MATEM´
ATICA – ICET – UFMT (2008/1) – Prof. Geraldo L. Diniz – Engenharia Sanit´aria e Ambiental
Segunda lista de exerc´ıcios
1. T´ecnicas de integra¸c˜ao
1.1 Calcule as integrais a seguir, usando a integra¸c˜ao por partes
1) Zxe−xdx 2) Zexcos(x)dx 3) Zx2e3xdx 4) Zx2sen (4x)dx
5) Zxcos (5x)dx 6) Zxe−2xdx 7) Zxsec (x) tan (x)dx 8) Zxcsc2(3x)dx
1.2 Resolva as integrais a seguir, usando fra¸c˜oes parciais:
1) Z4x2+ 13x−9
x3+ 2x2−3xdx 2) Z3x3−18x2+ 29x−4
(x+ 1)(x−2)3dx 3) Zx2−x−21
2x3−x2+ 8x−4dx 4) Z5x3−3x2+ 7x−3
(x2+ 1)2dx
5) Z5x−12
x(x−4)dx 6) Z37 −11x
(x+ 1)(x−2)(x−3)dx 7) Z6x−11
(x−1)2dx 8) Zx+ 16
x2+ 2x−8dx
1.3 Determine as seguintes integrais, por substitui¸c˜ao trigonom´etrica:
1) Z1
x2√16 −x2dx 2) Z1
√4 + x2dx 3) Z√x2−9
xdx 4) Z(1 −x2)3/2x6dx
5) Z1
x√4−x2dx 6) Z1
x√9 + x2dx 7) Zx
(16 −x2)2dx 8) Z(4 + x2)2
x3dx
2. Aplica¸c˜oes das integrais
2.1 Calcule as ´areas entre as curvas indicadas abaixo:
1. Esboce a regi˜ao limitada pelas curvas y2−4−x= 0 e y2+x−2 = 0. Determine sua ´area.
2. Esboce a regi˜ao limitada pela curva x−4y+y3= 0 e a reta x= 0. Ache sua ´area.
3. Qual a ´area limitada pela curva y2+x= 0 e as retas x−y= 4; y=−1 e y= 2. Esboce essa regi˜ao.
4. Encontre a ´area compreendida entre a curva x2+y−4 = 0 e a reta y=−4. Fa¸ca o esbo¸co dessa regi˜ao.
5. Ache a ´area da regi˜ao limitada pelas curvas y=x2ey=√x;
6. Determine a ´area compreendida entre a curva y+x2−6 = 0 e a reta y+ 2x−3 = 0;
7. Calcule a ´area delimitada pela curva y−x3= 0 e as retas y−x−6 = 0 e 2y+x= 0;
8. Ache a ´area da regi˜ao limitada pelas curvas 2y2−x−4 = 0 e y2−x= 0.
2.2 Calcule o volume dos s´olidos indicados abaixo, por fatiamento:
1. O s´olido situa-se entre os planos perpendiculares ao eixo x, em x= 0 e x= 4. As sec¸c˜oes transversais
perpendiculares ao eixo x, s˜ao quadrados cujas diagonais v˜ao da par´ab ola y=−√x`a par´abola y=√x.
2. O s´olido situa-se entre os planos perpendiculares ao eixo x, em x=−1 e x= 1. As se¸c˜oes transversais
perpendiculares ao eixo xs˜ao quadrados verticais cujos lados da base v˜ao da curva y=−√1−x2`a curva
y=√1−x2.
3. Como no exerc´ıcio anterior, considere agora que as se¸c˜oes transversais perpendiculares ao eixo xs˜ao
c´ırculos cujos diˆametros se estendem da curva y=−1
1−x2`a curva y=1
1−x2.
4. A base do s´olido ´e a regi˜ao entre a curva y= 2psen (x) e o eixo x, no intervalo 0 ≤x≤π. As se¸c˜oes
transversais perpendiculares ao eixo xs˜ao:
