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2019/I U.A. 1: JURO SIMPLES - Parte I
MARCIA REBELLO DA SILVA
Todos os direitos reservados
OBJETIVOS:
Ao final desta unidade, você será capaz de:
1- Entender o valor do dinheiro ao longo do tempo em regime de capitalização simples
2- Conhecer e compreender o conceito fundamental da matemática financeira: Juro
3- Entender o conceito de taxa de juros: taxa unitária, taxa percentual
4- Conhecer e compreender os outros conceitos fundamentais: Capital, Montante, Período e Taxa de Juros
5- Compreender homogeneidade entre taxa e tempo, e transformar o tempo ou a taxa quando as unidades de tempo não forem homogêneas.
6- Calcular as variáveis: Juro; Montante; Capital; Período; e Taxa de Juros no Período de Capitalização Simples.
7- Interpretar e resolver os exercícios propostos na UA1.
2019/I U.A. 1: JURO SIMPLES - Parte I
A Matemática Financeira preocupa-se com o estudo de duas variáveis; uma delas é representada pelo denominador financeiro comum, o dinheiro; e a outra variável é representada pelo tempo. Portanto, como a Matemática Financeira tem por essência o estudo do dinheiro ao longo do tempo, o objetivo básico é fazer análises financeiras que envolvem o estudo simultâneo do dinheiro no tempo, isto é, fazer comparações dos vários fluxos de entradas e saídas de dinheiros de caixa verificados em vários momentos. Assim sendo nada mais é do que o estudo da equivalência de "valores datados".
Como os problemas financeiros dependem basicamente do fluxo de entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo, o fluxo de caixa é de grande utilidade para as operações da matemática financeira, permitindo assim, uma melhor visualização do que ocorre com o capital.
Convenções:
a) Reta horizontal: registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte financeiro da operação, com a progressão de tempo dando-se da esquerda para a direita.
b) Períodos de tempo: aparecem em intervalos contíguos, de modo que cada número representa os períodos de tempo (datas) acumulados. O ponto zero indica o momento inicial.
c) Setas: significam entradas de dinheiro (para cima) da linha de tempo ou saídas de dinheiro (para baixo) da linha de tempo.
Tempo
Entradas de Caixa (+)
Saídas de Caixa (−)
0 1 2 3 4 5
(+) (+)
(−)
1- OBJETIVO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
2- DIAGRAMA DO CAPITAL NO TEMPO
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A Taxa de Juros por ser a relação entre o juro e o capital, ou seja, o fator que determina qual é a remuneração do capital em determinado espaço de tempo. É o coeficiente que determina os juros, portanto, é o elemento fundamental para a transposição e análise de valores datados.
Adotamos a notação i., que vem do inglês Interest (taxa).
A seguir veremos que a taxa de juros pode ser representada de duas formas e que é fácil passar de uma para a outra.
A Taxa Unitária de juros é a taxa que se refere-se a uma unidade do capital. Reflete o rendimento de cada unidade de capital em certo período de tempo. Esta é a forma que deve ser usada nas fórmulas de matemática financeira (cálculo de juros, capital, montante, período e prestações).
Ex. 1: Taxa de 0,30 ao mês, então, a aplicação de $ 1 por um mês gera um juro de $ 0,30.
Solução:
Taxa Unitária = 0,30 a.m.
$ 1 x 0,30 x 1 mês = $ 0, mês
Ex. 2: Taxa de 0,50 ao ano, então a aplicação de $ 20 por um ano gera um juro de $ 10.
Solução:
Taxa Unitária = 0,50 a.a.
$ 20 x 0,50 x 1 ano = $ 10 ano
A porcentagem é habitualmente usada para expressar a razão entre um número e cem usando termo por cento, que significa dividido por cem. Em se tratando de Taxa Percentual de juros, essa é a forma mais usual de se apresentar a taxa de juros. Neste caso refere a cem unidades de capital, isto é, o valor dos juros para cada centésima parte do capital. Para efeitos dos cálculos, a taxa percentual de juros que é usada, onde a taxa percentual é substituída pela taxa unitária, resultante da divisão por cem, a qual é transformada em um número decimal equivalente.
Ex. 3: Taxa de juros de 24% a.m. (Lê-se: vinte e quatro por cento ao mês)
4.4- TAXA DE JUROS
4.4.1- Taxa Unitária
4.4.2- Taxa Percentual
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24% → Taxa de juros percentual
Taxa unitária de juros = 24 ÷ 100 = 0,
Ex. 4: Para uma taxa de juros de 40% a.s., qual será a taxa unitária?
Solução:
40% a.s.: Taxa percentual de juros semestral
Taxa Unitária = (40 ÷ 100) a.s. = 0,40 a.s.
Resposta: 0,40 a.s.
Ex. 5: Se a taxa de juros for 0,54 a.t., qual será a taxa percentual?
Solução:
Taxa Percentual = (0,54 x 100% ) a.t.
Taxa Percentual = 54% a.t
Resposta: 54% a.t.
NOTA 1:
Para transformar a taxa percentual em unitária basta dividir a notação da porcentagem por 100.
NOTA 2:
Para transformar a taxa unitária em percentual basta multiplicar por 100 e
acrescentar o “%” (zero barra zero), e não ./. (ponto barra ponto).
Por exemplo, 25 ./. (ponto barra ponto) continuará sendo 25 uma vez que ./. não
representa a divisão por 100. O que representa a divisão por cem é % (por cento).
1- REVISÃO:
Os dez símbolos, chamados algarismos, que são usados para representar os números são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2- REVISÃO:
Começando por 0 (zero) e acrescentando sempre uma unidade formamos o conjunto |N dos números naturais.
|N = {0, 1. 2. 3, 4, 5,... }
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Ex. 7: Um capital de $ 140.000; foi aplicado a uma taxa de juros de 15% a.s. durante nove semestres. Calcular o juro simples.
P = $ 140.000 n = 9 sem. i = 15% a.s. J =?
Solução:
J = $ 140.000 x 0,15 x 9 sem. sem. J = $ 189.
Resposta: $ 189.
Ex. 8: Se o principal for 13.400 u.m., o prazo vinte e cinco trimestres e a taxa de juros simples 7,8% a.t., qual será o rendimento?
P = 13.400 u.m. n = 25 trim. i = 7,8% a.t. Rendimento = Juro = J =?
Solução:
J = 13.400 u.m. x 0,078 x 25 trim. trim. J = 26.130 u.m.
Resposta: 26.130 u.m.
Ex. 9: Dispondo de $ 250.000, Beto aplica (2/10) dessa importância a uma taxa de juros de 4% a.m.; (5/10) a uma taxa de juros de 3,5% a.m.; e o restante a uma taxa de 2,7% a.m. Quanto Beto receberá de juros simples decorridos dezoito meses?
P = $ 250.000 i 1 = 4% a.m. i 2 = 3,5% a.m. i 3 = 2,7% a.m. n = 18 meses J =?
Solução:
P 1 = (2/10) x ($ 250.000) = $ 50.
P 2 = (5/10) x ($ 250.000) = $ 125.
Podemos concluir que o P 3 será a parte inteira menos o P 1 e menos o P 2
P 3 = (10 ÷ 10) – (2 ÷ 10) – (5 ÷ 10)] = (3 ÷ 10) x P
P 3 = (10 − 2 − 5) x ($ 250.000) = $ 75. 10 Ou P 3 = $ 250.000 – $ 50.000 − $ 125.000 = $ 75.
J = P x i x n
J = P x i x n
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Como:
J = $ 50.000 x (0,04/mês) x 18 meses + $ 125.000 x (0,035/mês) x 18 meses +
- $ 75.000 x (0,027/mês) x 18 meses
J = $ 36.000 + $ 78.750 + $ 36.450 = $ 151.
Resposta: $ 151.
J = P x i x n
REVISÃO DE FRAÇÃO:
- Como chegamos ao valor de 10/10?
Explicação:
Antes faremos uma pequena revisão de Números Racionais expressos em forma de Frações.
Por exemplo temos a seguinte fração: 3 8
Os números naturais 3 e 8 são termos da fração onde o 8 é o denominador que expressa quantas partes foi dividida a unidade 3 que é o numerador e que indica quantas dessas partes vamos tomar.
Existem as frações impróprias que são aquelas em que o numerador é maior ou igual a por exemplo: 11/8; 14/6; 5/3; e as frações próprias, o numerador é menor que um; por exemplo: 2/3; 4/7.
Os termos fração imprópria e própria na época em que foi criada ela era sempre interpretada como parte da unidade, isto é, o numerador tinha que ser menor que o denominador.
Por exemplo: Se tiver que dividir um bolo em pedaços.
Não importa em quantos pedaços dividimos o bolo, se tomarmos todos os pedaços, temos sempre a unidade. 1 = 2/2 = 3/3 = 4/
E fração pode ser representada na forma de divisão 2/2 = 2 ÷ 2 = 1
Voltando a pergunta: Como chegamos ao valor de 10/10?
Resposta: Como o denominador é dez e para obtermos a unidade ou parte inteira o numerador tem que ser igual ao denominador, portanto, o numerador tem que ser igual a dez.
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Ex. 11: Qual é o valor acumulado no final de duzentos dias para um capital $ 6.900 que ficou aplicado a uma taxa de juros simples de 0,4% a.d.?
P = $ 6.900 i = 0,4% a.d. n = 200 dias S =?
Solução 1:
S = ($ 6.900) [1+ 0,4 ÷ 100 x 200 dias )] = ($ 6.900) (1 + 0,8) = $ 6.900 x 1, dia S = $ 12.
Solução 2:
S = $ 6.900 + $ 6.900 x (0,004/dia) x 200 dias S = $ 12.
Resposta: $ 12.
Ex. 12: Foi aplicado $ 35.820 inicialmente em um fundo de investimento, a uma taxa de juros simples de 20% ao mês. Decorridos dezoito meses, foi aplicado 75% do valor recebido do fundo de investimento em uma poupança a uma taxa de juros simples de 13,20% a.t., por nove trimestres. Qual foi rendimento da poupança?
P 1 = $ 35.820 i 1 = 20% a.m. = 0,2 a.m. n 1 = 18 meses P 2 = 0,75 x S 1 i 2 = 13,20% a.t. = 0,132 a.t. n 2 = 9 trim. Rendimento = Juro = J 2 =?
Solução:
S 1 = ($ 35.820) [1 + (0,2 x 18 meses )] mês
S 1 = $ 35.820 x (1 + 3,6)
S 1 = $ 35.820 x 4,6 = $ 164.
P 2 = 0,75 x $ 164.772 = $ 123.
J 2 = $ 123.579 x 0,132 x 9 trim. trim.
J 2 = $ 146.811,
Resposta: $ 146.811,
S = P [1 + (i x n)]
S = P + J J = P x i x n
S = P [1 + (i x n)]
J = P x i x n
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Ex. 13: Aplicou-se $ 22.600 por dez meses a taxa de 8% a.m. Ao final do prazo (2/7) do montante foi aplicado a 9% a.t. por quatro trimestres; (4/7) a 11% a.s. por sete semestres; e o restante a 7,5% a.b. por cinco bimestres. Qual foi o montante total das três últimas aplicações, se o regime para todas as aplicações foi de capitalização simples?
P = $ 22.600 i = 8% a.m. n = 10 m. P 1 = (2/7) S i 1 = 9% a.t. n 1 = 4 trim. P 2 = (4/7) S i 2 = 11% a.s. n 2 = 7 sem. P 3 = [7/7 – (2/7 + 4/7)] x S = (1/7) x S i 3 = 7,5% a.b. n 3 = 5 bim. ST = S 1 + S 2 + S 3 =?
Solução:
S = 22.600 x [1+ (0,08 x 10)
S = 22.600 x (1+ 0,8) = 22.600,00 x 1,8 = $ 40.
S 1 = (2/7) x 40.680 x [1 + (0,09 x 4)] = (2/7) x 40.680 x (1 + 0,36)
S 1 = (2/7) x 40.680 x 1,36 = $ 15.807,
S 2 = (4/7) x 40.680 x [1 + (0,11 x 7)] = (4/7) x 40.680 x (1 + 0,77)
S 2 = (4/7) x 40.680 x 1,77 = $ 41.144,
S 3 = (1/7) x 40.680 x [1 + (0,075 x 5)]
S 3 = (1/7) x 40.680) x (1 + 0,375) = (1/7) x 40.680 x 1,375 = $ 7.990,
ST = S 1 + S 2 + S 3 = $ 15.807,09 + $ 41.144,91 + $ 7.990,
ST = $ 64.942,
Resposta: $ 64.942,
Ex. 14: Foram aplicados dois capitais diferentes, um por quinze meses e taxa de juros simples de 3% a.m.; e o outro capital 35% superior por dois anos e taxa de juros simples de 48% a.a. Se os capitais somaram $ 23.970, qual será o valor total acumulado no final do prazo?
P 1 =? i 1 = 3% a.m. n 1 = 15 meses. P 2 = P 1 + 0,35 P 1 = 1,35 P 1 i 2 = 48% a.a. n 2 = 2 anos. P 1 + P 2 = $ 23. ST = S 1 + S 2 =?
Solução:
P 1 + 1,35 P 1 = $ 23.
2,35 P 1 = $ 23.
P 1 = $ 23.970 ÷ 2,35 = $ 10.
S = P [1 + (i x n)]
S = P [1 + (i x n)]
2019/I U.A. 1: JURO SIMPLES - Parte I
$ 34.000 = P x [1 + (0,2/ano) x (2 anos)] P = 34.000 ÷ [1 + (0,2 x 2)]
$ 34.000 = P x (1 + 0,4) P = $ 24.285,
P = $ 34.000 ÷ 1,4 Resposta: $ 24.285,
P = $ 24.285,
Resposta: $ 24.285,
Ex. 17: Dois capitais diferentes foram aplicados a uma taxa de 6% a.m. sob regime de capitalização simples. Se o primeiro capital for pelo prazo de quatro meses; o segundo capital pelo prazo de cinco meses; a soma dos juros totalizou $ 39.540 ; e que o juro do segundo capital excedeu o juro do primeiro em $ 12.600, qual era soma dos dois capitais iniciais? P 1 n 1 = 4 m. i = 6% a.m. P 2 n 2 = 5 m. P 1 + P 2 =?
Solução:
O enunciado diz, ainda, que:
J 1 + J 2 = $ 39.
E : J 2 = $ 12.600 + J 1
Logo, teremos um sistema com duas equações e duas incógnitas, o qual será resolvido pelo método de substituição.
J 1 + J 2 = $ 39.540 (1ª equação)
J 2 = $ 12.600 + J 1 (2ª equação)
Então, substituindo o valor do J 2 por “12.600 + J 1 ” (da 2ª equação) na 1ª equação, teremos:
J 1 + 12.600 + J 1 = 39.
2 J 1 = 39.540 − 12.
2 J 1 = 26.
J 1 = $ 13.
Como:
Então: J 1 = (P 1 ) (i 1 ) (n 1 ) P 1 = 13.470 ÷ (0,06 x 4)
$ 13.470 = P 1 x (0,06/mês) x 4 meses P 1 = $ 56.
$ 13.470 ÷ 0,06 ÷ 4 = P 1
J = P x i x n
J = P x i x n
P = J ÷ (i x n)
P = J ÷ (i x n)
2019/I U.A. 1: JURO SIMPLES - Parte I
P 1 = $ 56.
J 2 = $ 12.600 + J 1
J 2 = $ 12.600 + $ 13.
J 2 = $ 26.
E:
J 2 = P 2 x i 2 x n 2 P 2 = 26.070 ÷ (0,06 x 5)
$ 26.070 = P 2 x (0,06/mês) x 5 meses P 2 = $ 86.
($ 26.070) ÷ 0,06 ÷ 5 = P 2
P 2 = $ 86.
P 1 + P 2 = $ 56.125 + $ 86.
P 1 + P 2 = $ 143.
Resposta: $ 143.
Lembrete: Fazendo a prova real
Substituir P 1 e P 2 na 1ª equação: J 1 + J 2 = 39.
56.125 x 0,06 x 4 + 86.900 x 0,06 x 5
13.470 + 26.070 = 39.
E na 2ª equação: J 2 = $ 12.600 + J 1
26.070 = 12.600 + 13.470 26.
O prazo pode ser calculado a partir das seguintes fórmulas gerais:
8- CÁLCULO DO PRAZO
J = P x i x n S = P [1 + (i x n)]
REVISÃO:
Sistemas de Equações com Duas Variáveis: Método da Adição e Método da
Substituição - Revisão Geral de Matemática – pág.: 17 à 21.
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$ 157.450 − $ 38.300 = $ 38.300 x 0,038 x n n = (157.450 − 38.300) ÷ (38.300 x 0,038) mês $119.150 x mês = n n = 81,8675 meses ≈ 82 meses $ 38.300 x 0,
Prazo = 81,8675 meses
Resposta: ≈ 82 meses
Prova Real:
(38.300) [1 + (0,038 x 81,8675)] = 157.449,96 → no enunciado o S = $ 157.
(38.300) [1 + (0,038 x 82 )] = 157.642,80 → no enunciado o S = $ 157.450, com a prova real a diferença foi maior devido ter usado um valor (resposta) somente com duas casas decimais.
Lembrete: Sempre que possível faça a prova real.
Ex. 20: Emprestou-se uma certa quantia a uma taxa de juros simples de 5% a.t. Decorrido certo tempo, recebeu de juros o equivalente a (1/4) do valor emprestado. Quanto foi emprestado e qual foi o prazo do empréstimo se o valor de resgate foi $ 250.000?
i = 5% a.t Valor de Resgate = Montante = S = $ 250. J = (1/4) P = (0,25) P P =? n =?
Solução:
$ 250.000 = P + (1/4) P
S = P + J
REVISÃO:
Expressões com Chaves, Colchetes, e Parênteses: Em 1o. lugar efetua-se as operações que estão entre parênteses, em 2o. lugar efetua-se as operações que estão entre colchetes e por último as que estão entre chaves.
Expressões com Potenciação (ou Radiciação); Multiplicação (ou Divisão); Soma (ou Subtração): Em 1o. lugar efetua-se as operações de potenciação (ou radiciação), em 2o. lugar efetua-se as expressões de multiplicação (ou divisão), e por último as de soma (ou subtração).
Revisão Geral de Matemática – pág.: 2
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$ 250.000 = P + 0,25 P = P x (1 + 0,25)
$ 250.000 = 1,25 P
$ 250.000 ÷ 1,25 = P
P = $ 200.
(1/4) P = P x 0,05 x n n = 0,25 x P = 5 trim. trim. P x 0,
(1/4) x P x trim. = n 0,05 x P
n = 5 trim.
Respostas: $ 200.000 e 5 trim.
A taxa de juros (ou rentabilidade) pode ser calculada a partir das seguintes fórmulas gerais:
Ex. 21: Se o rendimento for $ 23.000, o capital $ 45.000 e o prazo nove semestres, qual será a taxa de juro simples?
J = $ 23.000 P = $ 45.000 n = 9 sem. i =?
Solução:
$ 23.000 = $ 45.000 x i x 9 sem. i = 23.000 ÷ (45.000 x 9)
$ 23.000 ÷ $ 45.000 ÷ 9 sem. = i i ≈ 0,0568/sem. ≈ 5,68% a.s.
i = 0,05679/sem. ≈ 0,0568 a.s.
Resposta: 0,0568 a.s. ou 5,68% a.s.
Prova Real:
45.000 x 0,0568 x 9 = 23.004 → Diferença devido ao arredondamento (Enunciado: J = $ 23.000)
J = P x i x n
9- CÁLCULO DA TAXA DE JUROS
J = P x i x n
J = P x i x n
S = P [1 + (i x n)]
i = J ÷ (P x n)
n = J ÷ (P x i)
2019/I U.A. 1: JURO SIMPLES - Parte I
Como se trata de regime de capitalização simples, portanto, tem uma fórmula que envolva as duas variáveis o Juro (J) e o Capital (P) no Juro Simples, que é:
Agora substituindo J 1 por P 1 x i 1 x n 1 por e J 2 por P 2 x i 2 x n 2 na relação J 1 = J 2 fica:
P 1 x i 1 x n 1 = P 2 x i 2 x n 2
Do enunciado: 6 → 18 então, P 1 = 6 (menor capital) e P 2 = 18 (maior capital)
Substituindo fica: 6 x i 1 x n 1 = 18 x i 2 x n 2
Mas para que os Juros sejam iguais o enunciado ainda informa que: prazo para o menor capital seja o dobro do prazo para o maior capital,
P 1 → n 1 P 2 → n 2
n 1 = 2 n 2
Substituindo n 1 = 2 n 2 em: 6 x i 1 x n 1 = 18 x i 2 n 2 termos fica:
6 x i 1 x 2 n 2 = 18 x i 2 x n 2
6 x i 1 x 2 = 18 x i 2
i 1 em função de (i 2 ) fica: i 1 = i 2 x 18 ÷ (6 x 2)
i 1 = 1,5 i 2
i 2 em função de (i 1 ) fica: i 2 = i 1 x (6 x 2) ÷ 18
i 2 = 0,667 i 1
Pergunta: Quantos por cento a taxa de juros do menor capital deve superar a taxa de juros do maior capital? → quer i 1 em função de i 2 , então, i 1 = 1,5 i 2
i 1 → P 1 i 2 → P 2
i 1 = 1,5 i 2
i 1 = (1 + 0,5) x i 2
i 1 = i 2 + 0,5 i 2 , então, i 1 superou em 0,5 o i 2 , ou 50%.
Ou:
Em quantos por cento a taxa de juros (i 1 ) do menor capital deve superar a taxa de juros (i 2 ) do maior capital.
Teremos a seguinte equação: i 1 = i 2 + X i 2
Substituindo i 1 por (1,5 x i 2 ) fica:
J = P x i x n
2019/I U.A. 1: JURO SIMPLES - Parte I
1,5 x i 2 = i 2 + X i 2
1,5 x i 2 − i 2 = X i 2
0,5 x i 2 = X i 2
0,5 x i 2 = X i 2
0,5 = X ou 50% Resposta: 50%
Nota: Como chegar a esta equação: i 1 = i 2 + (X)(i 2 )
Exemplos:
Ex. 1: Se por hipótese A for igual a B, então, se B = 40 => A = 40
Ex. 2: Se C for superior a D, em 0,5, então, será C = D + 0,5 D, portanto,
C = 1,5 D, então se D = 40, o será C = 40 + 20 = 60
Então, toda vez que uma variável qualquer (X) for Z superior a uma outra variável (Y) podemos chegar a seguinte fórmula:
X = Y + Z Y superior
O Y no exemplo 2 é 40 o Z é 0,5 e X é 60.
Ex. 3: Se o C for 0,7 superior a D: C = X e D = Y => X = Y + 0,7 Y
C = 1,7 D
Nota: E se uma variável qualquer (X) for Z inferior a uma outra variável (Y), qual seria a fórmula?
X = Y − Z Y inferior
