relação entre as partes desse tipo de triângulo. Na aplicação do Teorema de Pitágoras, você analisa a relação entre os catetos e a hipotenusa. Porém, existem casos nos quais as relações compreendem também o uso dos ângulos agudos dos triângulos retângulos. Essas relações são estabelecidas pela Trigonometria.
Recordar é aprenderRecordar é aprenderRecordar é aprenderRecordar é aprenderRecordar é aprender Ângulo agudoÂngulo agudoÂngulo agudoÂngulo agudoÂngulo agudo é aquele que é menor que 90º. TrigonometriaTrigonometriaTrigonometriaTrigonometriaTrigonometria é a parte da Matemática que estuda as relações entre os ângulos agudos do triângulo retângulo e seus lados.
Vamos então analisar o problema e descobrir se teremos de usar o Teorema de Pitágoras ou as relações trigonométricas. A primeira coisa a fazer é colocar um triângulo dentro dessa figura, pois é o triângulo que dará as medidas que procuramos.
Unindo os pontos A, B e C, você obteve um triângulo isósceles. Ele é o caminho para chegarmos ao triângulo retângulo. Traçando a altura do triângulo isósceles, temos dois triângulos retângulos.
Recordar é aprenderRecordar é aprenderRecordar é aprenderRecordar é aprenderRecordar é aprender Triângulo isóscelesisóscelesisóscelesisóscelesisósceles é aquele que possui dois lados iguais. A altura desse tipo de triângulo, quando traçada em relação ao lado desigual, forma dois triângulos retângulos.
Nossa aula
R A
B
C
ß
R
B
C
A ß D
A U L A
6
Mesa de Seno Blocos -padrão
DESEMPENO
300
30 90˚
ø 40
X
R
O primeiro triângulo que você desenhou foi dividido em dois. O resultado obtido (co = 23,175) corresponde à metade da distância entre os furos. Por isso, esse resultado deve ser multiplicado por dois:
2 ¥ 23,175 mm = 46,350 mm Assim, a distância entre os furos da peça é de 46,350 mm.
Imagine que você tem de se preparar para um teste em uma empresa. Faça os exercícios a seguir e treine os cálculos que acabou de aprender.
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1 Calcule a altura dos blocos-padrão necessários para que a mesa de seno fique inclinada 9º 3 0 '.
Solução: sen a =
co hip sen a = ( 9 º 3 0 ') = hip = 300 co =?
.....=
co 300 co =
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2 Calcule a cota x deste desenho.
Solução: x = 30 + hip + R x = 30 +? + 20
Cálculo da hipotenusa: sen a =
co hip
sen 45 º=
hip hip = x =
Tente vocÍ
tambÈm
A U L A
6
20
x
x^
60˚
20
Exercício 3Exercício 3 Exercício 3Exercício 3Exercício 3 Calcule a cota x do seguinte desenho.
RelaÁ„o co-seno
Vamos supor agora que o teste que você está fazendo apresente como problema encontrar a cota x de uma peça semelhante ao desenho mostrado a seguir.
Como primeiro passo, você constrói um triângulo isósceles dentro do seu desenho e divide esse triângulo em 2 triângulos retângulos. Seu desenho deve ficar assim:
Em seguida, você analisa as medidas de que dispõe: a hipotenusa (20 mm) e o ângulo a, que é a metade do ângulo original dado de 60°, ou seja, 30°. A medida de que você precisa para obter a cota x é a do cateto adjacente ao ângulo a. A relação trigonométrica que deve ser usada nesse caso é o co-seno,co-seno,co-seno,co-seno,co-seno, cuja fórmula é:
cos a =
cat.adjacente hipotenusa
ou
ca hip
ø 80 35˚ X
A U L A
6
Exercício 6Exercício 6 Exercício 6Exercício 6Exercício 6 Calcule o ângulo a do chanfro da peça abaixo.
Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7 Calcule a cota x da peça chanfrada mostrada a seguir.
Esta parte da lição foi criada para você pôr à prova seu esforço e seu empenho no estudo do assunto da aula. Releia a aula e estude os exemplos com atenção. Depois faça os seguintes exercícios.
Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8 Calcule a distância entre furos da flange com 12 furos igualmente espaçados, cujo raio da circunferência que passa pelo centro dos furos é de 150 mm.
Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9 Calcule a altura dos blocos-padrão para que a mesa de seno fique inclinada 18°. A distância entre o centro dos roletes de apoio da mesa é de 300 mm.
Exercício 10Exercício 10Exercício 10Exercício 10Exercício 10 Calcule a cota h da peça abaixo.
Exercício 11Exercício 11Exercício 11Exercício 11Exercício 11 Calcule a cota x da seguinte peça.
Teste o que
vocÍ aprendeu
80
x
5˚
x
ß 20
