Base de um Espaço Vetorial, Notas de estudo de Física

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Espaço Vetorial Subespaço Vetorial Combinação Linear

Base de um Espaço Vetorial

Espaço Vetorial

Um espaço vetorial é uma estrutura (V,+,.) formada por um conjunto V de elementos, uma operação + de adição de elementos de V e uma operação. de multiplicação de elementos de V por escalares de um corpo K, satisfazendo às propriedades:

1. Quaisquer que sejam u,v,w V:

(u+v)+w = u+(v+w)

2. Existe ö V (elemento nulo) tal que para todo v V: ö + v = v
3. Para cada v V, existe –v V (elemento oposto) tal que v+(–v)=ö
4. Quaisquer que sejam u,v V, segue que

u+v=v+u

5. Para todo escalar k K e quaisquer v,w V: k.(v+w) = k.v + k.w
6. Para quaisquer k,m K e todo v V:

(k+m).v = k.v + m.v

10. Se k (^) 1 ,k (^) 2 ,…,k n K e vV, então:

(k (^) 1 +k^ 2 +…+k^ n )v = k^ 1 v + k 2 v+…+k^ n v

11. Se kK e v (^) 1 ,v (^) 2 ,…,v n V, então:

k(v (^) 1 +v^ 2 +…+v^ n ) = kv^ 1 + kv 2 +…+kv^ n

Exemplos de espaços vetoriais

1. Todo corpo K é um espaço vetorial sobre o próprio corpo K com as operações usuais de adição e multiplicação de K.
2. O corpo R dos números reais é um espaço vetorial sobre o corpo Q dos números racionais com as operações de adição e multiplicação de R.
3. (^) O corpo C dos números complexos é um espaço vetorial sobre o corpo R dos números reais com as operações de adição e multiplicação de C.
4. R²={(x,y): xR, yR} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por: (x (^) 1 ,y 1 )+(x^ 2 ,y^ 2 )=(x^ 1 +x^ 2 ,y^ 1 +y^ 2 ) k(x,y)=(kx,ky)

5. R n^ ={(x (^) 1 ,x (^) 2 ,…,x n ): x i R, i=1,2,…,n} é um

espaço vetorial sobre R com as operações de adição e de multiplicação por escalar definidas por: (x (^) 1 ,x (^) 2 ,…,x n )+(y (^) 1 ,y 2 ,…,y (^) n )=(x (^) 1 +y (^) 1 ,…,x (^) n +y (^) n ) k.(x 1 ,x (^) 2 ,…,x n )=(kx (^) 1 ,kx 2 ,…,kx (^) n )

6. O conjunto M (^) n (K) das matrizes

quadradas de ordem n com elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre K.

7. O conjunto M (^) m×n (K) das matrizes com

m linhas e n colunas com elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre K.

8. O conjunto F(R)={f:RR} das funções reais cujo domínio é o conjunto dos números reais é um espaço vetorial sobre R.
9. O conjunto P[K] de todas as funções polinomiais da forma: p(x) = a (^) 0 + a (^) 1 x + a 2 x² +…+ a (^) n x n

Observação: Muitas vezes usamos a palavra subespaço no lugar de subespaço vetorial e espaço ao invés de espaço vetorial quando não existe possibilidade de dúvida.

Exemplos de subespaços vetoriais

1. O conjunto nulo S={ö} e o próprio espaço vetorial V são subespaços (triviais) de V.
2. O corpo Q dos números racionais é um subespaço do corpo R dos números reais.
3. O corpo R dos números reais é um subespaço do corpo C dos números complexos.
4. Toda reta que passa pela origem de R² é um subespaço de R².
5. O conjunto S (^) n (R) das matrizes simétricas é um subespaço de M (^) n (R).
6. O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada nula (plano z=0) é um subespaço de R³.

7. O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada igual a 1 (plano z=1) não é um subespaço de R³.
8. O conjunto P={(x,y,z)R³: 2x+3y–6z=0} (plano contendo a origem) é um subespaço de R³.
9. O conjunto Q={(x,y,z)R³: 2x+3y–6z= (plano não contendo a origem) não é um subespaço de R³.
10. O conjunto P (^) 3 [R] de todas as funções polinomiais com coeficientes reais com grau menor ou igual a 3 é um subespaço de P[R].
11. O conjunto F'={f:(a,b)R, f é derivável} é um subespaço de F={f:(a,b) R}. Observação: Nem sempre é bom trabalhar com um espaço vetorial amplo e às vezes é útil trabalhar com as propriedades dos subespaços, mas se tais subespaços são simples também não resolvem nossos problemas, assim, são criados outros subespaços com operações de adição, interseção ou reunião de conjuntos.

UW = {v: vU e vW } Proposição: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V, então a interseção UW é um subespaço de V.

Exemplo: Sejam U e W subespaços vetoriais de R³, definidos por:

U=<(1,0,0),(0,1,0)> = {(x,y,0): xR, yR } W=<(0,0,1)> = {(0,0,z): zR }

O conjunto UW é um subespaço de R³ e observamos que U W ={ö} o subespaço nulo.

Combinações lineares Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K e C={v (^) 1 ,v (^) 2 ,…,v n } uma coleção de vetores em V. Dizemos que um vetor v é combinação linear dos elementos de C, se existem escalares k (^) 1 ,k (^) 2 ,…,k n K tal que v = k 1 v^ 1 + k 2 v^ 2 +…+ k n v n Exemplo: O vetor v=(3,-2,1)R³ pode ser escrito como uma combinação linear dos

vetores de C={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} pois existem escalares k (^) 1 =5, k (^) 2 =-3 e k (^) 3 =1 tal que (3,-2,1) = 5(1,0,0) + (-3)(1,1,0) + 1(1,1,1)

Conjunto gerado Se S é um subconjunto de um espaço vetorial V, definimos o conjunto gerado por S, denotado por , como o conjunto de todas as combinações lineares de elementos de S. Exemplos de conjuntos gerados (1) O conjunto gerado pelo vetor v=(1,2) de R² é a reta que passa pela origem de R² e possui a direção do vetor v=(1,2). (2) O conjunto gerado pelos vetores de R², u=(1,0) e v=(0,1) é todo o espaço R².

Dependência e independência linear

Definição : Seja V espaço vetorial sobre R e v 1 , v 2 , ....v (^) n F 0C E V. Dizemos que o

conjunto { v 1 , v^2 , ...v^ n } é linearmente independente ( L.I .) ou que os

2. Qualquer conjunto de vetores contendo o vetor nulo é L.D. 3. Todo subconjunto de um conjunto L.I. é L.I. 4. Um conjunto de dois vetores é L.D. se e somente se um deles é um múltiplo escalar do outro

1. Em R 3 e em R 2 dois vetores são L.D. F 0D B estão sobre uma reta passando pela origem
2. Em R 3 três vetores são L.D. F 0D B estão sobre um mesmo plano passando pela origem.

Base de um Espaço Vetorial

Definição : Um conjunto { v 1 , v 2 , ...v (^) n } de vetores de V é dito uma base de V se e somente se:

1. {v 1 ,v 2 , ...vn } é LI
2. V = [ v 1 , v 2 , ...vn ]

Observação: Se { v 1 , v 2 , ...v^ n } é uma base para V, então qualquer vetor de V é escrito

de maneira única como combinação linear de { v 1 , v 2 , ...vn }

Exemplos :

1. {(1,0), (0,1)} é uma base do R 2 (base canônica)
2. {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é uma base do R 3 (base canônica)
3. {(1,1,1), (1,0,1), (1,1,0 )} é uma base do R 3
4. {(1,0), (0,1), (1,1)} não é uma base do R 2. O conjunto gera o R 2 , mas não é L.I.

Teorema: Sejam v 1 , v 2 , ...vn vetores não nulos que geram um espaço vetorial V. Então, entre v 1 , v 2 , ...vn podemos extrair uma base para V. Teorema : Seja V espaço vetorial sobre R e V = [v 1 , v 2 , ....v (^) n ]. Então qualquer

subconjunto de V com mais de n vetores é necessariamente L.D.

Exemplos:

Referências:

BOLDRINI, J.L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. Editora Harbra Ltda. 1980.

http://pessoal.sercomtel.com.br/ matematica/superior/algebra/espvetor/ espvetor.htm