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C´alculo Variacional
por W. Freire, F. Calvi Junior e M. Nilvam
1. Introdu¸c˜ao
O c´alculo diferencial de fun¸c˜oes de n vari´aveis trata de fun¸c˜oes do espa¸co R
n em R,
f : R
n −→ R. O c´alculo variacional trata de funcionais, especificamente aqueles
definidos num espa¸co vetorial F de fun¸c˜oes ao inv´es do espa¸co vetorial R
n
. A grosso
modo pode-se dizer que o c´alculo variacional ´e o c´alculo diferencial de funcionais
E : F −→ R, onde F ´e um espa¸co vetorial de fun¸c˜oes suficientemente comportadas.
A finalidade destas notas ´e apresentar o c´alculo variacional de uma forma simples e ao
mesmo tempo com um pouco de rigor matem´atico, mas objetivando a sua utilidade
na f´ısica. O foco principal ´e a determina¸c˜ao de pontos cr´ıticos (m´aximos ou m´ınimos
ou, mais geralmente, pontos estacion´arios) de funcionais; estes pontos s˜ao na verdade
fun¸c˜oes que satisfazem as equa¸c˜oes de Euler, as quais deduziremos aqui de uma forma
elegante matematicamente e utilizaremos em problemas matem´aticos e f´ısicos.
2. Derivada Funcional
O conceito chave no c´alculo diferencial de fun¸c˜oes ´e o de derivada. No caso de fun¸c˜oes
com mais de uma vari´avel surgem as derivadas parciais e, mais geralmente, as derivadas
direcionais (as derivadas parciais s˜ao derivadas direcionais particulares). O conceito
de derivada funcional (ou variacional) desempenha para funcionais o mesmo papel
que o conceito de derivada direcional desempenha para fun¸c˜oes de n vari´aveis. Vamos
apresentar o conceito de derivada funcional fazendo analogia com derivadas direcionais
de fun¸c˜oes.
2.1 - Derivadas Direcionais
Considere uma fun¸c˜ao de n vari´aveis, digamos
1 f : R
n −→ R, que a cada ponto
x = (x 1 , x 2 , ..., xn) do espa¸co R
n associa um ´unico valor f (x) em R. A derivada
(direcional) de f com respeito ao vetor v = (v 1 , v 2 , ..., vn) ∈ R
n no ponto x ´e o n´umero
dado por
∂vf (x) = lim λ→ 0
f (x + λv) − f (x)
λ
no pressuposto que o limite exista.
Exemplo: Vamos calcular a derivada da fun¸c˜ao de duas vari´aveis designada por
f (x 1 , x 2 ) = x
2 1 ·^ x^2 , para cada^ x^ =^ (x^1 , x^2 ) de^ R
2 , relativamente ao vetor v =
3 /2). No caso temos que
x + λv = (x 1 , x 2 ) + λ
x 1 +
λ
, x 2 +
λ
e pela defini¸c˜ao dada,
∂vf (x 1 , x 2 ) = lim λ 7 → 0
f (x 1 + λ/ 2 , x 2 + λ
3 /2) − f (x 1 , x 2 )
λ
= lim λ 7 → 0
(x 1 + λ/2)
2 (x 2 + λ
3 /2) − x
2 1 x^2
λ
= lim λ 7 → 0
[
x
2 1
λ
x 1
x 2
λ
2
]
=⇒ ∂vf (x 1 , x 2 ) =
x
2 1
Em particular, a derivada de f relativamente a v no ponto x = (x 1 , x 2 ) ≡ (2, 0) ´e
∂vf (2, 0) = 2
Observa¸c˜ao: Para uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis f : R
2 → R, que a cada (x, y) ∈ R
2
associa z = f (x, y) ∈ R, temos que as derivadas direcionais no ponto (x, y) em rela¸c˜ao
a i = (1, 0) e a j = (0, 1) s˜ao, respectivamente, dadas por
∂if (x, y) = lim λ 7 → 0
f [(x, y) + λ(1, 0)] − f (x, y)
λ
= lim λ 7 → 0
f (x + λ, y) − f (x, y)
λ
1 Poder´ıamos considerar mais geralmente uma fun¸c˜ao f : A ⊂ R
n → R, mas por simplicidade de
apresenta¸c˜ao vamos seguir com o caso em que A = R
n .
que ´e o mesmo resultado encontrado anteriormente.
2.2 - Funcionais
Vamos definir derivada para o caso de um funcional E : F → R que atua num espa¸co
F de fun¸c˜oes, por exemplo
F = {q : I ⊂ R → R| q ´e diferenci´avel C
k },
onde I ´e um intervalo; um “ponto”(ou elemento) q de F ´e uma fun¸c˜ao que a cada
t ∈ I associa um n´umero q(t) ∈ R. O s´ımbolo C
k ´e usado aqui para indicar que q
possui derivadas cont´ınuas at´e a ordem k.
Antes de falar das derivadas de funcionais vejamos alguns exemplos de tais objetos.
Exemplos de Funcionais:
a) Seja F = {q : (+∞; −∞) ≡ R −→ R| q ´e cont´ınua (C
0 )} e considere o funcional
E : F → R, que a cada q ∈ F associa um valor constante, por exemplo um valor
particular de q:
E[q] = q(t 0 ) ∈ R, t 0 fixado em R.
Este funcional, que atua numa fun¸c˜ao q como um “filtro que deixa escapar”apenas o
valor q(t 0 ), ´e designado como funcional delta e ´e de grande importˆancia na mecˆanica
quˆantica, onde ´e designado em termos de um s´ımbolo de integral:
E[q] ≡
−∞
δ(t − t 0 )q(t) = q(t 0 ), t 0 ∈ R.
Usualmente os funcionais de interesse nas aplica¸c˜oes s˜ao dados por integrais. Vejamos
os exemplos seguintes.
b) Considere agora F = {q : [1; 2] → R| q ´e C
1 } e o funcional G : F → R definido
por
G[q] =
1
t · q(t) · dt.
Vamos calcular valores deste funcional para algumas fun¸c˜oes q de seu dom´ınio. Para
q dada por q(t) = t
2 , t ∈ [1; 2], temos
G[q] =
1
t · t
2 · dt =
x
4
x=
x
4
x=
Agora para q dada por q(t) = t
3 , t ∈ [1; 2], temos
G[q] =
1
t · t
3 · dt =
x
5
x=
x
5
x=
Note que para este funcional cada fun¸c˜ao q (n˜ao somente um dos valores de q) tem
como imagem um n´umero real G[q]. Todos os valores de q no intervalo em considera¸c˜ao
s˜ao levados em conta na integral que define o funcional!
A hip´otese “q ´e C
1 ”foi aqui colocada para permitir que possamos derivar este funcional,
no sentido que vamos definir adiante: esta derivada, como veremos, envolver´a q
′ dentro
da integral.
EXERC´ICIO: Seja F = {q : [a; b] → R| q ´e de classe C
2 }, e tomemos o funcional
A : F → R, definido por A[q] =
b a
q(t)[q
′ (t)]
2 dt. Calcule o valor de A[q] em cada caso:
(a) q(t) = t, (b) q(t) = t + 1, (c) q(t) = t
2 .
Os funcionais do exemplo (b) e do exerc´ıcio acima s˜ao da forma
A[q] =
I⊂R
L(q(t), q
′ (t), t) · dt,
onde L(q, q
′ , t) ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel das vari´aveis q, q
′ e t. Os funcionais desta
forma constituem uma importante classe de funcionais; a dinˆamica (cl´assica) de um
sistema de n part´ıculas ´e descrita, como veremos, em termos de um funcional, chamado
a¸c˜ao do sistema, o qual ´e desta forma. Detalhes posteriormente.
Podemos designar tq(t) + ≤tη(t) ≡ f (≤, t), com (≤, t) ∈ R × [1; 2], de modo que
δηG[q] =
d
d≤
1
f (≤, t)dt
≤=
Tendo em vista que q e η s˜ao C
1 e, ent˜ao, ∂≤f = tη(t) ´e cont´ınua, podemos usar o
teorema de Leibnitz para deriva¸c˜ao sob o sinal de integra¸c˜ao. Logo
δηG[q] =
1
∂f (≤, t)
≤=
dt =
1
tη(t)dt, ∀ q ∈ F.
Em particular, se η(t) = 1/t, t ∈ [1; 2], ent˜ao δηG[q] = 1.
(b) Vejamos agora o funcional dado por
A[q] =
∫ (^) b
a
q(t)[q
′ (t)]
2 dt
definido sobre
F 0 = {q : [a; b] → R| q ´e de classe C
2 , q(a) = α, q(b) = β fixos em R},
que est´a contido em F = {q : [a; b] → R| q ´e de classe C
2 }; ou seja, F 0 ´e o espa¸co das
fun¸c˜oes C
2 -diferenci´aveis em [a; b] cujo gr´afico possui os mesmos extremos (a, q(a)) =
(a, α) e (b, q(b)) = (b, β). Ent˜ao
δηA[q] =
d
d≤
A[q + ≤η]
≤=
d
d≤
b
a
{[q(t) + ≤η(t)][q
′ (t) + ≤η
′ (t)]
2 }dt
≤=
vale salientar que aqui devemos ter q + ≤η ∈ F 0 para que A[q + ≤η] fa¸ca sentido.
Assim os vetores η ∈ F en rela¸c˜ao aos quais podemos derivar A devem satisfazer
η(a) = η(b) = 0.
Com um pouco de trabalho alg´ebrico, temos
δηA[q] =
d
d≤
∫ (^) b
a
[qq
′ 2
′ η
′
′ 2 ) + ≤
2 (qη
′ 2
′ η
′ ) + ≤
3 ηη
′ 2 ]dt
≤=
donde, derivando sob o sinal de integra¸c˜ao e em seguida fazendo ≤ = 0,
δηA[q] =
∫ (^) b
a
[q
′ (t)]
2 η(t)dt + 2
∫ (^) b
a
q(t)q
′ (t)η
′ (t)dt;
realizando (explicitamente) uma integra¸c˜ao por partes e considerando o teorema fun-
damental do c´alculo,
δηA[q] =
∫ (^) b
a
q
′ 2 η · dt + 2
∫ (^) b
a
d
dt
[qq
′ η]
dt − 2
∫ (^) b
a
d
dt
[qq
′ ]
η · dt =
∫ (^) b
a
q
′ 2 − 2
d
dt
[qq
′ ]
η · dt + [q(b)q
′ (b)η(b) − q(a)q
′ (a)η(a)].
Foi nesta etapa que a hip´otese “q ´e C
2 ”tornou-se conveniente: temos a presen¸ca de
d(qq
′ )/dt dentro da integral. Portanto, visto que η(a) = η(b) = 0,
δηA[q] =
∫ (^) b
a
q
′ 2 − 2
d
dt
[qq
′ ]
η · dt.
(c) Considere uma generaliza¸c˜ao do exemplo (a) descrita por um funcional da forma
A[q] =
∫ (^) b
a
L(q(t))dt,
definido sobre as fun¸c˜oes que “moram”em F = {q : [a; b] → R| q ´e C
1 }; Aqui
L : R
n → R ´e uma dada fun¸c˜ao diferenci´avel (C
1 ) da vari´avel q. Vamos calcular a
derivada de A num “ponto”q de F relativamente a um “vetor”η que tamb´em jaz em
F. Pela defini¸c˜ao (2) temos
δηA[q] =
d
d≤
A[q + ≤η]
≤
d
d≤
∫ (^) b
a
{L(q(t) + ≤η(t))}dt
≤=
Pondo L(≤, t) = L(q(t) + ≤η(t)) ≡ L(Q(≤, t)), com Q(≤, t) = q(t) + ≤η(t), e usando a
regra da cadeia (visto que L e q s˜ao C
1 -diferenci´aveis) temos
δηA[q] =
d
d≤
∫ (^) b
a
L(≤, t)dt
≤=
∫ (^) b
a
[L(≤, t)]
≤=
dt =
∫ (^) b
a
dL
dQ
∂Q
≤=
dt =
∫ (^) b
a
dL
dq
q(t)
η(t) · dt =⇒
=⇒ δηA[q] =
∫ (^) b
a
dL
dq
q(t)
η(t) · dt.
Em particular, para [a;b]=[0;1], n = 1 (R
n = R), L(q) = q
2 , q(t) = t + 1 e η(t) =
3 t,
temos
δηA[q] =
∫ (^) b
a
2(t + 1)
3 t · dt = 5
curvas de R
n , q : [a; b] → R
n , que possuem os mesmos extremos, ou seja, ao conjunto
F 0 = {q ∈ F| q(a) = Q 1 , q(b) = Q 2 , com Q 1 e Q 2 fixos em R
n } ⊂ F. De fato,
Q 1 = q(a) = q(a) + ≤η(a) =⇒ η(a) = 0 e Q 2 = q(b) = q(b) + ≤η(b) =⇒ η(b) = 0. Sendo
este o caso, temos
δηA[q] = −
b
a
∑n
l=
d
dt
dL
dq
′ l
q′(t)
ηl(t)
dt.
(c) Vamos considerar agora um caso que generaliza os dois anteriores, o qual ´e descrito
por um funcional
A[q] =
∫ (^) b
a
L(q(t), q
′ (t), t)dt,
definido em
F 0 = {q ∈ F| q(a) = Q 1 , q(b) = Q 2 , com Q 1 e Q 2 fixos em R
n }
o qual est´a contido em
F = {q : [a; b] → R
n | q ´e C
2 };
a fun¸c˜ao L : R
2 n × [a; b] −→ R das vari´aveis q, q
′ e t ´e suposta C
2 -diferenci´avel.
Calculemos a derivada de A num “ponto”q de F 0 relativamente a um “vetor”η de F
tal que η(a) = η(b) = 0. Pela defini¸c˜ao (2) temos
δηA[q] = lim ≤ 7 → 0
A[q + ≤η] − A[q]
= lim ≤ 7 → 0
b
a
[L(q(t) + ≤η(t), q
′ (t) + ≤η
′ (t), t)]dt −
b
a
[L(q(t), q
′ (t), t)]dt
∫ (^) b
a
lim ≤ 7 → 0
L(q(t) + ≤η(t), q
′ (t) + ≤η
′ (t), t) − L(q(t), q
′ (t), t)
dt.
Tendo em vista que q e η s˜ao fun¸c˜oes supostamente dadas podemos definir, para cada
t, uma fun¸c˜ao Jt pondo Jt(≤) = L(q(t) + ≤η(t), q
′ (t) + ≤η
′ (t), t) ≡ L(Qt(≤), Q¯t(≤), t),
onde Qt(≤) = q(t) + ≤η(t) e Q¯t(≤) = q
′ (t) + ≤η
′ (t). Dessa forma,
δηA[q] =
∫ (^) b
a
lim ≤ 7 → 0
Jt(≤) − Jt(0)
dt =
∫ (^) b
a
dJt
d≤
≤=
dt =
∫ (^) b
a
∑n
l=
∂L
∂Qt,l
dQt,l
d≤
∂L
∂ Q¯t,l
d Q¯t,l
d≤
≤=
dt =
∫ (^) b
a
dt ·
∑n
l=
∂L
∂ql
· ηl(t) +
∂L
∂q
′ l
· η
′ l(t)
(q(t),q′(t),t)
∫ (^) b
a
dt
n ∑
l=
[
∂L
∂ql
d
dt
∂L
∂q
′ l
]
· ηl(t)
∫ (^) b
a
d
dt
[
n ∑
l=
∂L
∂q
′ l
ηl(t)
]}
dt;
logo
δηA[q] =
∫ (^) b
a
dt ·
∑^ n
l=
[
∂L
∂ql
d
dt
∂L
∂q
′ l
]
ηl(t).
3. Pontos Cr´ıticos. Equa¸c˜oes de Euler
Uma classe de problemas importantes no estudo de fun¸c˜oes consiste na determina¸c˜ao
de pontos de m´aximo ou de m´ınimo. Para este fim um resultado relevante ´e que se
uma fun¸c˜ao f : A ⊂ R
n −→ R admite um ponto p ∈ A de m´aximo ou de m´ınimo
local onde ela possua derivada direcional ∂vf (p) para todo v ∈ R
n (v n˜ao nulo) ent˜ao
∂vf (p) = 0 ∀v de R
n , ou seja, p ´e um ponto cr´ıtico ou estacion´ario de f. Mas nem
todo ponto cr´ıtico de uma fun¸c˜ao f ´e de m´aximo ou de m´ınimo local para esta fun¸c˜ao,
pois pode ocorrer que ela possua pontos tipo sela; para classificar pontos cr´ıticos um
teste ´util em muitos casos ´e o teste das derivadas de segunda ordem.
Nosso interesse agora ´e determinar pontos estacion´arios de funcionais espec´ıficos. Pre-
cisamente, dado um funcional
A[q] =
b
a
L(q(t), q
′ (t), t)dt, (3)
definido em
F 0 = {q ∈ F| q(a) = Q 1 , q(b) = Q 2 , com Q 1 e Q 2 fixos em R
n },
onde
F = {q : [a; b] → R
n | q ´e C
2 }
Por outro lado tome uma fun¸c˜ao cont´ınua η : [a; b] → R tal que η(t) = 1 para
t ∈ [ξ − δ/2; ξ + δ/2] e η(t) = 0 para t ∈ [a; ξ − δ] ∪ [ξ + δ; b], que claramente satisfaz
η(a) = η(b) = 0. Segue que
∫ (^) b
a
f (t)η(t)dt =
∫ (^) ξ+δ/ 2
ξ−δ/ 2
f (t) · 1 · dt > 0 ,
contradi¸c˜ao. ®
Com este lema podemos justificar claramente a passagem
b
a
dt
∑^ n
l=
[
∂L
∂ql
d
dt
∂L
∂q
′ l
]
ηl(t) = 0, ∀η ∈ F | η(a) = η(b) = 0 =⇒
∂L
∂ql
d
dt
∂L
∂q
′ l
= 0, l = 1, ..., n.
Para isto notamos que, da arbitrariedade da η, podemos escolher, para cada ´ındice
l = 1, ..., n, um η da forma η = (0, 0 , ..., 0 , ηl, 0 , ..., 0), com ηl : [a; b] → R na l-´esima
posi¸c˜ao coordenada satisfazendo ηl(a) = ηl(b) = 0; esta escolha satisfaz claramente
que η(a) = η(b) = 0. Assim temos
∫ (^) b
a
dt
[
∂L
∂ql
d
dt
∂L
∂q
′ l
]
ηl(t) = 0, ∀ ηl : [a; b] → R | ηl(a) = ηl(b) = 0,
e pelo lema fundamental, segue (5):
∂L
∂ql
d
dt
∂L
∂q
′ l
= 0, l = 1, ..., n.
Estas equa¸c˜oes s˜ao denominadas equa¸c˜oes de Euler do C´alculo Variacional. Elas con-
stituem um sistema de n equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias (acopladas) de segunda ordem
para as fun¸c˜oes ql : [a; b] → R. De fato, estas equa¸c˜oes podem ser reescritas como
n ∑
s=
[fls(q, q
′ , t)q
′′ s +^ gls(q, q
′ , t)q
′ s] +^ hl(q, q
′ , t) = 0, l = 1, ..., n,
onde
fls(q, q
′ , t) =
2 L
∂q s′∂q
′ l
gls(q, q
′ , t) =
2 L
∂qs∂q
′ l
hl(q, q
′ , t) =
2 L
∂t∂q
′ l
∂L
∂ql
Podemos dizer ent˜ao que um ponto cr´ıtico do funcional A : F 0 → R dado pela integral
(3) ´e uma curva em R
n , q = (q 1 , ..., qn) ∈ F 0 , cujas fun¸c˜oes coordenadas ql constituam
uma solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Euler (5). Note que a estas n equa¸c˜oes de segunda
ordem devemos adicionar as 2n condi¸c˜oes de contorno estabelecidas em F 0 : q(a) = Q 1
e q(b) = Q 2 , para que a solu¸c˜ao fique bem definida em cada problema espec´ıfico.
