Transformada de Laplace e sua Inversa em Cálculo III, Notas de estudo de Cálculo

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Cálculo III

Aula 9 – Transformada de Laplace e sua Inversa.

Marcos Eduardo Valle

Depart. Matemática Aplicada

IMECC – Unicamp

Na aula de hoje, iniciaremos o estudo da transformada de Laplace.

A transformada de Laplace é uma poderosa ferramenta que transforma

um problema de valor inicial em uma equação algébrica.

Resolvendo a equação algébrica, podemos determinar a solução do

problema de valor inicial usando a transformada inversa.

Na prática, geralmente determinamos a transformada inversa utilizando

as propriedades da transformada de Laplace e uma tabela.

Determine a transformada de Laplace da função constante

f (t) = 1 , ∀t ≥ 0.

Determine a transformada de Laplace da função constante

f (t) = 1 , ∀t ≥ 0.

Resposta: Pela definição, a transformada de Laplace é

F(s) = L { 1 } = lim

b→∞

b

0

e

−st

dt = lim

b→∞

[

1

s

e

−sb

s

]

1

s

, ∀s > 0.

Determine a transformada de Laplace da função

f (t) = e

at

, ∀t ≥ 0.

Resposta: A transformada de Laplace é

L

e

at

∞

0

e

−st+at dt =

1

s − a

, ∀s > a.

Determine a transformada de Laplace da função

f (t) = sen(at), ∀t ≥ 0.

Determine a transformada de Laplace da função

f (t) = cos(at), ∀t ≥ 0.

Determine a transformada de Laplace da função

f (t) = cos(at), ∀t ≥ 0.

Resposta: A transformada de Laplace é

L

cos(at)

s

s

2

• a

2

, ∀s > 0.

Determine a transformada de Laplace da função

f (t) = 3 e

2 t

• 2 sen

2

( 3 t), ∀t ≥ 0.

Determine a transformada de Laplace da função

f (t) = 3 e

2 t

• 2 sen

2

( 3 t), ∀t ≥ 0.

Resposta: Primeiro, lembre-se que

sen

2

( 3 t) =

1

2

1 − cos( 6 t)

Usando a linearidade da transformada de Laplace, concluímos que

L

3 e

2 t

• 2 sen

2 ( 3 t)

= 3 L

e

2 t

+ L { 1 } − L

cos( 6 t)

3

s − 2

1

s

s

s

2

• 36

, ∀s > a.

Determine a transformada de Laplace inversa de

F(s) =

3 s + 5

2 s

2

• 3

, ∀s > 0.

Determine a transformada de Laplace inversa de

F(s) =

3 s + 5

2 s

2

• 3

, ∀s > 0.

Resposta: Primeiro, escrevemos a transformada como:

F(s) =

3

2

s

s

2

• ( 3 / 2 )

5

2

s

2

• ( 3 / 2 )

Lembrando da transformada de cos(at) e sen(at), com a =

3 /2, e

usando a linearidade da transformada inversa, concluímos que

L

− 1

3 s + 5

2 s

2

• 3

3

2

cos

3

2

t

5

6

6

sen

3

2

t

, ∀t ≥ 0.

Determine a transformada de Laplace inversa de

F(s) =

s − 1

s

2 − s − 2

, ∀s > 2.

Resposta: Sabemos que s

2 − s − 2 = (s − 2 )(s + 1 ). Dessa forma,

usando frações parciais, concluímos que

F(s) =

1

3

1

s − 2

2

3

1

s + 1

Lembrando a transformada de Laplace de e

at e usando a linearidade

da inversa, concluímos que a transformada de Laplace inversa é

L

− 1

s − 1

s

2 − s − 2

1

3

e

2 t

2

3

e

−t

, ∀t ≥ 0.

Considerações Finais

A transformada de Laplace de f é uma função F definida por

F(s) = L

f (t)

∞

0

e

−st

f (t)dt,

e escrevemos

F(s) = L

f (t)

⇐⇒ f (t) = L

− 1

F(s)

em que L

− 1

F(s)

denota a transformada de Laplace inversa.

Ambas transformada de Laplace e sua inversa são lineares, e.g.,

L

af (t) + bg(t)

= aL

f (t)

• bL

g(t)

Na próxima aula veremos como a transformada de Laplace e sua

inversa são usadas para resolver um problema de valor inicial.

Muito grato pela atenção!