[email protected] por Pedro Miranda Araújo
Macapá, 10 de fevereiro de 2009
𝑟
𝑎
𝑟𝑏
ℎ𝑎
ℎ𝑏
𝑉
𝑐
𝑉
𝑎
𝑉𝑏
CÁLCULO DO VOLUME DO TRONCO DO CONE
Hoje, demonstrarei uma fórmula simples e curiosa que revela o volume do tronco do cone em
função das suas dimensões externas. Temos
𝑉
𝑎 = 𝑉
𝑐
−
𝑉𝑏
→
tan 𝜃 = 𝑟𝑎 – 𝑟𝑏
ℎ𝑎 = 𝑟𝑎
(ℎ𝑎+ ℎ𝑏) ∴ hb = 𝑟𝑎 . ℎ𝑎
𝑟𝑎 – 𝑟𝑏 − ℎ𝑎
Precisamos encontrar o volume do cone 𝑽𝒄. Segue:
Vc = 𝜋. 𝑟𝑎 2
3 . (ℎ𝑎 + 𝑟𝑎 . ℎ𝑎
𝑟𝑎 – 𝑟𝑏 − ℎ𝑎) = 𝜋. 𝑟𝑎 2
3 . 𝑟𝑎 . ℎ𝑎
𝑟𝑎 – 𝑟𝑏
Agora nos resta obter o volume do cone menor 𝑽𝒃. Logo:
Vb = 𝜋. 𝑟𝑏 2
3 . ( 𝑟𝑎 . ℎ𝑎
𝑟𝑎 – 𝑟𝑏 − ℎ𝑎 ) = 𝜋. 𝑟𝑏 2.𝑟𝑎.ℎ𝑎
3.(𝑟𝑎 – 𝑟𝑏) − 𝜋. 𝑟𝑏 2.ℎ𝑎
3
CONCLUSÃO:
𝑉
𝑎 = 𝑉
𝑐 − 𝑉𝑏
𝑉
𝑎 = 𝜋. 𝑟𝑎 2
3 . 𝑟𝑎 . ℎ𝑎
𝑟𝑎 – 𝑟𝑏 − 𝜋. 𝑟𝑏 2.𝑟𝑎.ℎ𝑎
3.(𝑟𝑎 – 𝑟𝑏) + 𝜋. 𝑟𝑏 2.ℎ𝑎
3
𝑉
𝑎 = 𝜋. ℎ𝑎
3 . ( 𝑟𝑎. 𝑟𝑎 2 – 𝑟𝑏 2
𝑟𝑎 – 𝑟𝑏 + 𝑟𝑏 2 ) = 𝜋. ℎ𝑎
3
.
(
(𝑟
𝑎 + 𝑟𝑏)2
−
𝑟
𝑎.𝑟𝑏)
𝑉
𝑎 = 𝜋. ℎ𝑎
3
.
(
(𝑟
𝑎 + 𝑟𝑏)2
−
𝑟
𝑎.𝑟𝑏) ∎
θ
θ
Obs.: 𝑉
𝑎 = Volume do tronco do cone.