Cálculo I - Maple, Notas de estudo de Cálculo

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MAPLE PARA CÁLCULO EM UMA

VARIÁVEL

2 4 6 8 10

Mauricio A. Vilches - Maria Hermínia de P. Leite

Departamento de Análise - IME

UERJ

Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total

do Capítulo 1 é dedicada a problemas matemáticos, que não são resolvidos de

maneira satisfatória pela versão do MAPLE que utilizamos.

No Curso de Matemática da UERJ, a disciplina de Cálculo I, com aulas ex-

positivas tradicionais, é complementada com uma disciplina de Laboratório de

Cálculo I. Para as aulas de laboratório, utilizamos o programa MAPLE. A expe-

riência dos autores em ministrar, simultaneamente, por mais de dois anos, essas

duas disciplinas, a teórica e de laboratório, possibilitou a elaboração desse texto,

que apresenta, em todos os seus capítulos, os comandos básicos do MAPLE,

versão 9.5, relacionando-os com os conceitos que são abordados na disciplina

teórica. Muitos poderiam observar que esses comandos são obtidos através da

"Ajuda"do programa. No entanto, lembramos que o aluno está tendo o seu

primeiro contato com o Cálculo Diferencial e Integral e muitos deles não têm o

conhecimento, nem da terminologia empregada no Cálculo, nem dos programas

computacionais que podem ser utilizados nessa área. Assim, sentem dificul-

dades em manipular tais programas, a começar pela própria busca de tópicos.

Portanto, o fato do livro explicitar os comandos mais básicos do MAPLE poupa

um tempo precioso do aluno, que poderá melhor empregá-lo para se dedicar á

resolução de problemas e desenvolvimento de projetos que viabilizem a aprendi-

zagem dos conceitos matemáticos.

O conteúdo do livro é o mesmo de um curso tradicional de Cálculo, mas o seu

enfoque foi o da utilização do computador como ferramenta para a resolução de

exercícios e de chamar a atenção para a ocorrência de eventuais conflitos com-

putacionais. Tem a vantagem de ser auto-explicativo, o que permite ao aluno

determinar o seu próprio ritmo de estudo, além de contribuir para o seu desem-

penho individual. Como muitas das sintaxes dos programas computacionais

utilizados em Matemática são parecidas, nossa experiência mostra que, após

esse primeiro contato com a disciplina Laboratório de Cálculo I, onde se fez a

opção de usar o MAPLE, o aluno adquire habilidade para lidar com esse tipo de

ferramenta computacional e consegue facilmente manipular outros programas

semelhantes.

Não podemos deixar de externar nossos mais sinceros agradecimentos ao pro-

fessor Mário Olivero Marques da Silva, do Instituto de Matématica da Uni-

versidade Federal Fluminense, UFF, que foi um dos idealizadores de um projeto

pioneiro, realizado na UFF, no final da década de 1990, que utilizou o Maple

V como uma ferramenta didática para auxiliar a compreensão do conteúdo pro-

gramático da disciplina de Cálculo I. Um dos produtos gerados por esse projeto

foi o material didático que pode ser encontrado nas referências e do qual nos

utilizamos, como ponto de partida, para as nossas primeiras experiências leci-

onando a disciplina de Laboratório de Cálculo I, na UERJ. Assim, muitas das

idéias contidas nesse livro sofreram influência dessa iniciativa pioneira.

Os autores

Rio de Janeiro - Brasil

Conteúdo

10 CONTEÚDO

Capítulo 1

COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE

1.1 Introdução

O MAPLE é um tipo de software , pertecente a uma classe chamada de computação simbólica ou algébrica, dirigido para a resolução de diversos problemas em Matemática e outras Ciências afins.

Uma das principais características do MAPLE é permitir manipulações numéricas e simbólicas, além de gerar gráficos em dimensão 2 e 3. As manipulações simbólicas são operações do tipo

• expressar uma variável em função de outra, substituição, simplificação, fatoração, reagrupa- mentos dos termos de uma expressão, etc. A capacidade simbólica do software , permite obter soluções exatas em diversos tipos de problemas.

O MAPLE consiste de três partes principais, a saber: o núcleo (kernel), que é a parte central do software , escrita em linguagem C, onde são realizadas as operações; as livrarias (packages), que são um conjunto de funções pré-definidas e que são acionadas por uma sintaxe própria, quando necessário; e finalmente, a interface do usuário, chamada folha de trabalho (worksheet), onde se realizam as operações de entrada e saída. O MAPLE tem, essencialmente, dois tipos de comandos: os que utilizam o núcleo e os comando da interface do usuário.

O MAPLE é uma ferramenta poderosa que serve não somente para testar os conhecimentos de Cálculo I, como também abrange muitas áreas da Matemática. Nestas notas nos concentra- remos, essencialmente, na parte básica do software , direcionado exclusivamente ao Cálculo de funções de uma variável real. As sintaxes apresentadas nestas notas correspondem às versões do MAPLE 5 em diante.

Recomendamos que, ao ler os capítulos, já esteja instalado o MAPLE para reproduzir os exem- plos e os exercícios.

Finalmente, observamos que é recomendável a utilização de recursos computacionais, no apoio ao ensino do Cálculo, é recomendável, mas isso não exclui, de forma alguma, a abor- dagem do aprendizado teórico em sala de aula, o qual sempre se mostrou indispensável. A utilização do MAPLE no Cálculo é um ótimo laboratório para testar e esclarecer muitos conceitos estudados em sala de aula. Veja o último parágrafo deste capítulo.

1.3. OPERAÇÕES E NÚMEROS PRÉ-DEFINIDOS 13

Máximo divisor comum: igcd(a,b,c,...)

Mínimo múltiplo comum: ilcm(a,b,c,...)

Menor inteiro maior ou igual a x: ceil( x )

Parte inteira de x: trunc( x )

Parte fracionária de x: frac( x )

O MAPLE tem os seguintes números pré-definidos:

O número π é definido por: Pi

O número e é definido por: exp(1)

A unidade imaginária é definida por: I

Notamos que o Maple utiliza para os decimais ".” ponto. Por exemplo:

é denotado na forma

decimal 0. 428571.

Exemplo 1.1.

1. Para calcular 3 × 71 /^9 + 11^3 − 1. Devemos digitar:

> 3*7 ˆ(1/9) +11 ˆ 3 -1;

3 9

1. Para calcular 5 π − 1 3 . Devemos digitar:

> (5*Pi-1)/3;

5 π − 1 3

Devemos ter cuidado nos parênteses utilizados na construção de uma expressão. No exem- plo anterior, o resultado será diferente se digitarmos:

> 5*Pi-1/3;

5 π −

Logo, o resultado será diferente.

1. Determine o máximo divisor comum de 6 e 26 e mínimo múltiplo comum de 5 e 24.

Escrevemos:

14 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE

> igcd(6,26);

Analogamente, escrevemos:

> ilcm(5,24);

1. Determine o menor inteiro maior ou igual a 5.3 e a parte inteira de 223.34.

Escrevemos:

> ceil(5.3);

Analogamente, escrevemos:

> trunc(223.34);

1.4 Funções Pré-Definidas

O MAPLE tem algumas funções elementares e transcendentes pré-definidas, por exemplo:

Valor absoluto de x, ( |x|): abs(x)

Sinal de x, ( sgn(x)): csgn(x)

O maior inteiro que é menor ou igual a x, ( [[x]]): floor(x)

Raiz quadrada de x, (

x): sqrt(x)

Raiz n-ésima de x, ( n

x): root(x,n )

Exponencial de x, ( ex): exp(x)

Logaritmo natural de x, (ln(x)): ln(x)

Logaritmo na base 10 de x, (log(x)): log(x)

Logaritmo na base b de x, (logb(x)): logb

Funções Trigonométricas:

sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)

16 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE

1.5 Cálculos Aproximados

Para efetuar cálculos aproximados no MAPLE, utilizaremos o comando:

> evalf(expressão, digitos );

Ou, alternativamente:

> evalf[digitos ] (expressão);

O comando evalf expressa o valor aproximado na forma de número decimal com um total de 10 digítos, se não é indicado o números de digitos. Podemos alterar o número de digítos da resposta, como mostram os exemplos a seguir:

Exemplo 1.3.

1. Determine o valor aproximado de π. Devemos digitar:

> evalf(Pi);

Se desejamos mais digítos na aproximação, por exemplo 100, escrevemos:

> evalf100;

208998628034825342117068

1. Determine o valor aproximado de 43

• e 5

456 − [[ln(453)]]. Devemos digitar:

> evalf(4 ˆ 3sqrt(5)+17/3 +exp(1)root(456, 5)-floor(ln(453)));

Para obter o resultado com 30 digítos:

>evalf(4ˆ3sqrt(5)+17/3 +exp(1)root(456, 5)-floor(ln(453)),30);

1. Determine o valor aproximado de 4 sen( π 3

) − sec^2 ( π 4

). Devemos digitar:

> evalf(4*sin(Pi/3)-sec(Pi/4) ˆ 2) ;

1.6. MANIPULAÇÕES ALGÉBRICAS 17

1. Determine o valor aproximado de log 5 (3) + ln(5) + log(

). Devemos digitar:

> evalf(log5+ln(5)+log(1/2));

1.6 Manipulações Algébricas

Como foi comentado no início do capítulo, o MAPLE aceita também expressões algébricas. Os seguintes comandos são utilizados para manipulações de expressões numéricas e/ou algé- bricas:

Desenvolver uma expressão: expand( )

Fatore uma expressão: factor( )

Simplifique uma expressão: simplify( )

Decompor um número em fatores primos: ifactor( )

Estes comandos possuem algumas opções adicionais. Por exemplo:

> expand(expressão, opção);

Os argumentos desta sintaxe são: trig , exp , ln , power ou radical. Outras opções podem ser consultadas, utilizando >?sintaxe.

Exemplo 1.4.

1. Desenvolver (x^2 + 4)^4. Devemos escrever:

> expand((x ˆ 2 +4)ˆ4);

x^8 + 16 x^6 + 96 x^4 + 256 x^2 + 256

1. Desenvolver sen(2 x). Devemos escrever:

> expand(sin(2*x));

sen(2 x)

Agora, se digitamos:

> expand(sin(2*x),trig);

2 sin(x) cos(x)

1. Desenvolver cosh(x + y). Devemos escrever:

> expand(cosh(x+y),exp);

1.6. MANIPULAÇÕES ALGÉBRICAS 19

((2))^8 ((3))^4 ((5))^2 (7)

Em geral, o MAPLE não assume, a priori, o domínio das variáveis, numa expressão. Vejamos o exemplo a seguir.

Exemplo 1.5.

1. Digite a seguinte expressão:

> sin(4Pin);

sin(4 π n)

O MAPLE não lançou o resultado igual a zero. Isto é devido ao fato de que o MAPLE supõe que n é uma variável independente e não necessariamente um número inteiro.

Utilizamos a seguinte sintaxe, para definir o domínio de uma variável:

> assume(variável, opção);

O tipo pode ser inteiro (integer), real (real) ou por exemplo:

> assume(variável>0);

No exemplo anterior:

> assume(n,integer);

> sin(4Pin);

0

> cos(Pi*n);

(−1)n

1. Simplifique

x^2 y^2 , se x e y são números positivos.

> simplify(sqrt(x ˆ 2 y ˆ 2), assume=nonneg);

x y

Também podemos utilizar:

> assume(variável1 >0, variável2 >0,....):

Quando se tratar de funções que envolvem logarítmos. Por exemplo:

1. Desenvolver ln

( (^) y x

. Devemos digitar:

20 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE

>assume(x>0,y>0):

> expand(ln(x/y);

ln(x) − ln(y)

1. Simplifique ln(ex). Digitamos:

>assume(x, real):

> simplify(ln(exp(x)));

x

Outro comando de manipulação algébrica é o combine que produz o efeito inverso do co- mando expand , o qual combina diversas expressões para conseguir uma mais reduzida. Ao utilizar este comando, é nescesário indicar, como argumento, que tipo de elementos se deseja combinar. A sintaxe é:

> combine(expressão, opção);

Ou, equivalentemente:

> combine[opção] (expressão);

As opções desta sintaxe são: trig , exp , ln , power ou radical.

Exemplo 1.6.

1. Digite:

> combine(2sin(x)cos(x),trig);

sin(2 x)

1. Digite:

> combine(exp(x)*exp(y),exp);

exy

1. Digite:

> combine(x ˆ y /x ˆ 2 ,power);

xy−^2

1. Digite:

>combine[radical](sqrt(27)sqrt(10)sqrt(31)+sqrt(10)*sqrt(x ˆ 2 +1);

3

10 x^2 + 10